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上海交通大学出社 大学物理教程振动与波习题思考题答案习题3 3-1原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 解：振动方程：x=Acos(wt+j)，在本题中，kx=mg，所以k=9.8； w=k9.8=98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。 所以：x=0.1cos 即：x=-0.1cos(98t)。 3-2有一单摆，摆长l=1.0m，小球质量m=10g，t=0时，小球正好经过q=-0.06rad处，并以角&=0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：速度q角频率、频率、周期；用余弦函数形式写出小球的振动式。 解：振动方程：x=Acos(wt+j) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 角频率：w=g=9.8=3.13rad/s， l1g9.8=0.5Hz ， 频率：n=2pl2p周期：T=2pl2p=2s； g9.8&=-3.13Asin，q振动方程可表示为：q=Acos &>0(1，象限）2qqt=0cosj=根据初始条件，时：，sinj=- A<0(3，象限）43.13A-200可解得：A=8.8´10m，j=227=-133=-2.32， 所以得到振动方程：q=8.8´10-2cosm 。 3-3一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时，位移为6cm，且向x轴正方向运t=0.5s时，动。求：振动表达式；质点的位置、速度和加速度；如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：由题已知 A=0.12m，T=2 s ， w=2p=p T又t=0时，x0=6cm，v0>0，由旋转矢量图，可知：j=-p3将t=0.5 s代入得： p3）m； x=0.12cos=0.12cos=0.104m， 36v=-0.12psin=0.12cos=-0.188m/s， 36p pp3222a=-0.12pcos=-0.12pcos=-1.03m/s， 36方向指向坐标原点，即沿x轴负向； 由题知，某时刻质点位于x=-6cm=-ppppPwA， 2A2xQ且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走Dj=有：Dt=p3+p2，建立比例式：DjDt=， 2pT5s 。 63-4两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 x1=A/2处，且向左运动时， 相位为p， 34p。 3而质点2在 x2=-A/2 处，且向右运动， 相位为所以它们的相位差为p。 3-5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 1211kx，Ek=mv2，有：EP=kA2cos2(wt+j)， 22211Ek=mw2A2sin2(wt+j)=kA2sin2(wt+j)， 22A当x=时，由x=Acos(wt+j)， 213有：cos(wt+j)=，sin(wt+j)=， 22解：由EP=EP1Ek3=，=； E4E41E时，有：cos2(wt+j)=sin2(wt+j) 2当EP=Ek=cos(wt+j)=±12A=±0.707A。 ，x=±223-6两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 求合振动的振幅。 求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 A1初相：j1=p2，A2初相：j2=-p2， 表明两者处于反相状态， 1，2L） cos 。 T23-7两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为p。若第一6个振动的振幅为103cm。则第二个振动的振幅为多少？两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理： 2由图知 A2=A12+A2-2A1Acos30°=0.01 m A=0.1 m ， sinqsin300再利用正弦定理：，有： =AA2pAsinq=1，q=。 22A2说明A与A间夹角为/2，即两振动的位相差为/2 。 3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： ìæx=4cosçïïè íïy=4coæsçïèîìæx=4cosçïïè íïy=4coæsçïèîìpöæx=4cosp8t+÷ç÷ï6ø6øïè ； í ； pö5pöïy=4coæp8t-÷sp8t-ç÷ï6ø6øèîpöp8t+÷6ø 。试判别质点运动的轨迹。 2pöp8t+÷3øp8t+pö解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于x=Acos(wt+jx)，y=4cos(wt+jy)的叠加，可推得： x2+y2-2xycos(jx-jy)=A2sin2(jx-jy) ppp222p将jx=，jy=-代入有：x+y-2xycos=16sin， 663322则方程化为：x+y-xy=12，轨迹为一般的椭圆； p5p222将jx=，jy=-代入有：x+y-2xycosp=16sinp 6622则方程化为：x+y-2xy=0，即x+y=0，轨迹为一直线； p2pp222p将jx=，jy=代入有：x+y-2xycos=16sin 6322222则方程化为：x+y=4，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。 3-9沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后周期为2.0s，求波长和波速。 p，已知振动6解：根据题意，对于A、B两点，Dj=j2-j1=而相位和波长之间满足关系：Dj=j2-j1=-p6x2-x1，Dx=2m， l2p=-Dxl2p， 代入数据，可得：波长l=24m。又T=2s，所以波速u=lT=12m/s。 3-10已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y=Acos(wt+j)，波速为u，求： 平面波的波动式； 若波沿x轴负向传播，波动式又如何? +j0，则P点的振动式为： 解：设平面波的波动式为y=Acoswxux1）+j0，与题设P点的振动式yP=Acos(wt+j)比较， uwx1x-x1+j，平面波的波动式为：y=Acosw(t-有：j0=)+j； uux+j0，则P点的振动式若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y=AcoswuyP=Acosw+j0，与题设P点的振动式yP=Acos(wt+j)比较， uwxx-x1有：j0=-1+j，平面波的波动式为：y=Acosw(t+)+j。 uuyP=Acosw该平面简谐波的表达式； B点的振动表达式。 解：仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为： xy=Acos2pn+j0，则A点的振动式：u-lyA=Acos2pn+j0 u题设A点的振动式y=Acos(2pnt+j)比较，有：j0=该平面简谐波的表达式为：y=Acos2pn+j uuB点的振动表达式可直接将坐标x=d-l，代入波动方程： y=Acos2pn+j=Acos2pn+j uuu1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 33-12已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t=写出O点的振动表达式； 写出该波的波动表达式； 写出A点的振动表达式； 写出A点离O点的距离。 解：由图可知：A=0.1m，l=0.4m，而T=2s，则：u=l/T=0.2m/s， 2p2p=p，k=5p，波动方程为：y=0.1cos(pt-5px+j0) TlO点的振动方程可写成：yO=0.1cos(pt+j0) 1p由图形可知：t=s时：yO=0.05，有：0.05=0.1cos(+j0) 33p5pdyO考虑到此时 <0，j0=，33dtw=那么：O点的振动表达式：yO=0.1cos(pt+波动方程为：y=0.1cos(pt-5px+p3)； p3)； 设A点的振动表达式为：yA=0.1cos(pt+jA) 1ps时：yA=0，有：cos(+jA)=0 335p7pdyA考虑到此时 >0，jA=-66dt5p7p)，或yA=0.1cos(pt+)； A点的振动表达式：yA=0.1cos(pt-66由图形可知：t=将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为： yA=0.1cos(pt-5pxA+)，与求得的A点的振动表达式比较，有： 35pp7pt-=pt-5pxA+，所以：xA=0.233m 。 63303-13一平面简谐波以速度u=0.8m/s沿x轴负方向传线如图所示。试写出： 原点的振动表达式； 波动表达式； 同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！ 由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO=5´10-3cos(wt+j0)。 当t=0时，yO当t=1时，yOt=0p播。已知原点的振动曲=2.5´10-3，考虑到：dyOdtt=0>0，有：j0=-p3， t=1=0，考虑到：dyOdt-3t=1<0，有：w-p3=p2，w=5p， 6原点的振动表达式：yO=5´10cos(5ppt-)； 63-35ppt+kx-) 63w5p124p5p24pp-3´=t+x-)； 而k=，y=5´10cos(u60.8256253Dx25=kDx=p=3.27rad 。 位相差：Dj=2pl24沿x轴负方向传播，设波动表达式：y=5´10cos(-33-14一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0´10J/(s×m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：已知波的平均强度为：I=9.0´10-3J/(s×m)，由I=w×u 有： I9.0´10-3w=3´10-5J/m3 u300wmax=2w=6´10-5J/m3； 1212u由W=w×V，W=w×pdl=wpd 44np=3´10-5J/m3´×(0.14m)2×1m=4.62´10-7J 。 43-433-15一弹性波在媒质中传播的速度u=10m/s，振幅A=1.0´10m，频率n=10Hz。若该媒质的3密度为800kg/m，求：该波的平均能流密度；1分钟内垂直通过面积S=4.0´10m的总能量。 -42解：由：I=1urA2w2，有： 2122I=´103´800´=1.58´105W/m2； 2-421分钟为60秒，通过面积S=4.0´10m的总能量为： W=ISt=1.58´105´4´10-4´60=3.79´103J 。 1p波长，S1比S2的位相超前。若两波在在S1、S2连线方向上42的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的3-16设S1与S2为两个相干波源，相距强度如何？ 解：如图，S1、S2连线上在S1外侧， o2plr1(r2-r1)=-×=-p， Dj=j2-j1-l2l42ppS1·r2S2·两波反相，合成波强度为0； 如图，S1、S2连线上在S2外侧， Dj=j2-j1-2pl(r2'-r1')=-p2-2p(-)=0， l4lS1·两波同相，合成波的振幅为2A， 合成波的强度为：I=(2A)2=4A2=4I0 。 3-17图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求： 声源发出的声波频率； 抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：Dx=相邻波节与波腹的间距：Dx=S2·r'o2r1'D为声音探测器，的。干涉仪内有空增至B距第一位置l2， l4，可得：l=4Dx=6.6cm。 声音的速度在空气中约为340m/s，所以：n=2I=A，Imin=(A1-A2)，Imax 2ul=(A1+A2)2，依题意有： A12= 。 A21=340=5151。 -26.6´10(A1-A2)2=100(A1+A2)2=900 ÞA1=20A2=10 ，那么3-18蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的1的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多40少？ 解：根据多普勒效应， n反uuu+vSu+vS40=3900041=41000=n0=n0=n0(Hz) uu-vSuu-vS39u-40u+3-19一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求： 声源在空气中发出声音的波长； 每秒钟到达反射面的波数； 反射波的波速； 反射波的波长。 解：在声源前方静止接收器接收到的频率 n1=n0声音的波长l=un1=uun0u-vSu u-vSu-vS331-30=0.28(m) n01080u+v反331+65每秒钟到达反射面的波数为 n2=n0=1080=142(1Hz )u-vS331-30(m/s) 波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 u=331u331=0.23(3m )反射波的波长为 l2=n214213-20试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近，观察者在A点听得拍音的频率为Dn=3Hz，求波源移动的速度vs，设声速为340m/s。 解：根据观察者不动，波源运动，即：uS¹0，uR=0， un0， 观察者认为接受到的波数变了：n=u-uS其中u=340，n=2043，n0=2040，分别代入，可得：uS=0.5m/s 。 思考题 3-1试说明下列运动是不是简谐振动： 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。 d2x2或者说，若一个系统的运动微分方程能用2+wx=0描述时，其所作的运动就是谐振动。 dt那么，拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内d2x2部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用+wx=0描述时，其所作的运动2dt就是谐振动。 小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsinq。题中所述，DS<<R，故q=DS®0，所以回复力为-mgq。即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 gd2qd2q22w=+wq=0。 mRmR，令，则有：=mgq22Rdtdt3-2简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： v=-wAsin(wt+j)； 加速度：a=-Awcos(wt+j)； 要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。 3-3分析下列表述是否正确，为什么? 若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； 简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：的表述是正确的，原因参考7-1； 的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 23-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1：使其从平衡位置压缩Dl，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2Dl，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用T1、T2和E1、E2表示，则它们满足下面那个关系？ T1=T2 T1¹T2E1=E2 T1=T2E1¹E2 E1=E2 T1¹T2E1¹E2 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择。 3-5一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从x1=为多少？ 答：质点从x1= 3-6一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置x=0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于x=A/2处时；其势能的瞬时值为多少？ 答：由题意，在平衡位置x=0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于x=A/2处时；其势能的瞬时值为： 12112150kx=k=EM=12.5J。 22244A运动到x2=A处所需要的最短时间2pp/4TA=。 运动到x2=A处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：Dt=2w843-7.图表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形图，则图表示的是： 质点m的振动曲线； 质点n的振动曲线； 质点p的振动曲线； 质点q的振动曲线。 答：图在t=0时刻的相位为p，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。 23-8从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。 3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？ 答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。 3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。 答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率，它们与标准频率(n2)形成拍的拍频将随着增大或减小，扬声器发出的拍音也随之变短或变长。