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三角函数知识点总结高中数学第四章-三角函数 考试内容： 角的概念的推广弧度制 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求： 理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 “同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1” §04. 三角函数 知识要点 1. 与a终边相同的角的集合：b|b=k´360o+a,kÎZ 3sinx4cosxcosxy2sinx1cosx终边在x轴上的角的集合： b|b=k´180o,kÎZ 终边在y轴上的角的集合：b|b=k´180+90,kÎZ ooxcosx4sinx2sinx3终边在坐标轴上的角的集合：b|b=k´90o,kÎZ 终边在y=x轴上的角的集合：b|b=k´180o+45o,kÎZ 终边在y=-x1SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域轴上的角的集合：b|b=k´180-45,kÎZ oo若角a与角b的终边关于x轴对称，则角a与角b的关系：a=360ok-b 若角a与角b的终边关于y轴对称，则角a与角b的关系：a=360ok+180o-b 若角a与角b的终边在一条直线上，则角a与角b的关系：a=180ok+b 角a与角b的终边互相垂直，则角a与角b的关系：a=360ok+b±90o 高三数学总复习三角函数 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2p 180°=p 1°=0.01745 1=57.30°=57°18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad180°57.30°=57°18 1°pp1800.01745 3、弧长公式：l=|a|×r. 扇形面积公式：s扇形=12lr=12|a|×r y24、三角函数：设a是一个任意角，在a的终边上任取一点PP与原点的距离为r，则 sinacosa=xr=yr； rya的终边P +ox-正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： sinx>cosxOx16. 几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|p(3) 若 o<x<,则sinx<x<tanx2三角函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx f(x)=secx f(x)=cscx 定义域 x|xÎR x|xÎR 1ìüíx|xÎR且x¹kp+p,kÎZý2îþx|xÎR且x¹kp,kÎZ 1ìüíx|xÎR且x¹kp+p,kÎZý2îþx|xÎR且x¹kp,kÎZ cosa=tana8、同角三角函数的基本关系式：sinatana×cota=1 csca×sina=1 222cosasina=cota2seca×cosa=1 22sina+cosa=1 seca-tana=1 csca-cota=1 9、诱导公式： 把kp2 ±a的三角函数化为a的三角函数，概括为：高三数学总复习三角函数 “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：基本关系 公式组二 公式组三 公式组一sinx·cscx=1cosx·secx=1tanx·cotx=1tanx=x=sinxcosxsinx+cosx=11+tanx=secx2222sin2(kp+x)=sinxcos2(kp+x)=cosxtan2(kp+x)=tanxcot2(kp+x)=cotxsin-(x)=-sinx cos x 2 2sinxcos-(x)=cosxtan-(x)=-tanxcot-(x)=-cotx 1+cotx=cscx公式组四 公式组五 公式组六 sin(p+x)=-sinxcos(p+x)=-cosxtan(p+x)=tanxcot(p+x)=cotxsin2(p-x)=-sinxsinp(-x)=sinxcos2(p-x)=cosxtan2(p-x)=-tanxcot2(p-x)=-cotxcosp(-x)=-cosxtanp(-x)=-tanxcotp(-x)=-cotx角与角之间的互换 公式组一 公式组二 acosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin2a=2sincos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin(a+b)=sinacosb+cosasinb2222 cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina tan2a=2tana1-tan2asin(a-b)=sinacosb-cosasinbsina2=±1-cosa2tan(a+b)=tana+tanb1-tanatanbtana-tanb1+tanatanbcosa2=±1+cosa2sina1+cosa1-cosasinatan(a-b)= tan 11212a2=±1-cosa1+cosa=公式组三 公式组四 公式组五 2tansina=1+tana22sinacosb=2sin(asin(acos(a+b)+sin(a-b+b)-sin(a-b)cos(121212p-a)=sinap-a)=cosap-a)=cotaa2 cos asinb=)sin(tan(cosacosb=+b)+cos(a-b1-tancosa=1+tan2a22a2sinasinb=-12cos(a+b)-cos(a-bsina+sinb=2sinsina-sinb=2cosa+b2a+b2a+bcossincosa-b2a-b2a-b2a-b2cos(tan(sin(121212p+a)=-sina2tantana=1-tana22p+a)=-cotap+a)=cosaooa26-4 cosa+cosb=2coscosa-cosb=-2sin22a+b2sinsin15o=cos75o=,sin75o=cos15o=6+42,tan15o=cot75o=2-3,tan75=cot15=2+3. 高三数学总复习三角函数 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y=sinxy=cosxy=tanx1ìüíx|xÎR且x¹kp+p,kÎZý2îþ y=cotxy=Asin(wx+j)R R -1,+1 R -1,+1 x|xÎR且x¹kp,kÎZR p R p -A,A 2p 2p 奇函数 p22pw偶函数 (2k-1)p,奇函数 pæpö+kp,+kp÷ç-2è2ø奇函数 当j当j¹0,=0,非奇非偶 奇函数 -+2kp,2kp；(kp,(k+1)p)上为减函数 p2+2kp上为增函上为增函数数 2kp,上为增函数；+2kp,+2kp(2k+1)ppéù2kp-jêú2(A),êúwêúêú1ê2kp+p-jú2ê(-A)úwëûp22上为减函数 上为增函数； péù2kp+-jêú2(A),úêwêúêú32kp+p-jêú2(-A)úêwëû3p上为减函数 注意：y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx反.一般地，若y=f(x)在a,b上递增，则y=-f(x)在a,b上递减. 上为减函数的单调性也同样相yy=sinx与y=cosx的周期是p. =cos(wx+j)pwy=sin(wx+j)或yy=tanx2的周期T=2pw. Ox的周期为2p. p2y=sin(wx+j)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称=kp+，对称中心；y+12=(socwx+j)的=kp，对称中心=(naty=cos2x¾¾¾¾®y=-cos(-2x)=-cos2x tanb当tana·=1,a+b=kp+p2(kÎZ)tanb；tana·=-1,a-b=kp+p2(kÎZ). y=cosxpö与y=sinæ+2kp÷是同一函数,而y=(wx+j)是偶函数，则 çx+è2ø12y=(wx+j)=sin(wx+kp+p)=±cos(wx). 高三数学总复习三角函数 函数y=tanx在R上为增函数. 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.，二是满足奇偶性条件，偶函数：f(-x)=-f(x)） f(-x)=f(x)，奇函数：奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y=tanx是奇函数，y=tan(x+1p)是非奇非偶. 奇函数特有性质：若0Îx的定义域，则f(x)一定有质） f(0)=0.； yyx1/2xy=cosx是周期函数；y=cosx为周期函数； y=cos|x|图象y=cos2x+12的周期为p，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|cos2x+1/2|图象y=f(x)=5=f(x+k),kÎR. y=acosa+bsinb=a+b22sin(a+j)+cosj=ba 有a2+b2³y. 11、三角函数图象的作法： ）、几何法： ）、描点法及其特例五点作图法，三点二线作图法. ）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数yAsin的振幅|A|，周期T=2p|w|，频率f=1T=|w|2p，相位wx+j;初相j， 由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换 由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长或缩短到原来的|1w|倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x) 由ysinx的图象上所有的点向左或向右平行移动个单位，得到ysin的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x) 由ysinx的图象上所有的点向上或向下平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移 高三数学总复习三角函数 由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数： 函数ysinx，æ1，值域是ééppùöççxÎê-，ú÷÷ë22ûøè的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是1，ppùê2，2úëû 函数ycosx，的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0， 函数ytanx，ææppööççxÎç-，÷÷÷è22øøè的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是，值域是æppöç-，÷è22ø 函数yctgx，x的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是，值域是 II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin(-x)=-arcsinx，xÎ-1,1 注：sin(arcsinx)=x，xÎ-1,1，arcsinxÎé-p,pù. êúë22û反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=p+2kp，xÎ-1,1. 注：cos(arccosx)=x，xÎ-1,1，arccosxÎ0,p. y=cosx是偶函数，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx为奇函数. pp2,2反正切函数：y=arctanx，定义域(-¥,+¥)，值域，y=natcrax是奇函数， 反余切函数：y=arccotx，定义域(-¥,+¥)，值域，y=cratocx是非奇非偶. 注：cot(arccotx)=x，xÎ(-¥,+¥). y=arcsinx与y=arcsin(1-x)互为奇函数，y非奇非偶但满足arccos(=arctanx同理为奇而y=arccosx与y=arccotx-x)+arccosx=p+2kp,xÎ-1,1arccotx+arccot(-x)=p+2kp,xÎ-1,1. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a的取值范围 解集 sinx=aa的取值范围 解集 x=a的解集 cos高三数学总复习三角函数 的解集 a1 Æ+arcsian,kÎZ ka1 Æa=1 x|x=2kp1 a=1 x|x=2kp+arccosa,kÎZ ax|x=kp+(-1)arcsian,kÎZ+arctana,kÎZ a1 x|x=kp±arccos=aa,kÎZtanx=a的解集：x|x=kp cotx的解集：x|x=kp+arccota,kÎZ 3二、三角恒等式. 组一 组二 ncosacos2acos4a.cos2a=nsin22n+1n+1asin3a=3sina-4sinacos3a=4cosa-3cosa3sin2a-sin22b=sin(a+b)sin(a-b)2sina=cosb-cosaÕcosk=1a2k=cosa2cosa4cosa8Lcosa2n=sina2sinnan2nåcos(x+kd)=cosx+cos(x+d)+L+cos(x+nd)=k=0nsin(n+1)d)cos(x+nd)sindåk=0sin(x+kd)=sinx+sin(x+d)+L+sin(x+nd)=sin(n+1)d)sin(x+nd)sindtan(a+b+g)=tana+tanb+tang-tanatanbtang1-tanatanb-tanbtang-tangtana组三 三角函数不等式 sinxxtan=px,xÎ(0,p2)f(x)=sinxx在(0,p)上是减函数 若A+B+C，则x2+y2+z2³2yzcosA+2xzcosB+2xycosC 高三数学总复习三角函数