三角函数的积化和差与和差化积.docx

三角函数的积化和差与和差化积高二数学导学案 三角函数的积化和差与和差化积 一、教学目的： 1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。 2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 二、重点、难点： 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 三、新课讲解： 三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，(Sa+b) sin(a-b)=sinacosb-cosasinb，(Sa-b) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，(Ca+b) cos(a-b)=cosacosb+sinasinb，(Ca-b) (S)+(S)，(S)-(S) a+ba-ba+ba-b(C)+(C)，(C)-(C)，得 a+ba-ba+ba-bsin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb sin(a+b)-sin(a-b)=2cosasinbcos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosbcos(a+b)-cos(a-b)=-2sinasinb1<1> sin(a+b)+sin(a-b)21<2> cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)21<3> cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)21<4> sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)2 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。 其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和的一半，等式左边为单角、，等式右边为它们的和差角。 在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用 即sinacosb=1 高二数学备课组 高二数学导学案 起来方便，在积化和差的公式中，如果令a+b=q，a-b=j，则a=q+jq-j，b=。 22把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有 q+jq-j·cos221éæq+jq-jöæq+jq-jöù=êsinç+sin-÷ç÷èøè2ë2222øúûsin=1(sinq+sinj)2q+jq-j·cos22<5>sinq+sinj=2sin 同样可得， q+jq-j·sin22q+jq-jcosq+cosj=2cos·cos22q+jq-jcosq-cosj=-2sin·sin22sinq-sinj=2cos<6><7> <8>公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。 其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；q+j正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角与j，等式右边为与2q-j的形式。 2 牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。 2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。 3、典例分析 例1. 把下列各式化为和差的形式。 p5 sin·cosp 1212 2cos35o·sin55o cos(x-y)·cos(x+y) 分析：利用积化和差公式。 2 高二数学备课组 高二数学导学案 点评：牢记积化和差公式，才能正确使用。 p3p 如求sin·sin的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求88值，即 sinp3ppp1p2 ·sin=sin·cos=sin=8888244 例2. 把下列各式化成积的形式。 1 cosx- sinx+cosx 2 分析：只要将以上两题稍作变形，如将中1p换成cos，中cosx23看作sin90o-x即可直接应用公式进行化积。 ()点评：只有同名函数的和才能化为积的形式，因此题中p，中cosx化为sin90o-x。 312化为cos ()对于型如asinx+bcosx，可化为a2+b2sin(x+j)也能达到和差化积的形式之目的。 3 高二数学备课组 高二数学导学案 例3. 求值： sin7o+cos15o·sin8o ooocos7-sin15·sin8sin220o+cos280o+3sin20ocos80o 分析：中注意7°与15°和8°的关系；中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。 点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题对这一点展现地淋漓尽致；中法1属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如cos20ocos40ocos80o的求值题，试一下是不是很巧妙？ 4 高二数学备课组