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上海大学高数第章无穷级数第八章 无穷级数 一、基本要求： 1.理介常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件； 2.掌握几何级数,P级数的敛散性； 3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法； 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法； 5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系； 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法； 8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数；掌握e,sinx,0,l,ln(1+x)及(1+x)的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些xa简单的函数展成幂级数； 10.了解幂级数在近似计算中的简单应用； 11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理； 12.会将定义在-p,p,-l,l及0,p,0,l上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。 二、主要内容： 1. 内容提要： 1.数项级数的定义： 设有数列un,n=1,2,3,L,则u1+u2+L=u1+u2+L+un=åun=1¥n称作以u1为首项,以un为近项的无穷级数。 åuk=1nk=sn称作无穷级数åun的前n 项的部分和。 n=1¥若limsn=s,则称级数n®¥åun=1¥n收敛于s,s称为级数åun=1¥n的和,即åun=1¥n=s；若limsn不存在,则称级数åun发散,n®¥¥n=1即åun=1¥n的和不存在。 一般项数列un与部分和数列sn关系：un=sn-sn-1 2.数项级数的性质： 级数åu1¥n收敛的必要条件是：limun=0,当limun¹0或limun不存在时,n®¥n®¥n®¥åun=1¥n必发散。 设k是非零常数,则级数åkun=1¥¥n与åun=1¥n的敛散性相同。 åun=1¥¥n中增加、改变或去掉有限项后,敛散性不变。 设åun=1n=s,åvn=s,则å(an±bn)=åan±åbn=s±s n=1n=1n=1n=1¥¥¥收敛级数任意加括号后所得级数都收敛,且其和不变；发散级数去括号后仍发散。 3.正项级数收敛判别法： 比较判别法： 设当n>v时,有0<un£vn,若åv1¥n收敛,则åu1¥¥n收敛；若åu1¥n发散,则åv1¥n发散。 ¥un比较判别法的极限形式 若lim=l(0£l<+¥),且åvn收敛,则åun收敛； n®¥v11n¥¥unun 若lim=l>0或lim=+¥,且åvn,则åun发散。 n®¥vn®¥v11nn敛散性已知的常用级数 åaqn=0¥¥n 当q<1时收敛,q³1时发散； 1 当p>1时收敛,p£1时发散； åpnn=1¥1p>1时收敛,p£1时发散。 åp 当nlnnn=2()¥¥un+1=r 则当r<1时,åun收敛；当r>1时,åun发散,此时limun¹0； 比值判别法： 若limn®¥n®¥u11n 则当r=1时,此判别法不能判定。 根值判别法： 若limnun=r 则当r<1时,n®¥åu1¥n收敛；当r>1时,åu1¥n发散,此时limun¹0； n®¥ 则当r=1时,此判别法不能判定。 积分判别法： 设函数f(x)在1,+¥)单调下降且非负,则级数正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列sn有界。 åf(n)与反常积分òn=1¥+¥1f(x)dx同敛散。 4.交错级数莱布尼兹判别法： 若un+1£un,n=1,2,L且limun=0,则n®¥å(-1)n=1¥n-1un收敛,且其和小于首项u1。 5.绝对收敛与条件收敛： 若级数åu1¥1¥n收敛,则级数收敛,而级数åu1¥1¥n也收敛,并称此级数发散,则称此级数åu1n¥n为绝对收敛； 若级数 6.函数项级数的概念： åunåunåu1¥条件收敛。 设u1(x),u2(x),Lun(x),L为定义在(a,b)内的函数序列,则定义在(a,b)内的函数项级数。 设xnÎ(a,b),若级数¥åu(x)=u(x)+u(x)+L+u(x)+L 称为n12nn=1n¥åu(x)收敛,则称x为函数项级数åu(x)的收敛点,收敛点的全体称为其收敛域；若级n0¥1¥0n=1数åu(x)发散,则称x为函数项级数åu(x)的发散点,发散点的全体称为其发散域。 n0¥0nn=1n=1设sn(x)为函数项级数和函数。 7.幂级数的概念： 称åu(x)的前n项和序列,若lims(x)=s(x),xÎ(a,b)存在,则称s(x)为åu(x)的nn=1n®¥n¥¥nn=1åaxnn=0¥¥n为x的幂级数,称åa(x-x)n0n=0¥n为x-x0的幂级数。 阿贝尔定理 若级数若级数åaxnn=0¥n在x=x0(x0¹0)处收敛,则适合不等式x<x0的一切x使这幂级数绝对收敛。 在x=x0处发散,则适合不等式x>x0的一切x使这幂级数发散。 åaxnn=0¥n¥¥annn幂级数åanx,则R=lim,R称为åanx的收敛半径,åanx在x<R绝对收敛；在x>R发散。 n®¥an=0n=0n=0n+1n¥¥apnpnn幂级数åanx,则R=plim为åanx的收敛半径,åanx在x<R绝对收敛；n®¥an=0n=0n=0n+1pn¥在x>R发散。其中R=0时,收敛域仅为一点x=0；R=+¥时,收敛域为(-¥,+¥)；0<R<+¥时,收敛域为一有限区间。 8. 幂级数在收敛区间(-R,R)性质： 设¥åaxnn=0nn¥n=A(x),则和函数A(x)在(-R,R)内连续； åaxn=0=A(x)在(-R,R)内可逐项积分,逐项求导,且得到的新的级数收敛半径不变。 x¥ann+1A(x)dx=åx A'(x)=ånanxn-1 xÎ(-R,R) n=0n+1n=1¥n¥。 ò¥0设åanx=A(x), x<R ,j(x)处处连续,则åanéëj(x)ùû=Aéëj(x)ùû,xÎj(x)<R。 nn=0n=0设 åaxnn=0¥¥n=A(x),x<R1；åbnxn=B(x),x<R2；则在x<R=min(R1,R2)上有； n=0¥n¥n¥å(an=0n±bx=ax±bx=A(x)±B(x)； )åånnnnn=0n=0¥¥æ¥nöænö çåanx÷çåbnx÷=å(a0bn+a1bn-1+L+anb0)xn=A(x)B(x)。 èn=0øèn=0øn=09.函数的幂级数展开： 函数的泰勒展开式 设f(x)在x-x0<R具有任意阶导数,且 f(n+1)(x)n+1x-x0)=0,x=x0+q(x-x0),0<q<1 lim(n®¥(n+1)！ 则 f(x)=ån=0¥f(n)(x0)n!(x-x0),x-x0<R n函数的麦克劳林展开式 设f(x)在x<R具有任意阶导数,且 f(n+1)(x)n+1x=0,x=qx,0<q<1 limn®¥(n+1)! 则 f(x)= 常用函数的麦克劳林展开式 ¥121n11°e=1+x+x+L+x+L=åxn,x<+¥2!n!n=0n!x¥(-1)x2n+1,x<+¥131n2n+12°sinx=x-x+L+(-1)x+L=å 3!(2n+1)!n=0(2n+1)!¥(-1)x2n,x<+¥121n2n3°cosx=1-x+L+(-1)x+L=å 2!(2n)!n=0(2n)!nnån=0¥f(n)n!(0)xn,x<R ¥12n4°=1+x+x+L+x+L=åxn,x<1 1-xn=0¥(-1)xn+1,x<1 12131n+1n5°ln(1+x)=x-x+x-L+(-1)x+L=å23n+1n=0n+1a(a-1)2a(a-1)L(a-n+1)na6°(1+x)=1+ax+x+L+x,x<1 2!n!n10.傅立叶级数的概念： 函数在-l,l上的傅立叶级数 设l的周期函数f(x)在-l,l上满足狄利克莱条件： 1°除有限个第一类间断点外处处连续； 1lnpx1lnpx2°仅有有限个极值点，dx,(n=0,1,2L)；bn=òf(x)sindx,(n=0,1,2L)则有以an=òf(x)cos-l-llllla0¥ænpxnpxö为系数所组成的三角级数，+åçancos+bnsin÷称为 函数f(x)的傅立叶级数。 2n=1èllø狄利克莱收敛定理：设f(x)在-l,l满足狄利克莱条件，则f(x)的傅立叶级数在-l,l上收敛，其和函数为s(x)，且 ìïf(x),x为f(x)的连续点；ïï1 s(x)=íéëf(x0+0)+f(x0-0)ùû,x0为f(x)的间断点；2ïï1f(-l+0)+f(l-0)ù,x=±l。éëûïî2当f(x)在-l,l上是偶函数时，则f(x)在-l,l上的傅立叶级数是余弦级数 a0¥npx+åancos2n=1l n=0,1,2L l2npx其中an=òf(x)cosdx0ll 当f(x)在-l,l上是奇函数时，则f(x)在-l,l上的傅立叶级数是正弦级数 npxl n=1 n=0,1,2L l2npx其中bn=òf(x)sindxl0l仅定义在0,l上的函数f(x)可以奇延拓后展成正弦级数；也可以偶函数延拓后展成余弦级数。 åbnsin¥三、重点与难点： 级数收敛，发散，条件收敛，绝对收敛的判定； 幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域以及和函数的求法； 将函数展开成幂级数； 求函数的傅立叶系数与傅立叶级数，写出傅立叶级数的和； 求某些数项级数的和。 典型例题： 例1：判别下列级数的敛散性： 11×3+13×5+L+1(2n-1)(2n+1)+L 1+ç2ö2è3÷ø+æç3ö2è5÷ø+L+æçnö22æè2n-1÷ø+L ¥åæç11ö2n-n=1èn÷ø 解 na1æ11ön=2çè2n-1-2n+1÷ø,s1æ1ön=åak=k=12çè1-2n+1÷ølimn®¥s1æ1ö1n=limn®¥2çè1-2n+1÷ø=2¥所以级数其和为1nå1®¥(2n-1)(2n+1)收敛，2。解 2a=æ2çnönè2n-1÷ølimn®¥aænö1n=limn®¥çè2n-1÷ø=4¹0¥所以级数åæn=1çnö2è2n-1÷ø发散。解 ¥因为公比q=1所以等比级数å12<12n收敛;n=1¥ 因为p=1<112所以级数ån=n发散；1¥故级数åæ1ön=1ç1è2n-n÷发散。ø例2：判别以下级数的敛散性： ¥nån4n=14å¥ 2+(-1)¥1¥2nn,n=13n, å, ,n=1nnnålnnn=13 解 n44un=4n因为r=limun+1n®¥u=lim(n+1)4n1nn®¥4n+1×n4=4<1¥4由比值判别法所以级数ån4n收敛。n=1解 n¥u2+(-1)31n=3n£3n因为ån-收敛n=1313¥由比较判别法所以级数å2+(-1)nn收敛。n=13¥5）å1pn=2n(lnn) 1¥n1nnun=n因为lim=1,调和级数å发散n®¥1nnn=1n n¥1由比较法极限形式所以级数ån发散。n=1nn1解 2nun=lnn3因为r=limnun=limn®¥n®¥23lnnn=2>1由根值判别法解 所以级数ån=1¥23nlnnn发散。f(x)=1x(lnx)p因为ò+¥1x(lnx)2dx=p1(1-p)(lnx)pp-1+¥21ì,p>1p-1ï=í(p-1)(ln2)ï,p£1 î发散由积分判别法 例3：若¥所以级数ån=2¥1n(lnn),在p>1时收敛,在p£1时发散。åa(ann=1¥n³0)收敛，试证：级数 åan,2n=1(2)ån=1¥¥ann,a(3)ån,n=11+an¥(4)å(an+an+1)n=1¥ 收敛。证 因为åan收敛，n=1则liman=0n®¥即存在N2当n>N时有0£an<1所以an<an由比较判别法证 级数åan2收敛。n=1¥an11æ1ö=×a£+ann÷çnn22èn2ø1æ1ö 所以åç2+an÷收敛øn=12èn证 ¥1因为å2n=1n所以ån=1¥¥(p=2>1)与åan收敛n=1¥ann收敛。因为an³0,a故n£an1+anan收敛。ån=11+an¥由åan收敛n=1¥所以证 因为¥¥åa,åann=1n=1n+1 收敛，所以å(an+an+1)收敛。n=1¥例4：判别以下级数的审敛性： æxnö11-()åç÷,其中xn为递增有界的正数列；xn+1øn=1è¥(2)åòn=1¥1n0xdx;1+x(3)åen!;nnn=1¥n(4)å1a>0)。n(1+an=1¥解 因为正数列xn递增有界，即0<x1£x2£L£xn£xn+1£L,所以xn收敛。且有0<un=1-对级数åvn,n=1¥xnx-xx-x=n+1n£n+1nvnxn+1xn+1x1sn=åk=1n即un£vnxk+1-xk11=(xn+1-x1)，limsn=lim(xn+1-x1)存在 n®¥n®¥xx1x11所以åvn收敛n=1¥æxö由比较判别法知：级数åun=åç1-n÷收敛。xn+1øn=1n=1襥解 1x211设un=òdx£ònxdx=£vn3301+x3n2n2¥¥13æö 级数åvn=å3收敛çp=>1÷22øèn=1n=1n1n0由比较判别法知：级数åun=åòn=1n=1¥¥1n0xdx收敛。1+x解 en(n+1)!nnun+1e因为r=lim=lim×=lim=1n+1nnn®¥un®¥n®¥en!(n+1)æ1önç1+÷ènø由比值判别法知：在r=1时失效，因为改用其它方法判别。enn!设un=nnnnìïæ1öüïæ1ö 因为数列íç1+÷ý是单调上升且趋于e的，即对一切n有ç1+÷<eènøïîènøïþue从而有n+1=>1由此得出un+1>unnunæ1öç1+÷ènø¥enn!所以limun³u1¹0故级数ån发散。n®¥n=1n解 1分以下三种情况讨论：n1+a1111°a=1un=limun=¹0n®¥1+122un=2°0<a<13°a>1级数å¥1发散。n1+an=1¥1lim=limun=1¹0n®¥1+ann®¥11un=<1+anan1因为0<<1a1级数å发散。n1+an=1¥¥11级数ån收敛，故级数å收敛。na1+an=1n=1例5：判别以下级数的敛散性： (1)ån=1¥(-1)2n-1n+1(2)ån=1¥(-1)n-1nn×2(3)ån=1¥(-1)nn-lnnnn+1 (4)å(-1)(n+1)!n=1¥n解 ån=1¥(-1)2n-1n+1¥=ån=1¥1n+1n-12¥n2+11因为lim=1,级数ån®¥1n=1nn(p=1)发散所以级数å(-1)n=11n+12发散，å(-1)n=1¥n-11n+1122非绝对发散。 又因为lim1n+12n®¥=0,1n+1¥2>n-1(n+1)12+1由莱布尼兹判别法知：级数å(-1)n=1收敛n+1所以级数å(-1)n=1¥n-1条件收敛。n+121解 ån=1¥(-1)=¥1ånn×2nn=1n×2n-1¥1111öæ因为<,级数收敛公比q=<1÷åçnnnn×2222øèn=1¥ 由比较判别法知：¥级数ån=1(-1)n-1n×2n收敛所以级数ån=1(-1)n-1nn×2绝对收敛。解 1设un=,n-lnn¥ån-lnnn=1¥(-1)n=å1,n=1n-lnn¥11因为limn-lnn=lim=1,n®¥n®¥1lnn1-nn¥n-11级数å发散(p=1),n=1n¥(-1)非绝对收敛，1由比较法极限形式知：级数å发散，级数ån=1n-lnnn=1n-lnn11又因为limun=lim=limn=0n®¥n®¥n-lnnn®¥lnn1-næ1ölnç1+÷-1ù(n-lnn)-é(n+1)-ln(n+1)û11ëènøun+1-un=-=<0n+1-lnn+1n-lnnn+1-lnn+1n-lnnùéù(n+1)-ln(n+1)n-lnné)()ûë()()ûë(所以un+1<un由莱布尼兹判别法知：交错级数å所以级数奥收敛，n-lnnn=1(-1)n(-1)nn=1n-lnn条件收敛。解 ¥¥nn+1nn+1=ååun,(-1)å(n+1)!n=1(n+1)!n=1n=1¥n¥n(n+1)×(n+1)!=limæn+1ö(n+1)=e>1,ur=limn+1=limç÷n+1n®¥un®¥(n+2)!n®¥nnèøn(n+2)nnn+22nn+1由比较判别法知：级数å(-1)非绝对收敛，n+1!()n=1由limun+1unn®¥>1可知：当n足够大时,un+1un>1,即un+1>un,nn+1所以级数å(-1)发散。(n+1)!n=1¥n所以limun¹0,n®¥从而limun¹0,n®¥例6：判别以下级数的敛散性： -1)(1)ånn=2n+(-1)¥n,(2)åsin(p¥n=1n+a22),(3)å(-1)n=1¥n-1an(a¹0)n(4)111111+-+-+Laa+1a+2a+3a+4a+5n(a¹0)解 (-1)不单调,所以不能利用莱布尼兹判别法来判敛。因为un=nn+(-1)nnnnéù-1n-1()()-1)-1n()1ëû= 但是un= =-n222n-1n-1n-1n+(-1)nn¥¥¥-1)n-1)(1易知å2与å2均收敛,故å也收敛。nn-1n-1n=2n=2n=2n+(-1)注：本题说明交错级数的莱布尼兹判别法是交错级数收敛的充分条件。不满足该条件的交错级数也有可能收敛，本题即为一例。 解 sinpn+a(22)=sinénp+êë(pa2nùn+a-np=(-1)sinúûn2+a2+n22)因为当n充分大时,0<pa2所以n2+a2+npa2un=sin>sin22n+a+n¥<p2,épù而正弦函数sinx在ê0,ú内是单调增加的,ë2ûpa2(n+1)+(n+1)n2=un+1,收敛,且limun=limsinn®¥n®¥¥pa2n+a+n22=0,由莱布尼兹判别法知：级数å(-1)sinn=1pa2n2+a2+n即åsinpn2+a2收敛。n=1()解 设un=(-1)n-1an,n¥limn-1n®¥un+1n=lim×a=a,n®¥n+1un2°当a>1时，级数å(-1)n=1¥n-11°当a<1时，级数å(-1)n=1¥an绝对收敛；nan发散；n3°当a=-1时，级数å(-1)n=1n-1(-1)nn1=-å发散；n=1n¥4°当a=1时，级数ån=1¥(-1)nn-1条件收敛。解 本题为任意项级数而非交错级数，考虑每三项加一括号所成的级数。9n2+6n(a-1)+a2-2a+1111æö¥+-åç÷=åa+3n-3a+3n-2a+3n-1èøn=1(a+3n-3)(a+3n-2)(a+3n-1) n=1 由比较判别法易知该级数发散，再由级数的基本性质：发散级数去括号仍发散知¥111111原级数+-+-+L发散。aa+1a+2a+3a+4a+5小结：判别数项级数敛散性时，一般可按如下顺序进行： 例7： ¥n¥n1öx-(1)若幂级数åanx在x=2处收敛，问级数åanæç÷在1°x=12°x=-2处是否收敛？2èøn=1n=1(2)若幂级数åan(x-2)n=1¥n在x=-1处收敛，问此级数在x=4处是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解 幂级数åanxn在x=2处收敛。n=1¥1öæ由阿贝尔定理知：则对一切适合x<2的x，anx绝对收敛，ançx-÷与åanxn的系数相同。åå2øèn=1n=1n=1n¥ 因此对一切适合x-1<2的x,级数aæx-1ö绝对收敛。ånç÷22øèn=1n¥¥n¥所以:¥11öæ1°当x=1时,满足x-<2,所以åançx-÷在x=1处收敛，且绝对收敛。22øèn=1¥11öæ2°当x=-2时,不满足x-<2,所以åançx-÷在x=-2处的敛散性不能确定。22øèn=1nn解 幂级数åan(x-2)在x=-1处收敛。n=0¥n 由阿贝尔定理知：对一切适合x-2<-1-2=3的x,即-1<x<5的该级数都收敛且绝对收敛。 所以åan(x-2)在x=4处收敛且为绝对收敛。n=0¥n例8：求以下幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域： 3n+(-1)nx(1)ånn=1¥n3+(-1)n2x()ånn=1¥n(-1)x2n+13()ånn=13(2n+1)¥n(4)ån=1¥(2x+1)nn解 n+13n+(-13+(-)1)an+1nan=×r=lim=lim×nnn®¥an®¥nn+13+(-1)nnn+1æ1ö1+ç-÷3n3ø=lim×è=nn®¥n+1æ1ö1+ç-÷è3ø¥nn+13,nnn¥¥é3n+(-1)æ1ö11(-1)ù1°x=时，åç÷=åê+nú3n3nn×3èøn=1ên=1úëû¥(-1)收敛，1因为å发散，ånn×3nn=1n=13n+(-1)æ1ö所以级数åç÷nè3øn=1¥nn发散；因为å1¥nnn¥¥é3n+(-1)æ1ö-1)(11ù2°x=-时，+åç-÷=åênú3n3nn×3èøn=1ên=1úëû(-1)nn与å1¥1均收敛,n×3n3n+(-1)æ1ö所以级数åç-÷nè3øn=1¥¥nnn收敛。é11ö,收敛域为ê-,÷。ë33ø 3n+(-1)n1æ11ö所以幂级数åx的收敛半径R=，收敛区间为ç-,÷ n3è33øn=1解 nn+1an=3+(-1)n,因为3+(-1)an+1=ann+1×n3+(-1)nì2nïïn+1=ínïïî2(n+1),n为奇数,n为偶数n3+(-1)an+1n所以lim不存在，故收敛半径不能用比值法确定，而r=lima=lim=1， nn®¥an®¥n®¥nn3+(-1)当x=±1时，级数ånn=1¥¥nn与ån=1¥(-1)n3+1n均发散。3+(-1)n所以幂级数åx的收敛半径 R=1，收敛区间为(-1,1)，收敛域为(-1,1)。nn=11解级数缺少x的偶次幂项，不能直接用比值法求r得收敛半径R=,可采用以下方法： run+1(x)-1)x2n+33n(2n+1)(x)(方法一：r=lim=limn+1×=n2n+1n®¥u(x)n®¥33(2n+3)(-1)xn1°当n+12xxx232<1,即>1,即x<3,x>3,22x<3时，收敛；x>3时，发散；2°当3°当323=1,即x=±3时，级数ån=1¥(-1)32n+1n与ån=1¥(-1)n-132n+1均收敛。ù所以，原幂级数的收敛半径R=3，收敛区间为-3，3，收敛域为éë-3，3û。()(-1)tn方法二：令t=x2,原级数为x×ånn=13(2n+1)n+1-1)3n(2n+1)(an+1lim=limn+1×nn®¥an®¥32n+3()(-1)n¥n1=,即t<3时收敛,3从而x<3,也即x<3时收敛,而当x=±3时,级数2ån=1¥(-1)n32n+1与ån=1¥(-1)n-132n+1都收敛。ù所以，原幂级数的收敛半径R=3，收敛区间为-3，3，收敛域为éë-3，3û。解 ()因为ån=1¥(2x+1)nn不是x的幂级数，而是2x+1的幂级数，可用代换：令t=2x+1,¥ån=1¥(2x+1)nntn=å,n=1n¥limn®¥an+1n=lim=1,n®¥n+1ann¥-1)(1发散，2°t=-1时，收敛。 1°t=1时，åånnn=1n=1tn所以幂级数å的收敛域为-1£t<1,即-1£2x+1<1,n=1n¥所以原幂级数ån=1¥(2x+1)n¥n的收敛半径为1，收敛区间为(-1,0)，收敛域为é-3，3ù。ëû2¥an+11kn+m小结：标准形式的幂级数åanx的收敛半径可直接由r=lim而得R=。而当幂级数缺项，即åanx时，n®¥arn=1n=1k可用变量代换法令t=x求得收敛半径或由un=anxkn+m，利用级数的比值判别法求出。另外，当幂级数为非标n准形式，如nt=ax+b，也可令，求出aax+bat()ånån的收敛半径，转而代回x求出原幂级数的收敛半n=1n=1¥n¥径及收敛域。 例9：求以下幂级数的和函数： ¥¥n2+1nn(2n+2)2n+1x(1)ånx(2)å(-1)2n!2n+1!()n=0n=0解 2(3)ån(x-1)n=1¥n(4)å(-1)n=1¥n+1nx2nxn (5)ån=1n(n+1)¥limn®¥(n+1)+1×2nn!=0,当xÎ-¥,+¥时,其和函数()2n+1(n+1)!n2+1¥nnnn¥¥¥n2+1n¥n(n-1)+n+1æxö1æxö1æxö1æxöS(x)=ånx=å×ç÷=å+ç÷åç÷åç÷n!è2øn=2(n-2)!è2øn=1(n-1)!è2øn=0n!è2øn=02n!n=0æxö=ç÷è2ø2¥¥1æxöx¥1æxö1æxö+åååç÷ç÷ç÷2n=0n!è2øn=0n!è2øn=0n!è2ønnnnæx2xö¥1æxö=ç+1÷åç÷è22øn=0n!è2øxæx2xö2=ç+1÷eè22ø-¥<x<+¥解 -1)(2n+4)2n+1)!(lim×n®¥(2n+3)!(-1)n(2n+2)n+1=0,当xÎ(-¥,+¥)时，其和函数'''nn2n+1é¥xùé¥(-1)x2n+2ùé¥(-1)x2n+1ùxn(2n+2)xs(x)=òs(x)dx=êåò(-1)dxú=êåú=êx×åú 00(2n+1)!ën=0ûêën=0(2n+1)!úûêën=0(2n+1)!úû()'=(xsinx)=sinx+xcosx解 ',-¥<x<+¥n令t=x-1,limån(x-1)=åntn=1n=1¥n¥=tåntn-1n=1¥n®¥an+1n+1=lim=1,当tÎ(-1,1)时，n®¥ann¥étæ¥n-1öùé¥tn-1ùæ¥nöætö1n-1s(t)=ånt=òs(t)dt=êòçånt÷dtú=êåòntdtú=çåt÷=ç=÷20001-tèø(1-t)n=1n=1n=1n=1èøëûèøëût'(n)''''所以解 ån(x-1)=ts(t)=n=1¥t(1-t)2=x-1éë1-(x-1)ùû2=x-1(2-x)2,0<x<2-1)(n+1)(an+1lim=lim=1,当xÎ(-1,1)时，其和函数n+12n®¥an®¥(-1)nn'¥ìüéùéùéùn+12nn+12n-1n+1n+1n+1ïnn-1nïs(x)=å(-1)nx=x×å(-1)nx=x×êå(-1)nxú=xêxå(-1)nxú=xíxêå(-1)xúýn=1n=1ën=1ûën=1ûûþïën=1ï¥¥'éxùx(1-x)ìïæxöüï=xíx×ç=÷ý=xê2ú31+x1+x()()êúïè1+xøþïîëû'''''n+22,-1<x<1解 n(n+1)an+1lim=lim=n®¥an®¥(n+1)(n+2)nxns(x)=ån=1n(n+1)¥当1,xÎ(-1,1)时，其和函数,s(0)=0¥¥1xn¥xnn当x¹0时，s(x)=åx=å-ånn+1n+1()n=1n=1nn=1ö11n1æ¥xnx=-x-ln(1-x)-xùåçå÷=éëûxèn=1nn=1n+1øx¥11所以s(x)=åxn=-ln(1-x)-éë-ln(1-x)-xùûnn+1x()n=11n其中，x=-ln(1-x),ån=1n¥¥ln(1-x)(1-x)ln(1-x)+1=1+xxì(1-x)ln(1-x)n¥x¹0,-1£x£1ï1+xx即å