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三角函数综合知识讲解基础三角函数综合 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义. 3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(wx+j)的简图，理解A、w、j的物理意义. 5掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用 6熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化. 要点一：终边相同的角 1终边相同的角 凡是与a终边相同的角，都可以表示成k×360°+a的形式. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍. 特例： 终边在x轴上的角集合a|a=k×180°，kÎZ， 终边在y轴上的角集合a|a=k×180°+90°，kÎZ， 终边在坐标轴上的角的集合a|a=k×90°，kÎZ. 在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小. 2弧度和角度的换算 oo(1)角度制与弧度制的互化：p弧度=180，1=p180弧度，1弧度=(180p)o»57o18' (2)弧长公式：l=|a|r(a是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：S=要点诠释： 11lr=|a|r2. 22-2p等等，一般地, 正角的弧度数(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-p，是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角a的弧度数的绝对值是：a=l，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径. r要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式： 1.三角函数定义： 角a终边上任意一点P为(x,y)，设|OP|=r则： sina=yxy,cosa=,tana= rrx要点诠释： 三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=x2+y2,那么sina=yx2+y2,cosa=xx2+y2,tana=y x2.三角函数符号规律： 一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)； 要点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正 3.特殊角的三角函数值 a sina 0 p 61 2p 42 2p 33 21 2p 21 p 0 3p 2-1 2p 0 0 cosa 1 3 23 32 21 0 -1 0 1 tana 0 3 不存在 0 不存在 0 4.同角三角函数的基本关系： sin2a+cos2a=1;要点诠释： sina=tana cosa(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)sina是(sina)2的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取 5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限): sin(p-a)=sina，cos(p-a)=-cosa，tan(p-a)=-tana sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa，tan(p+a)=tana sin(-a)=-sina，cos(-a)=cosa，tan(-a)=-tana sin(2p-a)=-sina，cos(2p-a)=cosa，tan(2p-a)=-tana sin(2kp+a)=sina，cos(2kp+a)=cosa，tan(2kp+a)=tana，(kÎZ) sin(sin(2p2-a)=cosa，cos(+a)=cosa，cos(p2-a)=sina +a)=-sina p2p2要点诠释： (1)要化的角的形式为k×90o±a(k为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sinçx+æèpöpöpöæpöæææpö；=cos-x=cosx-cosx+=sin÷ç÷ç÷ç÷ç-x÷. 4ø4ø4øè4øèèè4ø要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 1.三角函数y=sinx，y=cosx的图象与性质： 定义域 值域 奇偶性 y=sinx (-，+) y=cosx (-，+) -1，1 -1，1 奇函数 增区间 偶函数 减区间 增区间 减区间 单ppp3p调2kp-,2kp+,2kp+,2kp+,22 22 性 2kp2kp-p， kÎZ2kp+p2kp， kÎZkÎZ周kÎZ最小正周期T=2p 最小正周期T=2p 期性 最值 对称性 当x=2kp-p2(kÎZ)时，ymin=-1 (kÎZ)时，ymax=1 对称中心 当x=2kp+p(kÎZ)时，ymin=-1 当x=2kp(kÎZ)时，ymax=1 对称轴对称中心当x=2kp+对称轴 p2x=kp+p2(kÎZ) 0)(kÎZ) (kp，x=kp(kÎZ) (kp+p2,0)(kÎZ) y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移p得到的. 22三角函数y=tanx的图象与性质： 定义域 值域 奇偶性 y=tanx x¹kp+p2,kÎZ R 奇函数 单调性 增区间(kp-周期性 最值 对称性 p22T=p ,kp+p),kÎZ 无最大值和最小值 对称中心(kp,0)(kÎZ) 2要点四：函数y=Asin(wx+j)的图象与性质 1“五点法”作简图 用“五点法”作y=Asin(wx+j)的简图，主要是通过变量代换，设z=wx+j，由z取0,来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释： 用“五点法”作y=Asin(wx+j)图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为2y=Asinx(wx+j)的性质 (1)三角函数的值域问题 三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于sinx(cosx)的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域. (2)三角函数的单调性 函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的单调区间的确定，基本思想是把wx+j看作一个整体，比如：由2kp-p3,p,p,2p22T. 4p2£wx+j£2kp+p2(kÎZ)解出x的范围所得区间即为增区间，由2kp+p2£wx+j£2kp+3p(kÎZ)解出x的范围，所得区间即为减区间； 2要点诠释： 注意复合函数的解题思想； 比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较. 3确定y=Asinx(wx+j)的解析式的步骤 ，w； 首先确定振幅和周期，从而得到A确定j值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(-找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点. 要点五：正弦型函数y=Asin(wx+j)的图象变换方法 先平移后伸缩 向左(j>0)或向右(j<0)¾¾¾¾¾¾¾® y=sinx的图象平移j个单位长度横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)¾¾¾¾¾¾¾¾¾®1y=sin(x+j)的图象 到原来的(纵坐标不变)j,0)作为突破口，要注意从图象的升降情况ww纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)¾¾¾¾¾¾¾¾¾® y=sin(wx+j)的图象为原来的A倍(横坐标不变)向上(k>0)或向下(k<0)¾¾¾¾¾¾¾®y=Asin(wx+j)的图象平移k个单位长度先伸缩后平移 纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)¾¾¾¾¾¾¾¾¾® y=sinx的图象为原来的A倍(横坐标不变)y=Asin(wx+j)+k的图象. 横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)¾¾¾¾¾¾¾¾¾® 1y=Asinx的图象到原来的(纵坐标不变)w向左(j>0)或向右(j<0)¾¾¾¾¾¾¾® jy=Asin(wx)的图象平移w个单位向上(k>0)或向下(k<0)¾¾¾¾¾¾¾®y=Asin(wx+j)+k的图象. y=Asin(wx+j)的图象平移k个单位长度类型一：三角函数的概念 例1已知角a的终边上一点P(-3,m)，且sina= 2m，求cosa,tana的值. 4由题设知x=-3，y=m，所以r2=|OP|2=(-3)2+m2，得r=3+m2， 从而sina=m2mm， =2r43+m2解得m=0或16=6+2mÞm=±5. 当m=0时，r=3,x=-3， cosa=xy=-1,tana=0； rx当m=5时，r=22,x=-3， cosa=x6y15； =-,tana=-r4x3x6y15. =-,tana=r4x3当m=-5时，r=22,x=-3， cosa=理解正弦函数和余弦函数的定义，三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关. 举一反三： 已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos A1 2 B. 1 2 C3 24，则m的值为( ) 53D. 2B r64m2+9， cos 4=-，m>0， 564m2+9-8m114m21=，m±.m>0，m. 2264m2+925例2.已知角a=45°； (1)在区间-720°,0°内找出所有与角a有相同终边的角b； kìükìüM=x|x=´180°+45°,kÎZý，(2)集合那么两集合的关系是什么？ N=íx|x=´180°+45°,kÎZý，í24îþîþ(1) b=-675°或b=-315°(2) M̹N (1)所有与角a有相同终边的角可表示为：45°+k´360°(kÎZ)， 则令 -720°£45°+k´360°£0°， 得 -765°£k´360°£-45° 解得 -76545£k£-，从而k=-2或k=-1 360360代回b=-675°或b=-315°. (2)因为M=x|x=(2k+1)´45°,kÎZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集M合N=x|x=(k+1)´45°,kÎZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：̹N. (1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角a有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；(2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论. 举一反三： 集合M=x|x=kppkpp+,kÎZ，则( ) +,kÎZ，N=x|x=4224A、M=N B、MÉN C、MÌN D、MIN=F C ( 法一) QkÎZ,k取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 (法二)在平面直角坐标系中，数形结合 2kp+p(2k+1)p=,kÎZ， 44kp+2p(k+2)p=,kÎZ， 集合N变形x=44(法三)集合M变形x=Q(2k+1)p是p的奇数倍，(k+2)p是p的整数倍，因此M¹N. 类型二:扇形的弧长和面积公式 例3已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 2p-2 65.44° (p-2)r Ì12设扇形的圆心角是qrad，因为扇形的弧长是rq，所以扇形的周长是2r+rq. 依题意，得2r+rq=pr, q=(p-2)rad æ180ö1.142´57.30°65.44°, (p-2)´ç÷pèøoS=12rq=212(p-2)r. 12×2p×r，当22弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式C=2p×r和圆面积公式S=用圆心角的弧度数a代替2p时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：2l=a×r,S=12lr=12a×r. 类型三：同角三角函数基本关系式 例4若sincos=1pp ，(，)，求cossin的值 842 已知式为sin、cos的二次式，欲求式为sin、cos的一次式，为了运用条件，须将cossin进行平方 (cossin)=cos+sin2sincos=1 (22213 = 44pp ，)， cossin 423 2cossin= sincos，cos+sin，cossin三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二 举一反三： 已知A是DABC的一个内角，且tanA=-根据tanA<0可得A的范围：5，求sinA,cosA. 4p2<A<p再结合同角三角函数的关系式求解. 544141 - 41415<0,A为钝角，sinA>0,cosA<0. 4QtanA=-由tanA=sinA11441,，平方整理得cos2A=,cosA=-=-, 22cosA411+tanA1+tanA541. 41sinA=tanA×cosA=已知cossin= 3， 求sincos，sin+cos的值 215 ± 82331，1-2sinqcosq=，sinqcosq= 448Q(cosq-sinq)2= Qcosq-sinq<0,sinqcosq>0，sinq+cosq=±类型四：三角函数的诱导公式 例5sin 585°的值为( ) 5 2A2 2已知sin(2)A.451 723 C 22sina+cosaæ3ö，çp,2p÷，则等于( ) sina-cosaè2ø1 B C7 7B. D. 3 2 D7 本题是对诱导公式和特殊三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可. AA sin 585°sin(360°225°)sin(180°45°)2. 244，sin. 553æ3ö又çp,2p÷，cos. 5è2øsina+cosa1. sina-cosa7sin(2)sin诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sina与cosa对偶，“奇”“偶”、是对诱导公式中k×的整数k来讲的，象限指k×p2+ap2+a中，将a看作锐角时，k×pæ3pö+a所在象限，如将cosç+a÷写成2è2ø3pæpö+a看作第四象限角，又cosç3×+a÷，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”2è2øæ3pöæ3pö，所以有cosçcosç+a÷为“+”+a÷=sina. è2øè2ø举一反三： 已知cosçpæ5pö1æpö+a÷=，且<<，则cosç-a÷等于 ( ) 2è12ø3è12ø1122 C D 333A.23 3 B.D épæ5pæpööù-a÷cosê-ç+a÷ú è12øøûë2è12æ5pösinç+a÷. è12øp75pp又<<，<<， 121212222æ5pösinç， +a÷312èø cosçcosç22æpö. -a÷3è12ø类型五：三角函数的图象和性质 例6. 函数y-xcosx的部分图象是( ) 结合函数的奇偶性以及函数值的正负，或采用特殊值法. 因为函数y-xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x(0，p)时，2y-xcosx0.答案为D. 本题通过观察四个选项A，C与B，D分别关于y轴和原点对称，从而启示我们从研究函数奇偶性入手考虑进行筛选，然后通过研究其函数值的符号进行确定，充分体现了数形结合的思想在解题中的应用. 举一反三： 函数f(x)=x-cosx在0,+¥)内 A没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点 B n(x+例7已知函数f(x)=sivp4Îx)(vR>,的0最)小正周期为p，为了得到函数 g(x)=cosvx的图象，只要将y=f(x)的图象 pp个单位长度 B向右平移个单位长度 88pp C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 44 A 向左平移对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚 A 由题知T=p,又w>0，所以w=2p2p=2,所以 Tpppùépf(x)=sin(2x+)=cosê-(2x+)ú 44ûë2 =cosç2x-æèpö÷ 4ø÷ 8ø =cos2çx-æèpö显然将f(x)=cos2çx-举一反三： æèpö8ø÷的图象向左平移p个单位长度便可得到g(x)=cos2x的图象故选A 8p个单位长度，再把所得图象上所3把函数y=sinx(xÎR)的图象上所有的点向左平行移动有点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) 2B.y=sinçA.y=sinç2x-æèæèpö÷，xÎR 3øpö÷，xÎR 3øpæxpö+÷，xÎR è26øæè2pö÷，xÎR 3ø) C.y=sinç2x+D.y=sinç2x+解析：y=sinx¾¾¾¾¾¾®向左平移个单位3y=sin(x+p3¾¾¾¾¾¾¾®例8函数f(x)=Asin(wx-1横坐标缩短到原来的倍2y=sin(2x+)，故选C. 3)+1(A>0,w>0)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为pp6p 2 (1)求函数f(x)的解析式; (2)设aÎ(0,p),则f=2,求a的值. 22a由题意知，A=2，T=p，可求出w=2把y=2sin(2x-a代入函数解析式，求出a的值 2p6)+1p 3(1)函数f(x)的最大值为3,A+1=3,即A=2 p,最小正周期为T=p 2pw=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-)+1 6ap(2)f=2sin(a-)+1=2 26p1即sin(a-)= 62pppp0<a<,-<a-< 2663pppa-=,故a= 663函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为由三角函数值，求角的时候，一定要注意角的范围 举一反三： 已知函数f(x)=Asin(wx+j),xÎR的周期为p，且图2p,-2). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 ()求f(x)的解析式；当xÎ0, () f(x)=2sin(2x+由最低点为M(由T=p得w=由点M(p12，求f(x)的最值. p6)最小值为1，最大值为3 2p,-2)得A=2 32p2p=2 Tp2p4p4p,-2)在图像上得2sin(+j)=-2即sin(+j)=-1 3334pp11p+j=2kp-即j=2kp-，kÎZ, 326又jÎ(0,p2)，j=p6 f(x)=2sin(2x+p6) QxÎ0,p12,2x+pÎ, 663pp当2x+当2x+p6=p6,即x=0时，f(x)取得最小值1； p6p3,即x=p12时，f(x)取得最大值3