上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习.docx

上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习习 题 三 1.求下列矩阵的特征值与特征向量. 33öæ1ç-3-5-3÷A=ç÷ ç331÷èø答案 特征值为l1=1,l2=l3=-2(二重) æ1öæ-1öæ-1ö÷,ç÷ç÷-1对应的特征向量. c1çç÷c2ç1÷+c3ç0÷,c2,c3为不同时为零的任意常ç1÷ç0÷ç1÷èøèøèø数. æ2-12öç5-33÷A=ç÷ ç-10-2÷èø答案 特征值为l1=l2=l3=-1(三重) æ-1ö÷,k-1对应的特征向量. kçç÷为任意非零常数. ç1÷èøæ56-3öç-101÷A=(3) ç÷ ç121÷èø答案 特征值为l1=l2=l3=2(三重) æ-2öæ1ö÷+cç0÷,c,c为不同时为零的任意常数. 对应的特征向量. c1ç1ç÷2ç÷12ç0÷ç1÷èøèøæ2-22öç-2-14÷A=(4) ç÷ ç2÷4-1èø答案 特征值为l1=-6,l2=l3=3(二重). æ1öæ-2öæ2öç÷÷+kç0÷,k为任意非零常对应的特征向量分别为:k1ç2÷,k2ç1ç÷3ç÷1ç-2÷ç0÷ç1÷èøèøèø数,k2,k3为不同时为零的任意常数。 æ32-2ö÷ 0-10 (5) A=çç÷ç42-3÷èø答案 特征值为l1=1,l2=l3=-1(二重) 。 æ1öæ-1öæ1ö÷,ç÷ç÷0对应的特征向量分别为. k1çç÷k2ç2÷+k3ç0÷,k1为任意非零常数,k2,k3ç1÷ç0÷ç2÷èøèøèø为不同时为零的任意常数。 æ0ç1ç(6) A=ç0çè0100ö000÷÷00-1÷ ÷0-10ø答案 特征值为l1=l2=-1(二重) l3=l4=1(二重) 。 æ0öæ-1öæ0öæ1öç0÷ç1÷ç0÷ç1÷ç÷ç÷对应的特征向量分别为. k1+k2,k3ç÷+k4ç÷,k1,k2为不同时为ç1÷ç0÷ç-1÷ç0÷ç÷ç÷ç÷ç÷101èøèøèøè0ø零的任意常数,k3,k4为不同时为零的任意常数。 æ13ç0-1ç(7) A=ç00çè0011202ö3÷÷5÷ ÷2ø答案 特征值为l1=-1,l2=1, l3=l4=2(二重), æ-3öæ1öæ6öç2÷ç0÷ç1÷对应的特征向量分别为. k1ç÷,k2ç÷,k3ç÷,k1,k2,k3均为任意非零常ç0÷ç0÷ç3÷ç÷ç÷ç÷è0øè0øè0ø数。 æ310-1öç13-10÷ç÷(8) A=ç0-131÷ ç÷-1013èø答案 特征值为l1=l2=3(二重), l3=5,l4=1. 对应的特征向量分别为: æ1öæ0öæ1öæ1öç0÷ç1÷ç1÷ç-1÷ç÷ç÷k1+k,kç÷,kç÷,k,k为不同时为零的任意常数,k3 ,k4均为ç1÷2ç0÷3ç-1÷4ç-1÷12ç÷ç÷ç÷ç÷è0øè1øè-1øè1ø任意非零常数。 æ2-1-11öç-121-1÷ç÷(9) A=ç-112-1÷ ç÷1-1-12èø答案 特征值为l1=l2=l3=1,(三重) l4=5; æ1öæ1öæ-1öæ1öç1÷ç0÷ç0÷ç-1÷对应的特征向量分别为.k1ç÷+k2ç÷+k3ç÷,k4ç÷,k1,k2,k3为不同时ç0÷ç1÷ç0÷ç-1÷ç÷ç÷ç÷ç÷è0øè0øè1øè1ø为零的任意常数, k4为任意非零常数。 æ01ç01ç0(10) A=ççççèö÷÷÷ ÷1÷0÷øn´n答案 æ1öç0÷ln=0, (n重). 对应的特征向量为. kç÷,k为ç÷ç÷è0ø特征值为l1=l2=任意非零常数。 2.设A为4阶方阵，且 2E+A=0,AAT=3E,A<0,，求矩阵A*,A-1的一个特征值 9|A|9T=为A*.由AA=3E,|A|<0知|A|=-9，且l=-2是A的一个特征值，故2l21-1的一个特征值。l=-是A的一个特征值. 2解：若A2=A,则A的特征值l应满足：l(l-1)=0。因此A的特征值只能是1或0. 3. 设A为n阶方阵，且 A2=4A，证明: B=A2-5A+6E为可逆矩阵. 证明 由A2=4A，则A的特征值l满足l2=4l，得A的特征值为l=0或l=4, 故2,3不是A的特征值， 即 2E-A¹0,3E-A¹0 而 B=A2-5A+6E=A-2EA-3E=(-1)2E-A×(-1)3E-A¹0nn因此B=A2-5A+6E为可逆矩阵. 4.设A是5阶方阵，l=-3是A的四重特征值, l=2也是A的特征值,求A的特征多项式. 设A为三阶方阵，且已知A-E=0,3A+2E=0,3E-2A=0,求3阶方阵A的全部特征值及A的行列式。 解：由于A的特征多项式lE-A=(l-l1)(l-l2)(l-l5)， 因此lE-A=(l+3)4(l-2)。 此题没有给出A,故需要由已知条件 A-E=0,3A+2E=0,3E-2A=0, 求出A的特征方程的根，即A 的特征值li要满足 liE-A=0(i=1,2,3)。 利用行列式性质，由于 A-E=(-1)3E-A=0,ÞE-A=0,故l1=1为A的一个特征值；3A+2E=(-3)-A-3E-2A=2332E=0,Þ32æ2ö-E-A=0，故l=-为A的一个特征值；2ç÷33èø322E-A=0,ÞE-A=0，故l3=为A的一个特征值；233因此，A的全部特征值为l1=1，l2=-，l3=4æ2ö2行列式A=l1l2l3=1´ç-÷´=- è3ø39232 35. 若A-A2=0,则0与1至少有一个是矩阵A的特征值。 证明：A-A2=0Þ0×E-A×1×E-A=0Þ0×E-A=0，或1×E-A=0 因此0与1至少有一个是矩阵A的特征值 6. 设a是n阶对称矩阵A的对应于特征值l的特征向量.求矩阵(P-1AP)对应于特征值l的特征向量。 T解 (P(PT-1AP)=PATTT(P)-1T=PA(PTT)-1-1AP)TTTT-1TùéPa=PAPPúa ()()êëû=PT(Aa)=PT(la)=l(PTa)-1即Pa是矩阵(PAP)对应于特征值l的特征向量。 T7.设a1,a2分别是n阶方阵A的对应于不同的特征值l1与l2的特征向量, k1¹0,k2¹0是常数,证明:k1a1+k2a2 不是A的特征向量。 证明:反证法，若k1a1+k2a2 是A的特征向量，则有矩阵A的特征值l，使得 A(k a(ka1a1+ka2)2=l1+1k)2得 k1Aa1+k2Aa2=k1la1+k2la2 即 k1la11+k2l2a2=k1la1+k2la2 k1(l1-l)a1+k2(l2-l)a2=0 2有l1-l=0,l2-l=0Þl1=l2矛盾。 8.设A为4阶方阵，且1，2，3，4为矩阵A的特征值，试求行列式： 2A2+3A+E； 2A*-(2A) 解2A2+3A+E=6´15´28´45=113400 2A-(2A)*-1*11*1*1æ95öA=2A-A= =2A-ç÷2A4824è2ø*-149设A为n阶方阵，且满足A2-3A-10E=0,试求A的特征值. 设A为n阶方阵，且满足AAT=E,A<0.证明-1A的一个特征值。 设四阶方阵A满足3A+E=0,AAT=2E,A<0，求A的伴随矩阵A*的一个特征值。 解由于方阵A满足A2-3A-10E=0 从而A的特征值l应满足： l2-3l-10=0 即 l=-2或l=5 (2)分析：为证明-1是A的特征值，只要证明A+E=0即可证明：由AAT=E得AAT=E=1,即A=1.根据A<0知A=-1.又因为 A+E=A+AAT=A(E+AT)=AE+AT=-(A+E)T=-A+E2所以A+E=0,故-1是A的一个特征值. 由题设条件3E+A=(-1)4-3E-A=-3E-A=0, 得A的一个特征值为l=-3，由AAT=2E,两边取行列式，得AAT=2EÞA=24=16 ，又A<0，故A=-4。因A¹0，故A 可逆，于是A的伴随矩阵A*的一2个特征值为Al=-44=。 -3310. 在下列各题中已知矩阵A与B相似，试求常数x,y，且求可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立 æ-200öæ-1÷,B=ç2x22A=çç÷çç311÷çèøèö÷, ÷y÷øæ1-11öæ200öç÷ç÷ A=ç24-2÷,B=ç020÷ ç-3-3x÷ç00y÷èøèø解(1) x=0,y=-2; æ00-1öæ-1ö÷，可使P-1AP=ç÷。 -2102取可逆阵P=çç÷ç÷çç111÷-2÷èøèø (2)x=5,y=6, æ111öæ2ö÷ç÷-1-10-2PAP=2取可逆阵P=ç，可使ç÷ç÷ ç013÷ç6÷èøèø11第一题中哪些矩阵能相似于对角矩阵，对于能相似于对角矩阵的矩阵，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。. 解1题的、能相似于对角矩阵，其中 æ1-1-1öæ1ö÷,P-1AP=ç÷-110-2P=çç÷ç÷； ç101÷ç-2÷èøèøæ1-22öæ-6ö÷,P-1AP=ç÷2103P=çç÷ç÷； ç-201÷ç3÷èøèøæç1-11öP=ç020÷æ1ö,P-1AP=ç-1÷； çè101÷÷çøçè-1÷÷øæ0-101öæçP=ç0101÷ç0÷ç-1ö÷,P-1AP=ç-1÷ç10-1ç÷； è1010÷øç1÷è1÷øæ011öæç1P=ç011-1÷ç3ö3÷çç10-1-1÷÷,P-1AP=çç÷； è01-11÷5÷øçè1÷øæç11-11öæP=ç100-1÷çç010-1÷ç1ö÷,P-1AP=ç1÷ç1÷÷； è0011÷øçè5÷ø12设A为n阶方阵，证明: 若AB,则ATBT； 若A可逆，则ABBA。 证明若AB,则存在可逆阵P,使得P-1AP=(P-1AP)T=BTÞPTAT(P-1)T=BT因此ATBT 若A可逆，则有A-1(AB)A=BA,因此ABBA 13.若P-1A1P=B-11，PA2P=B2，则 (1)A1+A2B1+B2, (2)A1A2B1B2。 证明 (1)若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2, 则P-1(A+A1-112)P=P-AP1+PA2P=B1+B2 故A1+A2B1+B2 (2)由于B111B2=(P-1A1P)×(P-A2P)=P-A1A2P，因此A1A2B1B2 ZE B，14.设n阶方阵A=(aij)n´n，且 r(A)=1，证明: A的n个特征值为l1=a11+a22+证明 由于 lE-A+ann,l2=l3=0. =l-(a11+a22+n+ann)ln-1+(-1)Anr(A)=1，则A的二阶以上子式全为零，从而有 lE-A=ln-(a11+a22+ann)ln-1 故A的n个特征值为 l1=a11+a22+ann,l2=l3=ln=0. 15. 设A为2阶方阵，且A<0，证明 A相似于对角矩阵。 æa11A=设çaè21a12ö，且A=1,a11+a22>2,，证明A相似于对角矩阵。 ÷a22ø证明: 由于A为2阶方阵，设A的特征值为l1,l2,则A=l1×l2<0,因此l1,l2为A的两个不同的特征值,故A可相似于对角矩阵。 由于 lE-A=l-a11-a21-a12l-a22=(l-a11)(l-a22)-a12a21=l2-(a11+a22)l+A.又 A=1,a11+a22>2, 22故lE-A的判别式D=(a11+a22)-4A=(a11+a22)-4>0,因此A有两个不同的特征值，从而可相似于对角矩阵 16.若A可相似于对角矩阵，则其非零特征值的个数等于A的秩r(A) 证明 若A可相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵P ,使得 æl1çl2-1PAP=çççèö÷÷ ÷÷lnø其中l1,l2,L,ln为n阶方阵A=(aij)n´n的n个特征值， æl1çl2-1ç显然 r(A)=r(PAP)=rççèö÷÷=÷A的非零特征值的个数÷lnø17.设A与B都是n阶对角矩阵,证明A与B相似的充分必要条件是A与B对角线元素除了排列次序外是完全相同的. 证明 设A与B是对角线元素除了排列次序外是完全相同的n阶对角矩阵,则我们可以用一系列行的调换(第二类变换)与同类型的的调换把A化成B,即对应的,存在一系列具有性质Pi=Pi-1的初等方阵P1,P2,Ps,使得 P2PAPP112Ps=B, 2 Ps-1即 Ps-1P2-1P1APP1Ps=B 令 P=PP1218 已知矩阵 Ps，则P为可逆阵,于是有P-1AP=B,故A与B相似. æ11öæ21öA=ç ，。 M=÷ç÷è01øè32ø求(M-1AM),其中n为正整数. n解 (M-1AM)=M-1AnMn4nö æ2-1öæ1nöæ21öæ1+6n=ç=ç÷ç÷ç÷÷è-32øè01øè32øè-9n1-6nø19.求A100,A101,其中 æ01-1öæ0-11ö÷,(2) A=ç102÷, (1) A=ç-202ç÷ç÷ç-110÷ç-1-20÷èøèø解 æ-1-12ö÷,101A100=ç-202A=A;ç÷ç-2-13÷èøæ-2-2-2ö÷,10150A100=(-6)49ç-2-51A=(-6)Aç÷ç-21-5÷èø(1)(2)20.设矩阵 æ02-1ö÷ A=ç-25-2ç÷, ç-48-3÷èø求 求A的特征值； 问A能能否相似于对角矩阵，若相似，求可逆阵P，使得P-1AP为对角矩阵。 求An,其中n为正整数. 解解得 A的特征值为l1=0,l2=1,l3=3 æ0ö÷1由于A有三个不同的特征值，故A能相似于对角矩阵L=çç÷ ç3÷èøæ1öA的特征值l1=0,l2=1,l3=3对应的特征向量分别是ç2÷,ç÷ç4÷èøæ-1öç0÷,ç÷ç1÷èøæ1öç2÷ ç÷ç1÷èøæ1-11ö÷，则P-1AP=L 202取P=çç÷ç411÷èøæ02-1ö÷=A -25-2An=çç÷ç-48-3÷èø21.设l1,l2,l3是三阶方阵A的特征值, 对应的特征向量分别是 æ1öç1÷,ç÷ç1÷èøTæ0öç1÷,ç÷ç1÷èøæ0öç0÷ ç÷ç1÷èø求(An),其中n为正整数 解 由于三阶方阵A的特征值l1,l2,l3对应的特征向量 æ1öç1÷,ç÷ç1÷èøæ0öç1÷,ç÷ç1÷èøæ0öç0÷是线性无关的，故A能相似于对角矩阵 ç÷ç1÷èøæ100öæl1÷,L=ç110l2因此,取P=çç÷çç111÷çèøèö÷÷ l3÷ø则 (A)=(PLP)nT-1T=öæ100öù÷ç÷ú -110÷ç÷ún÷çl3øè0-11÷øúûTéæ100öæl1nêç÷ç110êç÷çççêè111÷øèëæl1nç=ççèl2nl1n-l2nl1n-l2nö÷l2nl2n-l3n÷l3n÷ø22. 已知三阶方阵A的特征值分别为l1=1,l2=0,l3=-1,对应的特征向量分别是 æ1öç2÷,ç÷ç2÷èøæ-2öç-1÷,ç÷ç2÷èøæ2öç-2÷ ç÷ç1÷èø试求矩阵A. 解:由于A有三个不同的特征值l1=1,l2=0,l3=-1，故A能相似于对角矩阵 æ1ç-3æ1öæ1-22öç÷P-1=ç2÷,则A=Pç02-1-2取P=çç÷ç÷ç3ç221÷ç÷-1øçèøèçç0è23023ö0÷÷2÷ ÷31÷÷÷3øæ1ça23.设4阶方阵A=çç2çè201b3002c0ö0÷÷，问a,b,c取何值时，A能相似于对角0÷÷2ø矩阵？求出它的相似对角矩阵。 解:由于A的特征值为l1=l2=1,l3=l4=2.A能相似于对角矩阵的充要条件 4-r(E-A)=2,4-r(2E-A)=2即 00æ0ç-a004-rçç-2-b-1çè-2-3-c00æ1ç-a104-rçç-2-b0çè-2-3-c0öæ0ç-a0÷÷=2Ûrçç-20÷÷ç-1øè-20öæ1ç-a0÷÷=2Ûrçç-20÷÷ç0øè-200-b-301-b-30ö00÷÷=2Þa=0-10÷÷-c-1ø00ö00÷÷=2Þc=000÷÷-c0ø0æ1öç1÷÷ 因此a=0,c=0,b任意时，A能相似于对角矩阵L=çç÷2ç÷2èøæ1öæ1ö÷,a=ç0÷是三阶方阵A的对应于特征值l=2的特224. 设向量a1=çç÷2ç÷ç0÷ç1÷èøèøæ-1ö÷,求2征向量,若向量b=çAb ç÷ç-2÷èøæ-1öæ1öæ1ö÷=ç2÷-2ç0÷=a-2a¹0，故也为A的对应于特征2解 因为b=çb12ç÷ç÷ç÷ç-2÷ç0÷ç1÷èøèøèøæ-2ö÷。 4值l=2的特征向量,因此Ab=2b=çç÷ç-4÷èø25.三阶方阵A的特征值为,B与A相似，试求行列式 1112231D=(B2)-1+12B*-E 2其中B*为B的伴随矩阵 解：由于方阵的行列式等于该方阵的所有特征值的乘积，故要1求行列式D的值，只要求方阵(B2)-1+12B*-E的全部特征值即21111可由于相似方阵有相同的行列式.,故B=A=´´=,故 223121B*=BB-1=B-1.12于是有11(B2)-1+12B*-E=2(B-1)2+12(B-1)-E212=2(B-1)2+B-1-E=f(B-1)其中，多项式f(x)=2x2+x-1.由于相似矩阵有相同的特征值，故B的全部特征值为111 ,.223可知B-1的全部特征值为2,2,3，f(B-1)的全部特征值为f(2)=9,f(2)=9,f(3)=20所以，所求行列式的值为D=f(B-1)=9´9´20=1620é211ù26.已知向量a=(1,k,1)T是矩阵A=ê121ú的逆矩阵A-1的一个特征êú 112êúëû向量.试求常数k的值及a所对应的A-1的特征值l.解法一：由题设条件，有A-1a=la,故l¹0，且有Aa=1ì2+k+1=ïlé211ùé1ùé1ùïê121úêkú=1êkú,或ï1+2k+1=kíêúêúlêúlïêêë112úûêë1úûë1úû1ï1+k+2=ïlî1la,即1由此解得k=-2,l=1;或k=1,l=.4解法二：因为a为A-1的特征向量，知a亦是A的特征向量由lE-A=(l-1)2(l-4)=0,得A的全部特征值为1,1,4.故A-1的全部1特征值为1,1,.由Aa=a,解得k=-2,此时A-1的特征值为1，1；41由Aa=4a,解得k=1,此时A-1的特征值为.427.已知向量a1=(1,2,2)T,a2=(0,-1,1)T,a3=(0,0,1)T,方阵A满足Aa1=a1,Aa2=0,Aa3=-a3.求A及An(n=2,3,).解：有题设条件知3阶方阵A有3个互不相同的特征值1,0,-1,对应的特征向量分别为a1,a2,a3,由特征值与特征向量的性质知a1,a2,a3线性无关，故A相似于对角矩阵é100ùé100ù令矩阵P=a1,a2,a3=êê2-10úêú,对角矩阵L=êê000úúë211úûêë00-1úû则有P-1AP=L,故é100ùé100ùé100ùé100ùA=PDP-1=êê2-10úê000úê2-10ú=ê2êúêúúêúê00úúë211úûêë00-1ûêë-411úûêë6-1-1úûAn=(PLP-1)(PLP-1)(PLP-1)=PLnP-1é100ùé100ùé100ù=êê2-10úê000úê2-10úê1úúêúêúë21ûêë00(-1)nú ûêë-411úûé100êù=ê200úêë2+4(-1)n+1(-1)n(-1)núúû28.试求x,y及可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。 é32-2ùA=êê-x-1xú êë42-3úúûé A=ê1-11ùêx4yúú，且A有三个线性无关的特征向量，êë-3-35úû的二重特征值。 解 (1) 先求A的特征值 由于 l=2是Al-3lE-A=x-411-2l+1-2-2-22l-1-2-xC3+C10l+12-xl+32l-1-210l+3-202-x l+1=(l-1)0l+1 =(l+1)2(l-1)=0-x-r1+r3(l-1)0l+1l+3得A的特征值为 l1=l2=-1,l3=1。 由于A只有一个重特征值1(二重）知，A 可相似于对角阵Û属于2重特征值l1=l2=-1的线性无关特征向量正好有2个Û齐次线性方程组，Ta2T对应于l3=1的特征向量为a3。故所求的可逆矩阵为P=a1a2é111ùa3=ê-200úêúêë021úûæ-1ö÷.它使得P-1AP=ç-1ç÷ç1÷èø因为A有三个线性无关的特征向量，l=2是A的二重特征值，所以A的对应于l=2的线性无关的特征向量有2个，故r(2E-A)=1 而 1-1ù1-1ùé1é1行变换2E-A=ê-x-2-yú¾¾¾®ê0x-2-x-yú êúêú3-3ú00úêêë3ûë0ûé1-11ùêú于是，解得x=2,y=-2 ，A=ê24-2ú， êë-3-35úûl-11-12=(l-2)2(l-6)， l-5其特征多项式lE-A=-23l-43A的特征值为l1=l2=2，l3=6 A的特征值l1=l2=2，其对应的特征向量为 æ-1öæ1ö÷,a=ç0÷a1=ç1ç÷2ç÷ ç0÷ç1÷èøèøA的特征值l3=6对应的特征向量为 æ1ö÷,a3=ç-2ç÷ ç3÷èøé-111ùé200ù10-2ú对角阵L=ê020ú,则P-1AP=L. 令可逆阵P=a1,a2,a3=êêúêúêêë013úûë006úû-58öæx÷的秩数0x+1829.已知3阶方阵A=ç且3阶方阵Br(A)<3，ç÷ç03x+325÷èø的三个特征值1,-1,0对应的特征向量依次为: æ1öæxöæx-2ö÷,b=çx+3÷,b=ç-1÷, b1=ç2xç÷2ç÷3ç÷ç-1÷çx+2÷çx+1÷èøèøèø试求x及3阶方阵B。 -1cöæa÷*5b3,A设矩阵A=ç且A的伴随矩阵有一个特征A=-1,ç÷ç1-c0-a÷èøæ-1ö÷*-1A值为l0，a=ç是伴随矩阵的对应于特征值l0的一个特征向量，ç÷ç1÷èø求常数a,b,c,l0的值。 x-58解 由r(A)<3,知A=0x+18=x(x+1)=0，得x=0或x=-1。 03x+325æ1öæ0öæ-2öæ1öæ0öæ-2ö÷,b=ç3÷,b=ç-1÷,ç0÷,b=ç3÷,b=ç-1÷0b=当x=0时，b1=ç可验证231ç÷ç÷ç÷ç÷2ç÷3ç÷ç-1÷ç2÷ç1÷ç-1÷ç2÷ç1÷èøèøèøèøèøèø线性无关，符合要求它们是B的三个特征值1,-1,0对应的特征向量，即 Bb1=b1,Bb2=-b2,Bb3=0×b3 亦即 B(b1,b2,b3)=(b1,-b2,0). 从而 B=(b1,-b2,0)(b1,b2,b3)æ1=çç0ç-1èæ-5=çç3ç7è0-3-24-3-6-1-10öæ10-2öæ100öæ-54-6ö÷=ç0-30÷ç-11-1÷ 0÷ç03-1÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷0øè-121øè-1-20øè32-3ø-6ö3÷÷8÷ø当x=-1时æ-,=bçç2çè，æ1ö÷b1=ç-2ç÷ç-1÷èøæ-,=bçç2çèö1æ-ö÷ç-b÷,=2÷ç÷3÷1ç÷øèø3可01验,证æ1ö÷b1=ç-2ç÷ç-1÷èø3ö1æ-ö÷ç-b÷,=21,B的三个不÷ç÷3线性相关，不符合要求，因为÷1ç÷0øèø同特征值1,-1,0对应的特征向量应该线性无关，故x=-1不合题意。 由题设条件A=-1, A*a=l0a，将A*a=l0a两边同乘A，并由AA*=AE=-E可得 l0Aa=-a, -1cöæ-1öæaæ-1ö÷ç÷ç÷5b3-1=-即 l0çç÷ç÷ç-1÷,得 ç1-c0-a÷ç1÷ç1÷èøèøèø=1ìl0(-a+1+c）ï=1Þc=a,l0=1,b=-3, íl0(-5-b+3）ïl(-1+c-a）=-1î0再由A=-1,c=a可有 a-1=A=51-c-1b0ca-1a3=5-33=a-3Þa=2。 -a1-a0-a因此,c=a=2,l0=1,b=-3, 30. 设3阶方阵A的特征值为l1=1,l2=2,l3=3，对应的特征向量依次为 æ1öæ1öæ1öç÷ç÷ç÷x1=ç1÷,x2=ç2÷,x3=ç3÷, ç1÷ç4÷ç9÷èøèøèø又 b=2x1-2x2+x3 求Anb(n为正整数)。 解 Anb=2Anx1-2Anx2+Anx3=2l1nx1-2l2nx2+l3nx3=2x1-2n+1x2+3nx3=(2-2n+1+3n2-2n+2+3n+12-2n+3+3n+2) T31设n阶方阵A¹O，满足Am=O， 。 求A的特征值； 证明A不相似于对角阵； 证明E+A=1； 若方阵B 满足AB=BA，证明A+B=B 证明:当Ak=E时，则A可相似于对角阵。 解 设l为A的任意特征值，则lm为Am的特征值，且由Am=O，有lm=0，推出l=0。即幂零矩阵A的特征值全部为零：li=0。 方法1 设A的对应于li=0的特征向量为方程组(0E-A)x=0的非零解向量，因为A¹O，故有r(0E-A)=r(A)>1，A的对应于l=0的线性无关的特征向量个数为n-r(A)£n-1<n，即A没有n个线性无关的特征向量，因此A不相似于对角阵。 方法2 用反证法 假定Ak=O时，A可相似于对角阵 ，即存在可逆阵P，使得 æl1ççP-1AP=çççèl2æl1köç÷çk÷-1-1k=L,则PAP=PAP=ç÷Oç÷÷çlnøè()l2kö÷÷÷ O÷k÷lnø由于Ak=O，所以(P-1AP)=0Þli=0(i=1,2,.,n)。 kæl1çç从而P-1AP=çççèl2ö÷÷÷=0得A=O，与条件相矛盾，故A 不能相O÷ln÷ø似于对角阵； 由于A 的全部特征值均为零li=0，故A+E的特征值全部为1+mi=li+1=1， 因此 E+A=m1m2Lmn=1 分两种情况证明： 当B可逆时，欲证的等式为 A+B=BÛB-1A+B=1ÛB-1A+E=1, 利用本题的结果，只要证明B-1A为幂零矩阵，故有B-1A+E=1，从而问题得证。由已知，AB=BA，将两端左乘B-1，得B-1AB=A,再将两端右乘B-1，B-1A=AB-1，即B-1与A可交换，此时，由Am=O，得到 (BA)=(BA)(BA)L(BA)=(B)-1m-1-1-1-1mAm=O 因此B-1A为幂零矩阵，故有B-1A+E=1。 当B不可逆时，既有B=0,此时欲证的等式为 A+B=BÛA+B=0 由于B=0,故B有特征值0，即存在非零列向量a，使得Ba=0a=0,故对任意正整数k，有Bka=0,由于A，B可交换，故有 m(m-1)m-22ömm-1(A+B)ma=æAB+L+Bm÷açA+mAB+è2!=Ama+mAm-1Ba+m(m-1)m-22ABa+L+Bma=02!ø 即齐次方程组(A+B)mx=0有非零解x=a， 故该方程组的系数行列式为零， 既有(A+B)m=A+B=0， m所以A+B=0，故当B不可逆时，结论也成立。 综上所述有 A+B=B。 (5) 可以证明Ak=E时，A有n个不同的特征值。 事实上，设A的特征值为l1,l2,.,则Ak的特征值为l1k,l2k,.,ln，lnk，又Ak=E故Ak特征值均为1，即lik=1，故l1,l2,.l,n是多项式ln两两f(x)=xn-1的n个根，由于此多项式无重根，因此，l1,l2,.,互异，从而A可相似于对角阵。 32.设A=(aij)n´n为n阶方阵，若任意n维非零列向量都是A的特征向量，证明为数量矩阵，即存在常数k，使得 A=kEn 证由题设条件，n维单位向量ej=(0,0,1,0,0)T(j=1,2,n),n)是A的特征向量，故存在常数lj,使得 Aej=ljej (j=1,2,即éa1jùé0ùêúêúêúêúêajjú=êljúêúêúêúêúêë0úûëanjúûê(j=1,2,n)于是aij=0,(i¹j,i,j=1,2,即A为对角矩阵,n),ajj=lj(j=1,2,n)，æl1çl2ç A=ççèö÷÷ ÷÷lnø当i¹j时，由题设条件知非零向量eiej也是A的特征向量，故存在常数k，使得A(eiej)=k(eiej)AeiAej=keikej由于Aej=ljej(j=1,2,n)，得lieiljej=keikej(lik)ei(lj-k)ej=0因为ei，ej线性无关，故得likljækç于是得A=çççèk(i¹j,i,j=1,2,n)ö÷÷=kE，即A为数量矩阵。÷÷kø33证明：三阶方阵A=(aij)3´3的特征多项式为 lE-A=l3-tr(A)l2+tr(A*)l-A 证明 由于A 的特征多项式 l-a11f(l)=lE-A=-a21-a31-a12-a13-a23 l-a33l-a22-a32为l的首系数为1的3次多项式，其3次项及2次项只在行列式的主对角线上三元素的乘积项中出现，且A 的特征多项式的3次项为l3，2次项为-(a11+a22+a33)l2=-tr(A)l2，常数项为f(0)=-A=(-1)3A=-A；经计算可得f(l)的1次项为： æa22a23a11a13a11a12+çaaaaa21a22333133è32=(A11+A22+A33)l=tr(A*)lö÷lø。 于是得 f(l)=lE-A=l3-tr(A)l2+tr(A*)l-A。 34设A与B都是n阶方阵，证明: (1) AB与BA具有相同的特征值; (2) tr(AB)=tr(BA) 证明 分两种情形 1）设l=0是AB的特征值, a¹0是AB的特征值l=0对应的特征向量, 即(AB)a=0×a=0. 亦即a是齐次方程组 (AB)a=0. 的非零解向量，于是齐次方程组的系数行列式 AB=AB=BA=0 因而齐次方程组 (BA)x=0. 有非零解b，使得(BA)b=0×b=0. 故l=0是BA的特征值。 2）设l¹0是AB的任意特征值,我们证明l也是BA的特征值。 方法1：设a¹0是AB的非零特征值l对应的特征向量, 即ABa=la.(1) 用B左乘上式,有(BA)(Ba)=l(Ba),由于式知Ba¹0，因此l也是BA的特征值。 同理可证BA的特征值都是AB的特征值。因此AB与BA具有相同的特征值; 方法2 用分块矩阵的乘积性质 由于 AöælE-ABOö=çE÷BE÷øèølEA两端取行列式，得=lE-ABBEælE再由çèBAöæE-AöælEOö= ÷çBlE-BA÷E÷çOlEøèøèølEAn再两端取行列式，得×l=ln×lE-ABBE所以lE-AB=lE-BAæE-AöælEçOE÷çBèøè因此AB与BA具有相同的特征值 方法3 因为æOEöæEAöæOEöælEçEO÷çBlE÷çEO÷=çAèøèøèøèBö E÷ø ，两端取行列式，得EABlE=lEBAEEO再两端分别乘值为1的行列式EOEAE-BE与E-AlBE-1OE 得：-BEBlE=OlEEA-Al-1由行列式乘法公式有 EAOlE-BA故 =lEOBE-lAB-1lE-BA=lEE-l-1AB亦即lE-BA=lE-AB因此AB与BA具有相同的特征值 设AB与BA的特征值为 l1,l2,ln，则由公式 tr(AB)= l1+l2+tr(BA)=l1+l2+ln;+ln有tr(AB)=tr(BA)。即成立。 35. 设A与B都是n阶方阵，且AB具有n个不相等的特征值,证明AB与BA相似于同一个对角矩阵. 证明 由上题有：AB与BA具有相同的特征值, 且AB与BA有n个不相等的特征值, 因此它们相似于同一个对角矩阵. é1êbê236 试证明n阶方阵A=aêbêêêëbb1bbbb1bbùbúúbú的最大特征值是 úú1úû