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三合一法求函数的参数第二讲 “三合一”法求函数的参数问题 百度文库上看到一篇探究已知函数的值域求参数的问题的好文章，反复读了好几遍，其中的例题也通过画图得到了验证，对此类问题有了更深的认识。但认为一定有更简单的求解方法。 通过画图，我发觉已知函数的值域求参数，应将函数的定义域结合进去，只有将值域和定义域“有机”地结合在一起，才能得到正解。 先复习一个知识,再进一步分析。 二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0 函数的图象 与x轴的 交点 2个(x2,0) 1个 / f(x)>0 函数的定义域 (-¥,x1)(x2,+¥) 部分解 (-¥,x1)(x1,+¥) xÎR 即x¹x1，部分解 f(x)³0 函数的定义域 (-¥,x1x2,+¥) 部分解 xÎR / f(x)<0 函数的定义域 (x1,x2) / / f(x)£0 函数的定义域 x1,x2 / / 1. 方法一：三合一法解“一元二次方程”类题型。 这一“三合一法”指的是：“值域 + 定义域 + ” 相结合。 例1：已知函数的值域为，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：f(x)³0，则D>0或D0 再考虑f(x)的定义域：xÎR 16a-4a(2a+6)=0Þa=3 结合值域和定义域：a>0,且D0，D 可进一步用图象验证： 14212121010f(x) = 3x2 12x + 23 + 6886f(x) = 4x2 16x + 24 + 6644221055101055102a=3 a=4 变式：已知函数的值域为(0,+¥)，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：f(x)>0，则D>0、D0、D<0皆可 再考虑f(x)的定义域：xÎR 16a-4a(2a+6)<0Þ0<a<3 结合值域和定义域：a>0,且D<0，D函数图象为： 21414121210f(x) = x2 4x + 12 + 610f(x) = 2x2 8x + 22 + 688664422105510105510a=1 a=2 例2：已知函数的值域为，求的取值范围。 x2+ax-2<2Þx2+ax-2<2(x2-x+1) 解：先考虑f(x)值域：f(x)<-2，则2x-x+1Þx2-(2+a)x+4>0 再考虑f(x)的定义域：xÎR 结合值域和定义域：D<0，D(2+a)-16<0Þ-6<a<2 函数f(x)<2图象为： 1010288664f(x) = 2x 4x 2x2 x + 151010524f(x) = x2 + 2x 2x2 x + 12105510224466a=-4 a=2 仔细看上图会发现：不论a取何值，其值域总不能取到,随着x趋向于±，函数无限接近y=1线。所以这道题的“值域为改为值域£2。 ”改为“值域<2”合适。同理下题 变式：已知函数的值域为(-¥,2，求的取值范围。 x2+ax-2£2Þx2+ax-2£2(x2-x+1) 解：先考虑f(x)值域：f(x)£-2，则2x-x+1Þx2-(2+a)x+4³0 再考虑f(x)的定义域：xÎR 结合值域和定义域：D=0，D(2+a)-16=0Þa=-6或a=2 2 例3:已知函数 解：先考虑f(x)值域：f(x)³0， 的值域为，求的取值范围。 再考虑f(x)的定义域：ax+4ax+a+3³0(x为部分或全解） 216a-4a(a+3)³0Þa³1 结合值域和定义域：a>0且D³0，D函数图象为： 101028f(x) = (x + 4x + 4)264128f(x) = (3x + 12x + 6)2264122105510105510224466a=1 10 a=3 10886f(x) = (x2 4x + 2)42126f(x) = (4x2 16x 1)2421105510105510224466a=-1 a=-4 变式:已知函数 解：先考虑f(x)值域：f(x)³0， 再考虑f(x)的定义域：xÎR 的定义域为R，求的取值范围。 16a-4a(a+3)=0Þa=1 结合值域和定义域：a>0且D=0，D2例4：已知函数 解：先考虑f(x)值域：f(x)³0， 再考虑f(x)的定义域：xÎR 的值域为，求的取值范围。 结合值域和定义域：D=0，D4a+4a=0Þa=0或a=-1 函数图象为： 10102886f(x) = 2x 126f(x) = 2x 2 2x + 1 14422105510105510224466a=0 a=-1 变式：已知函数的定义域为，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：无要求，随定义域和参数变化而变化。 再考虑f(x)的定义域：xÎR 结合值域和定义域：D£0，D4a+4a£0Þ-1£a£0 2函数图象为： 866f(x) = 2(x2 1 x + 2)f(x) = (2x 4x + 2)2 21 112 1442210551010551022446681a=- 2a=-2 例5：已知函数的值域为R，求的取值范围。 2 解：先考虑f(x)值域：f(x)ÎRÞx+ax+1>0 再考虑f(x)的定义域：x+ax+1>0 结合值域和定义域：D³0，Da-4³0Þa³2或a£-2 22函数图象为： 442210551010551022g(x) = log(x2 + 3x + 1)64g(x) = log(x2 3x + 1)648810101212 a=3 a=-3 变式：已知函数2的值域为2，求的取值范围。 解：先考虑f(x)值域：f(x)ÎRÞx+ax+1³1Þx+ax³0 10再考虑f(x)的定义域：x+ax+1>0 x+ax³0 2286g(x) = log(x2 + 1)4x+ax+1>0，xÎR 10522510结合值域和定义域：D=0，Da=0Þa=0 224函数图象为。 6此时，xÎR，f(x)³0 a=0 例6： 对于函数f(x)=log1(x2-2ax+3)，解答下述问题：若函数的定义域2为R，求实数a的取值范围； 若函数的值域为R，求实数a的取值范围；若函数在-1,+¥)内有意义，求实数a的取值范围； 若函数的定义域为，求实数a的值； 若函数在 解： 解：先考虑f(x)值域：无要求 再考虑f(x)的定义域：xÎR 结合值域和定义域：D£0，D4a-12£0Þ-3£a£3 2，求实数a的值；若函数的值域为内为增函数，求实数a的取值范围. 函数图象为： 1214g(x) = logx2 (112 232x + 3)10log()12810684log(x2 4x + 3)g(x) = 1log2()1062410255210551042a=3 xÎR f(x)ÎR a=2 xÏRf(x)ÎR 解：先考虑f(x)值域： f(x)ÎRÞx-2ax+3>0 再考虑f(x)的定义域： x-2ax+3>0 结合值域和定义域：D³0，D4a-12³0Þa³3或a£-3 222函数图象为： 64g(x) = 2log(x2 2x + 3)1log2()105510151052464g(x) = 2log(x2 + 4x + 3)1log2()5101524668a=18a=1(不符合） a=-2 若函数在-1,+¥)内有意义，求实数a的取值范围； 解：函数在-1,+¥)内有意义，则xÎ-1，+¥)时，x2-2ax+3>0 分两种情况考虑： a<-1，(-1)2-2a(-1)+3>0Þa>-2 即-2<a<-1 a³-1，D<0Þ4a-12<0Þ-3<a<3 即-3<a<3 函数图象为： 862-2<a<3 42log(x2 + 2x + 3)g(x) = 1log26()log(x2 4x + 3)g(x) = 1log2()10421055101510255152446688 a=-1 a=2(不符）先考虑f(x)值域： 无要求 再考虑f(x)的定义域： 2结合值域和定义域：D>0，1和3分别是x-2ax+3=0的两个根 x1+x2=2aÞa=2 函数图象如图所示： 86log(x2 4x + 3)g(x) = 1log2()101412410f(x) = x2 4x + 3281055156244261085510a=2 在xÎ-13，函数无意义 先考虑f(x)值域： f(x)£-1Þx-2ax+3³2Þx-2ax+1³0 再考虑f(x)的定义域：x-2ax+3>0 x-2ax+1³0 x-2ax+3>0，xÎR 结合值域和定义域：D=4a222222-4=0Þa=±1， 函数图象如图所示： 6642log(x2 2x + 3)g(x) = 1log24()2log(x2 + 2x + 3)g(x) = 1log2()101055101555101522446688a=1 a=-1 函数f(x)=log1(x2-2ax+3)在22内为增函数，则g(x)=x-2ax+3在内为减函数，且g(x)=x-2ax+3>0。 2 即， 得a的取值范围是. ax2+8x+b例7：已知g(x)=的值域是yÎ1,9，求ax2+8x+b的定义域和值域。 2x+1 若函数f(x)的值域为-1,4，求实数a的值。 若函数f(x)对于定义域内的任意x值，都有f(x)Î-1,4，求实数a的值。 解：先考虑f(x)值域： -1£f(x)=22即 4x-ax+1³0®D1=a-16 22 x+ax+4³0®D2=a-16 ax+322Þ-x-1£ax+3£4x+4 £42x+1再考虑f(x)的定义域： xÎR 结合值域和定义域：，D1=0Þa=±4 D2=0Þa=±4 a=±4 先考虑f(x)值域： -1<f(x)=ax+3<4Þ-x2-1<ax+3<4x2+4 2x+122即 4x-ax+1>0®D1=a-16 x2+ax+4>0®D2=a2-16 再考虑f(x)的定义域： xÎR 结合值域和定义域：，D1<0Þ-4<a<4 D2<0Þ-4<a<4 f(x)Î-1,4 -4£a£4 小结：在解此类题型时，还应考虑二次项前面的系数，一般都需a>0。还有一些题函数解析式中的：对数的底数也含参数，那“三合一”是不够的，要多考虑底数的因素。 2. 方法一：三合一法解非“一元二次方程”类题型。 这一“三合一法”指的是：“值域 + 定义域 + ymin” 相结合。先看下图： 86ymin<0或无 ymin=0 141210ymin>0 141210函数的图象 1054882665104242241065510810551022/ 与x轴的 交点 2个(x2,0) 1个 f(x)>0 函数的定义域 (-¥,x1)(x2,+¥) (-¥,x1)(x1,+¥) xÎR 部分解 即x¹x1，部分解 f(x)³0 函数的定义域 (-¥,x1x2,+¥) 部分解 xÎR / f(x)<0 函数的定义域 (x1,x2) / / f(x)£0 函数的定义域 x1,x2 / / 此类函数应开口向上，零点数2，各自区域内具有单调性。 4+m)的值域是R，则m的取值范围是的 (-¥,-4 x54x 解：先考虑g(x)值域： f(x)ÎRÞg(x)=5+x+m>0 54x再考虑g(x)的定义域： 5+x+m>0 5例1 已知函数f(x)=lg(5+x结合值域和定义域：ymin£0，5x+44x+m³25´+m=4+m 5x5xymin=4+m£0Þm£-4 如图所示， 88664422105510105510224f(x) = log5x + (4 4.015x)4f(x) = log5x + (4 105x)6688m=-4.01 m=-10 变式：已知函数f(x)=lg(5+ 解：先考虑g(x)值域： 无要求 x4则m的取值范围是的 (-4,+¥) +m)的定义域是R，5x再考虑g(x)的定义域： g(x)=5+>与<相反 结合值域和定义域：yminx4+m>0，且xÎR x5符号相反 >0，5x+44x+m³25´+m=4+m 5x5xymin=4+m>0Þm>-4 小结：在解此类题型时，要注意两个方法的不同点： 值域定义域 0/ymin<0或无 0/ymin=0 0/ymin>0 0 0 (-¥,x1)(x2,+¥) (-¥,x1)(x1,+¥) R / / / (-¥,x1x2,+¥) (x1,x2) R / 0 0 x1,x2 x=x1
