三角形解的个数问题专题.docx

三角形解的个数问题专题解三角形专题2 三角形解的个数问题 图形 A为锐角 A为钝角或直角 关系 bsinA<a<b ab ab A<bsinA 解的个数 无解 A=bsinA 一解 两解 一解 无解 1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？ (1) a=7,b=8,ÐA=105 (2) a=10,b=20,ÐA=80 (3) b=10,c=56,ÐC=60 (4) a=23,b=6,ÐA=30 答案:(1) ÐA>90而a<b，故无解 (2) ÐA<90,a<bsinA<b，故有无解 (3) c>b，故有一组解 (4) ÐA<90,bsinA<a<b，故有两组解 2在ABC中，A=45°，AB=3，则“BC=2”是“ABC只有一解且C=60°”的 A充分不必要条件 另解法 法1：大角对大边 在已知DABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 第 1 页 共 3 页 B必要不充分条件C充要条件 D既为充分也不必要条件 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求 出B的值，根据三角函数的有界性求解 在DABC中，已知a=3，b=2，B=45°，求A、C及c 解：由正弦定理，得sinA=asinB3sin45°3b<a，B=45°<90°，A=60°或120° =b22bsinC2sin75°6+2； =sinBsin45°2当A=60°时，C=75°，c=当A=120°时，C=15°，c=bsinC2sin15°6-2 =sinBsin45°2点评：在三角形中，a>bÛA>BÛsinA>sinB这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘 法2：二次方程的正根个数 一般地，在DABC中的边长a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元 二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解 D 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14， ÐBDA=60°，ÐBCD=135°，求BC的长 C A 解：在DABD中，设BD=x，由余弦定理得142=x2+102-2×10xcos60°， 整理得x2-10x-96=0，解得x=16 由正弦定理，得BC=BDsinÐCDB16sin30°=82 sinÐBCDsin135°B 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出， 利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷 法3：画圆法 已知DABC中，A为已知角，先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有第 2 页 共 3 页 交点，如果 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2 在DABC中，ÐA=60°，a=6，b=3，则DABC解的情况 C a 无解 有一解 有两解 不能确定 b A D 解：在A的一边上确定顶点C，使AC=b=3，作ÐCAD=60°， 以顶点C为圆心，以CB=a=6为半径画圆，看该圆与AD没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A 第 3 页 共 3 页