七级数学下册等腰三角形的性质和判定学案沪教五四制课件.docx

七级数学下册等腰三角形的性质和判定学案沪教五四制课件等腰三角形 等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 31.等腰三角形的腰长是底边的4，底边等于12cm，则三角形的周长为 cm 2.等腰三角形顶角为80°，则一腰上的高与底边所夹的角的度数为_度 3.等腰三角形的底角是65°,顶角为_. 4.等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_. 5. P为等边ABC所在平面上一点,且PAB,PBC,PCA都是等腰三角形,这样的点P有_个. 6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_度 7. 已知如图，A、D、C在一条直线上ABBDCD, C40°,则ABD_ 1 第7题 第9题 第10题 8. 在等腰ABC中, ABAC, ADBC于D, 且ABACBC50cm, 而ABBDAD40cm, 则AD_cm. 9. 如图, P25°, 又PAABBCCD, 则DCM_度. 10. 如图已知ACB90°, BDBC, AEAC, 则DCE_度. 1. 30 2. 40 3. 50° 4. 40°40° 5. 7 6. 120 7. 20 8. 15 9. 100 10. 45 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M是BE的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证BDED。因为ABC是等边三角形，DBE11ABC，而由CECD，又可证EACB，所以1E，从而问题得证。 221ABC 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以1 又因为CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足为M 所以M是BE的中点 C的度数。例2. 如图，已知：DABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，求ÐBA A B C D 分析：题中所要求的ÐBAC在DABC中，但仅靠AB=AC是无法求出来的。因此需要考虑AD=DB和DC=CA在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形2 的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为AB=AC，所以ÐB=ÐC 因为AD=DB，所以ÐB=ÐDAB=ÐC； 因为CA=CD，所以ÐCAD=ÐCDA 而 ÐADC=ÐB+ÐDAB 所以ÐADC=2ÐB，ÐDAC=2ÐB 所以ÐBAC=3ÐB 又因为ÐB+ÐC+ÐBAC=180 即ÐB+ÐC+3ÐB=180 所以ÐB=36 即求得ÐBAC=108 例3. 已知：如图，DABC中，AB=AC，CDAB于D。求证：ÐBAC=2ÐDCB。 D B A 1 2 oooo 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，ÐBAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与ÐDCB的关系。 证明：过点A作AEBC于E，QAB=AC 所以Ð1=Ð2= 3 E C 1ÐBAC 2o 因为Ð1+ÐB=90 o 又CDAB，所以ÐCDB=90 所以Ð3+ÐB=90 所以Ð1=Ð3 即ÐBAC=2ÐDCB 4、中考题型： 1.如图，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有 A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 o 3 E B A 36° F C D 分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。 2.）已知：如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。求证：AEAF。 E B A F C D 证明：因为AB=AC，所以ÐB=ÐC 又因为DEAB，DFAC 所以ÐBED=ÐCFD=90 又D是BC的中点，所以DB=DC 所以DDEBDCFD(AAS) 所以BE=CF，所以AE=AF 说明：证法二：连结AD，通过DAED DAFD证明即可 例1. 如图，DABC中，AB=AC，ÐA=100，BD平分ÐABC。 求证：AD+BD=BC。 1 B 2 A D C oo E F 证明一：在BC上截取BE=BA，BF=BD，连结DE、DF 在DABD和DEBD中，BA=BE，Ð1=Ð2，BD=BD DABDDEBD(SAS)AD=DE，ÐBED=ÐA=100ooÐDEF=80o 又QAB=AC，ÐA=100 4 ÐABC=ÐC= Ð1=Ð2= 而BD=BF 1(180o-100o)=40o 21´40o=20o 2 ÐBFD=ÐBDF=11(180o-Ð2)=(180o-20o)=80o 22ÐDEF=ÐDFE=80oDE=DFÐDFE=80o，ÐC=40o ÐFDC=ÐDFE-ÐC=80-40=40oooÐFDC=ÐCDF=FCBC=BF+FC=BD+AD 即AD+BD=BC AD=DE=DF=FC 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对 2. 如图，DABC是等边三角形，ÐCBD=90，BD=BC，则Ð1的度数是_。 o3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. o 4. DABC中，AB=AC，ÐA=120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：DE= A C 2 1 B 3 D 1BC。 2 B A E D O 1 2 C 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为DABC是等边三角形 5 ÐABC=60 所以AB=BC， 因为BD=BC，所以AB=BD 所以Ð3=Ð2 在DABD中，因为ÐCBD=90，ÐABC=60 所以ÐABD=150，所以Ð2=15 所以Ð1=Ð2+ÐABC=75 3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知：如图，在DABC中，AB=AC，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。 oooooo 分析：欲证本题结论，实际上就是证明OB=OC。而OB、OC在DABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有Ð1、Ð2的两个三角形全等。 证明：因为在DABC中，AB=AC 所以ÐABC=ÐACB 又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DC=EB 在DBCD和 DCBE中， ìDC=EB(已证)ïíÐDCB=ÐEBC(已证) ïBC=CB(公共边)î所以DBCDDCBE(SAS) 所以Ð1=Ð2。 所以OB=OC。 即点O在BC的垂直平分线上。 说明： 正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。 实际上，本题也可改成开放题：“ABC中，ABAC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。 证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。 6 E B A 3 1 2 D F C o在DABC中，AB=AC，ÐBAC=120 所以ÐB=ÐC=30 所以Ð1=Ð2=60，BF=ooo3 1BC。 21 所以Ð3=60。 所以Ð1=Ð3 又因为ED垂直平分AB，所以ÐE=30。 o1AB。 21又因为AF=AB。 2所以AD=AF 在RtDABF和RtDAED中， AD=ìÐ1=Ð3(已证)ï íAF=AD(已证)ïÐAFB=ÐADE=90oî所以RtDABFRtDAED(ASA) 所以ED=BF 即ED=1BC。 2说明： 根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功； 直角三角形中30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。 1在等腰ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 A 7 B 11 C 7或11 D 7或10 2在ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，A=50°，则DCB的度数是 o 7 A 15° B 30° C 50° D 65° 3如图，在ABC中，ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则DCE的度数为 A 20° B 25° C 30° D 40° 4若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于 A 75° B 15° C 75°或15° D 30° 5等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 A 顶角的一半 B 底角的一半 C 90°减去顶角的一半 D 90°减去底角的一半 6在等腰ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则BDC的周长是 D）8 A 10° B 15° C 20° D 30° 8如图，点D、E在ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有 A 0对 C 2对 D 3对 9如图，在ABC中，B=C，点F为AC上一点，FDBC于D，过D点作DEAB于E若AFD=158°，则EDF的度数为 B 1对 A 90° B 80° C 68° D 60° 10已知ABC是等腰三角形，且A=40°，那么ACB的外角的度数是 A 110° B 140° C 110°或140° D 以上都不对 11如图已知BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则DAE= A 40° B 30° C 20° D 10° 12如图，在等腰ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE 若BAC=90°，BAD=30°，求EDC的度数？ 若BAC=a，BAD=30°，求EDC的度数？ 猜想EDC与BAD的数量关系？ 9 考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质1184454 专题： 证明题 分析： 根据等腰三角形性质求出B的度数，根据三角形的外角性质求出ADC，求出DAC，根据等腰三角形性质求出ADE即可； 根据等腰三角形性质求出B的度数，根据三角形的外角性质求出ADC，求出DAC，根据等腰三角形性质求出ADE即可； 根据的结论猜出即可 解答： 解：BAC=90°，AB=AC， B=C=45°， ADC=B+BAD=45°+30°=75°， DAC=BACBAD=90°30°=60°， AD=AE， ADE=AED=60°， EDC=ADCADE=75°60°=15°， 答：EDC的度数是15° 解：与类似：B=C=90°， ADC=B+BAD=90°+30°=120°， DAC=BACBAD=30°， ADE=AED=105°， EDC=ADCADE=15°， 答：EDC的度数是15° EDC与BAD的数量关系是EDC=BAD 点评： 本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律 13如图所示，在ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长 10 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质1184454 专题： 计算题 分析： 关键已知能求出BE+CE的值，关键线段垂直平分线求出AE=BE，求出AC即可 解答： 解：由已知得，BC+BE+CE=24， BC=10， BE+CE=14， DE垂直平分AB， AE=BE， AE+CE=14， 即AC=14， AB=AC， AB=14 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=AE和求出AC的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适中 14如图，在等腰ABC中，A=80°，B和C的平分线相交于点O 连接OA，求OAC的度数； 求：BOC 考点：等腰三角形的性质1184454 分析：连接AO，利用等腰三角形的对称性即可求得OAC的度数； 利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求BOC与A的关系，再把A代入即可求BOC的度数 解答：解：连接AO， 在等腰ABC中，B和C的平分线相交于点O， 等腰ABC关于线段AO所在的直线对称， A=80°， OAC=40° BO、CO分别平分ABC和ACB， OBC=ABC，OCB=ACB， BOC=180° =180° 11 =180° =180° =90°+A 当A=80°时， =130° 点评：本题考查了等腰三角形的性质，也可以作辅助线，构造三角形的外角，利用三角形外角的性质求解 12