三阶行列式按一行展开.docx

三阶行列式按一行展开三阶行列式按一行(或一列)展开 数学组 孙冬梅 教学内容分析 三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法。本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则。 学情分析 学生已掌握三阶行列式的对角线法则，并在计算过程中体会到对角线法则展开的不便。这种认知和困惑是进行本次课的一个有效开端，也是培养学生进行数学研究的有效思维路径。 教学目标 (1) 掌握余子式、代数余子式的概念； (2) 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法； (3) 体会用简单刻画复杂、将复杂问题简单化的数学思想 教学重点和难点 三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定。 教学设计思路 复习简单的二阶、三阶行列式的展开，发现二、三阶行列式之间的联系，推演至三阶行列式的按一行(或一列)展开。过程中的难点是代数余子式的符号确k(-1)定，引导学生将符号的变化与相联系。通过相关例题，强化代数余子式展开的原理，并体会其与对角线法则的比较优劣。 教学准备 学生已掌握二阶、三阶行列式的对角线法则。 教学过程 一、情景引入 将下列行列式按对角线法则展开： b2c2=b3c3_ a1a2a3b1b2b3c1c2=c3_ 说明 请学生展开几个行列式的主要目的：巩固复习前面学习的知识；同时，有助a1b1c1a2b2c2abc于学生发现三阶行列式333与相应的二阶行列式间的关系。 二、三阶行列式的代数余子式展开的推导 1、提问：请同学们观察两个行列式展开式的特征，你能发现哪些有趣的现象？ 2、根据所发现的特征，将三阶行列式展开式中的正负项两两结合，得到：a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1 =a1(b2c3-b3c2)+a2(b3c1-b1c3)+a3(b1c2-b2c1) a1a2b1b2c1c2abc3、对比、分析以上两个行列式的展开式，你能将三阶行列式333表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ 进一步，如何处理中间项a2(b3c1-b1c3)的二阶行列式表达？ a1a2b1b2c1c2abc4、将三阶行列式333表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能a1b1c1b2c2a2c2a2b2a2b2c2=a1-b1+c1b3c3a3c3a3b3a3b3c3不唯一，可以有等等 三、知识整理与解析 1、概念整理 a1a2b1b2b3c1c2c3在刚才的实验中，将三阶行列式算的式子： a3表示成了含有三个二阶行列式运a1a2a3b1b2b3bc2=a12b3c3b2c1c2b-a21c3b3c2b1c1b+a31c3b2c1b1b2c1c2c1c2。 bcbc其中二阶行列式33、33、分别叫做元素a1，a2，a3的余子式，添上相应的符号(正号省略)，如 bcbcbcA1=22A2=-11A3=11b3c3b3c3b2c2 ， A1、A2、A3分别叫做元素a1，a2，a3的代数余子式于是三阶行列式可以表示为第一列的各个元素与其代数余子式的乘积之和： a1b1c1bcbcbca2b2c2=a122-a211+a311b3c3b3c3b2c2a3b3c3像这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一列展开 2、代数余子式的符号确定探索 提问：我们能否类似的将三阶行列式按其余的行或列展开？ a1b1c1acacaca2b2c2=-b122+b211-b311a3c3a3c3a2c2a3b3c3例如：等等 从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定 提问：如何确定每一个代数余子式的符号？试根据以推得的代数余子式的展开式进行研究讨论。 说明 (1)以上主要由学生合作完成，目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程； (2)通过上述研究，引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，i+j(-1)其代数余子式的正负号是“” 一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号) 四、例题讲解 320-213-201例题1 按要求计算行列式： (1)按第一行展开； (2)按第一列展开； 自选一行展开。 说明 (1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)； (2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便 例题2.化简： 1001a-1a-11-22a0bdc00ef、 、 说明 让学生学会观察比较两种行列式展开的特点，选取不同的展开方式进行三阶行列式的展开。选择代数余子式展开较优；选择对角线法则展开较快。 四、课堂小结 (1)余子式、代数余子式的概念； (2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法 五、作业布置 作业册相应一节练习 教学反思 本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要把本节课的教学模式设计为通过实验探究、层层递进、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法。