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第四章 电力系统潮流的计算机算法,第一节 电力网络的数学模型第二节 等值变压器模型及其应用第三节 节点导纳矩阵的形成和修改第四节 功率方程和变量及节点分类第五节 高斯-赛德尔法潮流计算第六节 牛顿-拉夫逊法潮流计算第七节 P-Q分解法潮流计算,第三章讨论简单电力网络的潮流分布计算，理解了与之相关的各种物理现象。对于复杂电力网络的潮流计算，一般必须借助电子计算机进行。运用电子计算机，一般要完成以下步骤：1、建立电力网络的数学模型 2、确定解算方法 3、制定计算流程和编制计算程序 本章将着重讨论前两项，主要阐述在电力系统潮流的实际计算中常用的、基本的方法。,第一节 电力网络的数学模型,电力网络的数学模型指的是将网络有关参数及其相互关系归纳起来，组成可以反映网络性能的数学方程式组。也就是对电力系统的运行状态、变量和网络参数之间相互关系的一种数学描述。有：节点电压方程 回路电流方程 割集电压方程等 节点电压方程又分为以节点导纳矩阵表示的节点电压方程和以节点阻抗矩阵表示的节点电压方程。,一、节点导纳矩阵的节点电压方程,在电路理论中，已经讲过了节点导纳矩阵的节点电压方程 对于n个节点的网络其展开为 上式中，是节点注入电流的列向量。是节点电压的列向量。是一个nn阶节点导纳矩阵。,以网络节点导纳矩阵表示的节点电压方程在进行潮流计算时,可以减少计算机的内存,提高运算速度,因此是最为常用的。,节点导纳矩阵各元素的物理意义：,对角元：,非对角元：,例：如图所示网络,以对角元 和非对角元、为例。,1,3,2,+,-,二、节点阻抗矩阵的节点电压方程 由 的两边都左乘，可得，而，则节点电压方程为,第二节 等值变压器模型及其应用,一、变压器为非标准变比时的修正 无论采用有名制或标么制，凡涉及多电压级网络的计算，在精确计算时都必须将网络中所有参数和变量按实际变比归算到同一电压等级。实际上，在电力系统计算中总是有些变压器的实际变比不等于变压器两侧所选电压基准值之比，也就是不等于标准变比，而且变压器的变比在运行中是可以改变的。这将使每改变一次变比都要重新计算元件参数，很不方便。下面将介绍另一种可等值地体现变压器电压变换功能的模型。二、等值变压器模型,图一 等值双绕组变压器,（a）非标准变比时的修正电路,（c）以变压器阻抗表示,（b）以变压器导纳表示,对修正电路，其二端口网络的传输参数方程为,+,+,-,-,对以阻抗表示的型等值电路,比较，可得,三、等值变压器模型的应用,如图所示网络，变压器T1、T2的电抗归算至1和4侧时，可用下图电路来模拟。,最终的等值电路如下图。,例 等值电路如图，给出支路阻抗和对地导纳标么值、变压器变比标么值。求节点导纳矩阵。,1,2,3,4,5,T1,T2,第三节 节点导纳矩阵的形成和修改,一、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的计算归纳总结如下：1、节点导纳矩阵的阶数等于电力网络中除参考节点（一般为大地）以外的节点数。2、节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数。3、节点导纳矩阵的对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和，即,4、节点导纳矩阵的非对角元素 等于节点 和 间支路导纳的负值，即5、节点导纳矩阵是对称方阵，因此一般只需要求取这个矩阵的上三角或下三角部分。,节点导纳矩阵形成的基本方法：添加支路法。,二、节点导纳矩阵的修改 在电力系统计算中，对于已知网络，其节点导纳矩阵已经形成。如果网络接线发生局部变化，此时不必重新计算节点导纳矩阵。仅仅需要在原节点导纳矩阵的基础上进行必要的局部修改就可以得到所求节点导纳矩阵。下面介绍几种情况。,图三 电力网络接线变更示意图,(a),(b),(c),(d),（1）从原有网络中引出一条新的支路，图三（a）。同时增加一个新的节点。新增加节点的对角元素为：新增加非对角元素为：原有节点的自导纳增量为：,（2）在原有节点 和 间增加一条支路，图三（b）。此情况下节点导纳矩阵的阶数不变。有关元素修改如下：,（3）在原有节点间切除一条阻抗为 的支路，见图三（c）这种情况下，相当于在节点 和 间增加阻抗为 的支路，此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：,（4）原有网络节点 和 之间支路阻抗由 改变为，这种情况下，可以看作是在节点 和 间切除阻抗为 的支路，并在节点 和 间增加阻抗为 的支路，如图三（d）。此时，节点导纳矩阵的阶数不变，其元素修正如下：,（5）原有网络节点 和 之间变压器的变比由 变为 时，相当于在原网络节点 和 之间切除一变比为 的变压器支路，而又增加一个变比为 的变压器支路。其元素修正如下：,第四节 功率方程和变量及节点分类,一、功率方程每个节点的注入功率方程式为：其中：对于N个节点的电力网络，可以列出2N个功率方程。每个节点具有四个变量，N个节点有4N个变量，但只有2N个关系方程式。,二节点电力系统,1,2,节点电压方程：,，对上述二节点系统，即,展开,即,令,，,，并考虑到,将有功功率，及无功功率，分列,二、变量的分类,1、负荷消耗的有功、无功功率（、）取决于用户，因而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量 表示，即,2、电源发出的有功、无功功率（、）是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量 表示，即,3、母线或节点电压和相位角（、），是受控制变量控制的因变量。其中 主要受 的控制，主要受 的控制。故、称为系统的状态变量，以列向量 表示，即,三、节点的分类1、PQ节点：已知P、Q 负荷、过渡节点，PQ给定的 发电机节点，为大部分节点2、PV节点：已知P、V 给定PV的发电机节点，具有可调电源的变电所，为少量节点3、平衡节点：也称为松弛节点，摇摆节点,PQ节点,平衡节点,第五节 高斯-塞德尔法潮流计算,迭代法的基本思路 考察下列形式的方程：这种方程是隐式的，因而不能直接得出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入上式的右端，即可求得：再进一步得到：,如此反复迭代：确定数列xk有极限则称迭代过程收敛，极限值x*为方程的根。上述迭代法是一种逐次逼近迭代法，称为高斯迭代法。,高斯-塞德尔迭代法 在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭代的全部分量来计算本次的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似分量加以利用，就是高斯-塞德尔迭代法。高斯-塞德尔迭代法计算潮流 功率方程的特点：描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解。,高斯或高斯-塞德尔法的迭代方程。,假设有n个节点的电力系统，没有PV节点，平衡节点编号为s。可列出节点电压方程,由,得,对第i个节点,即,可得以下迭代方程：对每一个PQ节点都可列出一个方程式，因而有n-1个方程式。在这些方程式中，注入功率Pi和Qi都是给定的，平衡节点电压也是已知的，因而只有n-1个节点的电压为未知量，从而有可能求得唯一解。,设除平衡节点以外的其他节点的电压初值,则高斯法潮流计算的迭代格式，即各节点电压的第k+1次计算值为,在迭代过程中，平衡节点（编号为s）电压始终不变。,高斯-塞德尔迭代法解潮流如下：,如果系统存在PV节点，则对于PV节点（编号为p),迭代前应假设其注入无功功率和节点电压相位初值,完成第k次迭代后，做第k+1次迭代前，先求出节点p的注入无功功率,PV节点的处理,然后将其代入下式，求出节点p的电压：在迭代过程中，按上式求得的节点p的电压大小不一定等于设定的节点电压Up0，所以在下一次的迭代中，应以设定的Up0对电压进行修正，但其相角仍保持上式所求得的值，使得 如果所求得PV节点的无功功率越限，该 PV节点转化为PQ节点。,高斯-塞德尔迭代法计算潮流的步骤：设定各节点电压的初值，并给定迭代误差判据；对每一个PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值；对于PV节点，求出其无功功率，并判断是否越限，如越限则将PV节点转化为PQ节点；判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，则回到第2步，继续进行计算，否则转到第5步；根据功率方程求出平衡节点注入功率；求支路功率分布和支路功率损耗。,例 简单系统如图，节点1为平衡节点，,，节点2为PQ,节点，给定,，节点3为PV节点，,用高斯-塞德尔迭代法计算潮流，求第二次迭代结束时节点2的电压,和节点3的电压相角。,1,2,3,PQ,PV,解 1.节点导纳矩阵,2.设定初值,3.第一次迭代,由于,将,修正为,4.第二次迭代,修正,于是，第二次迭代后，节点2的电压为,节点3的电压相角、无功功率分别为,第六节 牛顿-拉夫逊法潮流计算,一、牛顿-拉夫逊法的基本原理 设有单变量非线性方程(4-1)给出解的近似值，它与真解的误差为，则 可得将上式左边的函数在 附近展成泰勒级数，便得（4-2）,如果差值 很小，的二次及以上阶次的各项可略去，式（4-2）便简化成 上式是修正量 的线性方程式，也称为修正方程式，解此方程可得修正量 用所求的 去修正近似解，便得 修正后的近似解 同真解仍有误差，为进一步逼近真解，这样的迭代计算反复进行下去，迭代计算通式是,（4-3）迭代过程的收敛判据为（4-4）或（4-5）式中，和 为预先给定的小正数。下图为这种解法的几何意义。,牛顿法的几何解释牛顿法也适用于多变量非线性代数方程的求解。设有 个联立的非线性代数方程（4-6）,假定已给出各变量的初值，令 分别为各变量的修正量，使其满足方程（4-6），即（4-7）将上式的 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有 的二次及以上阶次各项，使得（4-8）,方程式（4-8）也可以写成矩阵形式（4-9）方程式（4-9）是对于修正量 的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式，利用高斯消去法或三角分解法可解出，然后对初始近似解进行修正（4-10）如此反复迭代，在进行第 次迭代时，从而求得修正方程式,（4-11）得到修正量，并对各修正量进行修正（4-12）式（4-11）和式（4-12）也可缩写为（4-13）和（4-14）,式中，和 分别是由 个变量和修正量组成的 维列向量；是由 个多元函数组成的 维列向量；是 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第，个元素 是第 个函数 对第 个变量 的偏导数；上角标 表示 阵每一个元素都在点 处取值。迭代过程一直进行到满足收敛判剧 为止，为预先给定的小正数。,将牛顿-拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如式（4-16）的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿-拉夫逊法潮流计算也就相应地采取不同的计算公式。二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 采用直角坐标时，节点电压可表示为 导纳矩阵元素则可表示为,将上述表达式代入，展开并分出实部和虚部，便得（4-17）假定系统中的第 号节点为 节点，第 个节点的给定功率设为 和，对该节点可列写方程（4-18）,假定系统中的第 号节点为 节点，则对其中每一个节点可列写方程,（4-19）,第 号节点为平衡节点，其电压 是给定的，不参加迭代。,式（4-18）和式（4-19）总共包含了 个方程，待求的变量有 也是 个。我们还可看到，方程（4-18）和式（4-19）已经具备了方程组（4-16）的形式，因此，不难写出如下的修正方程式,式中,上述方程中雅可比矩阵的各元素，可以对式（4-18）和式（4-19）求偏导获得，当 时（4-21）当 时,见式（4-22）,（4-22）修正方程式（4-20）还可以写成矩阵的形式，如下,式中，和 都是二维列向量；是 阶方阵。对于 节点,（4-23）,（4-24）,对于 节点,（4-25）,从表达式（4-21）（4-25）得出雅可比矩阵的以下特点：（1）雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，它们的数值将在迭代过程中不断地改变。（2）雅可比矩阵的子块 中的元素的表达式只用到导纳矩阵中的对应元素，则必有。因此，（4-23）式中分块形式的雅可比矩阵同节点导纳矩阵一样稀疏，修正方程的求解同样可以应用稀疏矩阵的技巧。（3）无论在式（4-20）或式（4-23）中雅可比矩阵的元素或子块都不具有对称性。用牛顿-拉夫逊计算潮流的程序框图示于下图,输入原始数据,形成节点导纳矩阵,按公式（11-49）和（11-50）计算雅可比矩阵各元素,计算平衡节点功率及全部线路功率,输出,例 如图所示电力系统，节点1为负荷节点（PQ节点），给定，节点2为平衡节点，给定电压。用直角坐标表示电压，即，用牛顿-拉夫逊法进行潮流计算，求关于、的修正方程（不必求解）。,1,2,解 节点导纳矩阵,，,，,，,，,节点1的注入功率：,直角坐标表示的节点2的电压：,，,，,节点1的功率平衡方程：,可得,得关于，的修正方程,输电线路功率的计算公式如下（4-28）三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊潮流计算 采用极坐标时，节点电压表示为 节点功率方程将写成（4-29）式中，是 两节点电压的相角差。,方程式（4-29）把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有 个节点的系统中，假定第 号节点为 节点，第 号节点为 节点，第 号节点为平衡节点。和 是给定的，节点的电压幅值 也是给定的。因此，只剩下 个节点的电压相角 和第 个节点的电压幅值 是未知量。对于每一个 或每一个 节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式,（4-30）,而对于每一个 节点还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式（4-31）式（4-30）和式（4-31）一共包含了 个方程式，正好同未知量数目相等，而比直角坐标形式的方程式少了 个。对于方程式（4-30）和式（4-31）可以写出修正方程式如下（4-32）式中,；（4-33）；是 阶方阵，其元为；是 阶矩阵，其元素为；是 阶矩阵，其元素为；是 阶矩阵，其元 素为。,在上式中把节点不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点电压，相应地把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值，这样，雅可比矩阵元素的表达式就具有比较整齐的形式。对式（4-30）和（4-31）求偏导数，可以得到雅可比矩阵元素的表达式如下 当 时（4-34）,当 时,计算的步骤和程序框图与直角坐标形式的相似。,（4-35）,例 同前例，但节点电压用极坐标表示，即,，求,和,的修正方程。,解 节点导纳矩阵同前例，既,，,，,节点1的注入功率为,平衡节点2的电压为,节点1的功率平衡方程,所求修正方程如下,写成矩阵形式,第七节 P-Q分解法潮流计算,P-Q分解法是牛顿-拉夫逊法潮流计算的一种简化方法。牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。,一、牛顿-拉夫逊法简化形成P-Q分解法的过程,牛顿-拉夫逊法修正方程展开为：根据电力系统的运行特性进行简化：、考虑到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以可以近似的忽略电压幅值变化对有功功率和电压相位变化对无功功率分布的影响，即：,、根据电力系统的正常运行条件还可作下列假设：电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化不大（不超过1020度）；电力系统中一般架空线路的电抗远大于电阻；节点无功功率相应的导纳Q/U*U远小于该节点的自导纳的虚部。用算式表示如下：,由以上假设，可得到雅可比矩阵的表达式为：修正方程式为：U为节点电压有效值的对角矩阵，B为电纳矩阵（由节点导纳矩阵中各元素的虚部构成）,根据不同的节点还要做一些改变：在有功功率部分，要除去与有功功率和电压相位关系较小的因素，如不包含各输电线路和变压器支路等值型电路的对地电纳。在无功功率部分，PV节点要做相应的处理。则修正方程表示为：一般,由于以上原因，B和B是不相同的，但都是对称的常数矩阵。,以一个n-1阶和一个n-m-1阶线性方程组代替原有的2n-m-1阶线性方程组；修正方程的系数矩阵B和B”为对称常数矩阵，且在迭代过程中保持不变；P-Q分解法具有线性收敛特性，与牛顿-拉夫逊法相比，当收敛到同样的精度时需要的迭代次数较多；P-Q分解法一般只适用于110KV及以上电网的计算。因为35KV及以下电压等级的线路r/x比值很大，不满足上述简化条件，可能出现迭代计算不收敛的情况。,二、P-Q分解法的特点：,习题解答,4-10,节点导纳矩阵,其中,给定平衡节点1的电压,设迭代初值,，,，,则第一次迭代过程如下。,将,修正为,4-13,修正方程,