三垂线定理及其逆定理例题.docx

三垂线定理及其逆定理例题三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：PA,PO分别是平面a的垂线和斜线，AO是PO在平面a的射影,aÌa,aAO。 求证：aPO； 证明： 说明： 线射垂直Þ线斜垂直； 证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； 三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 直线a与PO可以相交，也可以异面。 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P是平面ABC外一点，PAABC,ACBC。 求证：PCBC。 B 例2.已知PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。 求证：POBD,PCBD。 三垂线定理和逆定理第 1 页 共 4 页 PPaAOACPADOBC例4.在正方体AC1中，求证：AC1B1D1,AC1BC1； 2写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2在空间四边形ABCD中，设ABCD,ACBD。 求证：ADBC； 点A在底面BCD上的射影是DBCD的垂心； 三垂线定理和逆定理第 2 页 共 4 页 DC11A1B1DCABPaAOABDC例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： PB EO CAF说明：可以作为定理来用。 pp例5已知：RtDABC中，ÐA=,AB=3,AC=4，PA是面ABC的斜线，ÐPAB=ÐPAc=。 23(1)求PA与面ABC所成的角的大小; (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上； P B A C 三垂线定理和逆定理第 3 页 共 4 页 作业： 1.正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是A1A,AB上的点,EC1EF. 求证: EFEB1。 P2.已知：PA平面PBC，PB=PC,M是BC的中点。 求证：BCAM； C3.填空并证明： A在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面MBCD的 心。 B在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心 在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，APBQa， 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； 求证：PQAD 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E是棱AA1上的点，且AE1:EA=1:2，F是棱AB上的点，ÐC1EF=p2。求AF：FB。 6.点P是DABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。 7.已知ÐEAF在平面a内，ATÌa,PÏa,ÐPAE=ÐPAF，ÐEAT=ÐFAT,PDa,DÎa。求证：DÎAT； 三垂线定理和逆定理第 4 页 共 4 页