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七年级数学知识点第一章 有理数 一、知识要点： 1、 正数和负数的定义； 2、有理数的分类：整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数； 整数和分数统称为人理数。 3、数轴：三要素：正方向、原点和单位长度； 数轴可以向两边无限延长； 数a是一个正数时，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。 4、相反数：a的相反数是-a; 5、绝对值：数轴上表示数a与原点的距离叫a 的绝对值。 当a>0时，a=a; 当a=0时，a=0； 当a<0时，a=-a 6、有理数的加减法： 加法法则：先定符号，再算绝对值。1，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3，互为相反数的两个数相加得0； 4，一个数同0相加仍得这个数。 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；a-b=a+(-b) 运算定律：1，加法交换律:a+b=b+a; 2，加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 7、乘除法：法则：同号数相乘得正，异号两数相乘得负，并把它们的绝对值相乘。任何数与0相乘得0； 倒数：a的倒数是1a；互为倒数的两个数之和为0。 符号：几个不是0的数相乘时，负因数的个数是偶数个时积为正，负因数的个数是奇数个时，积为负； 运算定律：1，乘法交换律：ab=ba; 2,乘法结合律：(ab)c=a(bc) 3，乘法分配律：a(b+c)=ac+bc;逆运用：ax+bx=(a+b)x 去括号法则：括号前是正数时，去括号后式子各项的符号不变；括号前是负数时，去括号后式了各项都与原来的符号相反。 除法法则：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；a¸b=a·8、乘方：an1b(b¹0)； a是底数，n是指数，an是幂； 法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0； 9、混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号的先做括号内的运算，按小、中大括号依次进行。 10、科学记数法：a´10(1£aá10);n 的取值为这个数的整数位数减1。 11、近似数和有效数字：近似数是接近于实际的数；通常取精确到多少位；或取有效数字的个数； 有效数字：从左边起第一个不是0的数起，到精确数位止，所有的数字都是这个数的有效数字。 二、例题分析： 1 n第二章 一元一次方程 一、知识要点： 1、方程的概念： 含有未知数的等式叫方程。未知数的个数为一个，指数为1的等式方程，叫一元一次方程。 2、方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。 2、 等式的基本性质： 等式的两边都加同一个数结果仍相等。 如果a=b那么 a±c=b±c; 等式的两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 如果a=b那么 ac=bc; 如果a=b那么 4、解方程的步骤：去分母 去括号 移项 合并 化系数为1 5、运用：古老的代数问题； “买布问题”； 销售中的盈亏； 用哪种灯省钱； 球赛积分问题； 二、例题分析： ac=bc; (c0) 第三章 图形的初步认识 一、知识要点： 1、立体图形与平面图形 长方体、球、圆柱、椎柱、棱锥 平面展开图 三视图 2、点、线、面、体 3、直线、射线、线段 直线性质：经过两点有且只有一条直线 线段：两点之间，线段最短 4、角的度量：度 分 秒 010=60´； 1´=60"； 1=3600" ； 说明：大单位化为小单位，乘以进率， 小单位化为大单位，除以进率。 5、角的比较：角平分线； 余角和补角； 0+=90 、互余 0+=180 、互补 性质：等角或同角的余角相等 等角或同角的补角相等 2 方向坐标： 西 二、例题分析： 北 O 东 南 第四章 数据的收集与整理 一、知识要点： 1、全面调查： 收集数据 整理数据 描述数据 2、抽样调查： 步骤与全面调查一样 总体：所要调查了解的全部对象； 样本：从总体中抽出的全部叫样本； 二、例题分析： 第五章 相交线与平行线 一、知识要点： 1、相交线：邻补角； 对顶角：对顶角相等； 垂直：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 点到直线的距离：点直线的垂线的长度； 2、平行线：平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 传递性：两条直线同平行于第三条直线，那么过两条直线平行 判定方法：两条直线被第三条直线所截 1，同位角相等，两直线平行； 2，内错角相等，两直线平行； 3，同旁内角互补，两直线平行； 推论：同垂直于一直线的两条直线平行。 性质：两条平行线被第三条直线所截； 1，同位角相等； 2，内错角相等； 3，同旁内角互补； 推论：夹在两条平行线间的距离相等； 命题：题论和结论，可写成“如果那么”的形式 3、平移：对应点的连线相等且互相平行。 二、例题分析： 第六章 平面直角坐标系 一、知识要点： 1、有序数对： 2、平面直角坐标系：构成：两条互相垂直的数轴； 3 要素：横轴、纵轴、坐标原点、正方向、单位长度； 坐标：到x轴的距离为纵坐标的绝对值；到y轴的距离的为横坐标的绝对值； 点的坐标特点：第一象限内：； 第二象限内：； 第三象限内； 第四象限内：； 横轴上的点：；纵轴上的点：。 对称点的坐标特点：P 关于x轴对称的点的坐标为： 关于y轴对称的点的坐标为： 关于原点对称的点的坐标为： 平行线上的点的坐标特点：平行于x轴的直线上的点的坐标：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的点的坐标：横坐标相等； 3、坐标方法的简单应用：表示地理位置： 第一、选取一个参照点为原点，建立平面直角坐标系，确定x轴，y轴； 第二、确定大小比例。标出单位长度； 第三、描点，写出坐标和地点名称； 表示平移： 平移点P 向右平移a个单位长度，所得到的点的坐标为：或 向上平移b个单位长度，所得到的点的坐标为：或 二、例题分析： 第七章 三角形 一、知识要点： 1、三角形的边、高、中线、角平分线； 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 高线：垂直于一边，分三角形为两个直角三角形； 中线：平分这边成两条相等的线段； 角平分线：平分该角，每个角等于该角的一半；角平分线上的点到这个角两边的距离相等； 三角形的稳定性：四边形没有稳定性，可连结对角线，化为三角形之后就可稳定了； 2、三角形的角： 0 内角和为1800外角和为360；三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和； 三角形的一个外角大于它不邻的任何一个内角； 3、多边形 分类：凸多边形、凹多边形 对角线：连结多边形不相邻的两个顶点之间的线段叫多边形的对角线；n边形的对角线条数：正多边形：各角相等，各边相等的多边形叫正多边形。 多边形的内角和：(n-2)·180； 多边形的外角和为360 4、镶嵌的条件：一是拼接在同一个点的各角的度数和为3600； 二是相邻的多边形有公共边； 4 0n(n-3)20能镶嵌的图形：任意的三角形、四边形、正六边形等； 二、例题分析： 第八章 二元一次方程组 一、知识要点： 1、二元一次方程组：两个二元一次方程组成的 2、解二元一次方程组：基本思相：消元 方法：代入消元法同一个数，不等号的方向不变。 如果a>b；那么a±c>b±c 不等式的两边乘同一个正数，不等号的方向不变。 如果a>b,c>0；那么ac>bc.或ñabcc不等式的两边乘同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b,c<0；那么ac<bc.或abá cc3、在数轴上表示不等式的解集。 4、实际问题与一元一次不等式。 5、一元一次不等式组：由两个或两个以上的一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。 解集：几个不等式的解集的公共部分，叫不等式组的解集。 解集的确定：大大取较大 小小取较小 大小中间找 小大无解找 不等式组的解可利用数轴来表示出来，更直观。 6、利用不等式关系分析比赛等实际问题。 二、例题分析： 第十章 实数 一、知识要点： 1、平方根：一般地，一个正数x 的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做的a算术平方根；a 的算术平方根记为：a；a叫被开方数。 0的算术平方根是0； 一个正数的平方根有两个， 0的平方根是0； 5 负数没有平方根。 已知一个数的算术平方根，求或查另一个数的算术平方根时，移位时只能是两位一起两位一起；如被开方数的小数点向左移动两位时，其算术平方根也相应地向左移动一位。 3、 立方根：一个正数的立方根是正数； 一个负数的立方根是负数； 0的立方根是0； 已知一个数的立方根，求或查另一个数的立方根时，移位时只能是三位一起三位一起；如被开方数的小数点向左移动三位时，其算术平方根也相应地向左移动一位。 4、 实数：无限循环小数又叫无理数； 有理数和无理数统称为实数； ìï有理数5、实数分类：实数íïî无理数ìï正实数ïï实数í0ïï负实数ïîì整数üíý有限小数或无限循î分数þ¾¾®无限不循环限不ì正有理数íî正无理数环限数ì负有理数íî负无理数6、实数的相反数和绝对值：数a的相反数是- a , a是表示任意一个实数； 一个正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 二、例题分析： 第十一章 一次函数 一、知识要点： 1、变量与常量：在一个变化过程中，有一些量的数值发生变化，我们称它为变量；始终不变的量叫常量。 2、函数：在一个变化过程中，有两个变量x，y；当x取每个值时，y都有唯一的一个值与其对应； 那么我们说y是x的函数，x叫自变量，y叫x 的函数。当x=a时，y=b，b叫以自变量的值为a时的函数值，即：自变量值与函数值对应关系。 3、函数的表达形式：解析式：即自变量和函数的等式 图象表达式：是函数的一种表达式；自变量和函数值组成有序数时，即坐标在平面直角坐标系中描点画出来。 列表式：是函数的另一种表达式。清楚地反应每一组自变量和函数的对应值，是描点的数据展现。 4、画函数图像的步骤：列表 描点 连线 5、 正比例函数：y=kx (k0,k 为常数) 图象性质：过原点和两点的一条直线； 当k>0时，函数图象过一、三象限，从左至右向上倾斜，即y随x的增大而增大； 当k<0时，函数图象过二、四象限，从左至右向下倾斜，即y随x的增大而减小； 6、一次函数：y=kx+b (k,b为常数，k0)当b=0时，即为y=kx是正比例函数，同时也是特殊的一次函数； 图象性质：过和两点的一条直线； 、二、三象限、三、四象限6 üýþìbñ0,时函数图象过一îbá0,时函数图象过一此时，直线从左至右向上倾斜，y随x的增大 而增大； 当k<0时,íìbñ0,时函数图象过一îbá0,时函数图象过二、二、四象限、三、四象限üýþ此时，直线从左至右向下倾斜，y随x的增大 而减小； 7、正比例函数与一次函数的关系： 隶属关系;正比例函数是特殊的一次函数； 由y=kx，向上(或向下)平移b个单位可得：y=kx+b 函数的增减性都由k值来决定： y=kx可归于一次函数来解释，即当b=0时，与y轴交于点即原点 8、一次函数与一元一次方程 ：任何一个一元一次方程都可以转化成为ax+b=0(a,b 为常数，a0)的形式， 所以，解一元一次方程可转化为：当一次函数y=ax+b的函数值为0时，求其自变量值； 从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b的函数图象，要确定图象与x轴的交点的横坐标的值。 9、一次函数与一元一次不等式： 任何一个一元一次不等式都可以转化成为ax+b>0或者ax+b <0 (a,b 为常数，a0)的形式； 所以，解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大于0时；求其自变量相应的取值范围；从函数图象上看，即要确定图象在x 轴的上面部分或者下面部分时，x的取值。 10、一次函数与二元一次方程组：任何一个二元一次方程都可以转化成y=ax+b的形式； 二元一次方程组就可以化成两个y=ax+b这样的一次函数形式； 也就对应地有各有一条直线；直线上的每个点的坐标都是方程的解， 要求二元一次方程组的解，就相当于求与其对应的两个一次函数的交点坐标的值。 二、例题分析： 第十二章 数据的描述 一、知识要点： 1、相关概念：频数：小组中的数据个数； 频率：频数与数据的总数的比； 组数：对一些数据分成的小组的个数； 组距：每个小组两个端点的差称为组距； 极差：数据中最大值与最小值的差； 组中值：每个小组的两个端点值的平均数； 2、统计图表；条形图：能够显示每组中的具体数据；易于比较数据之间的差别； 扇形图：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；易于显示每组数据相对于总数的大小； 折线图：易于显示数据的变化趋势； 直方图：用于分组数据中的频数描述；能够显示各组频数分布的情况；易于显示各组这间频数的差别； 3、统计图的注意事项： 条形图：是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据变动的统计图；条形图可以横置或纵置；分单式和复式等形式的条形图；。 扇形图：是用圆及圆内扇形的面积来表示数值大小的统计图。扇形图主要用于表示总体中各组成部分所占的比例，对于研究结构性问题很有用。 折线图：是在平面直角坐标系中用折线表现数量变化特征和规律的统计图，主要用于显示时间序列数据，用于反映事物发展变化的规律和趋势。画时注意： 、时间一般绘在横轴上，时间序列数据绘在纵轴上； 、图形的长宽比例要适当，一般绘成横轴略大于纵轴的长方形，其长宽比例大致为10：7。图形过扁或过高，不仅不美观，而且容易给人造成视觉上的错觉，不便于对数据变化的理解； 7 、一般情况下，纵轴数据下端应从0开始，以便于比较，如果数据与0间距过大，可以采用折断的符号将纵轴折断。对于横轴的情况可作类似的处理。 直方图：是用长方形的长度和宽度来表示频数分布的统计图，在平面直角坐标系中，横轴表示数据分组，纵轴表示频数，等距分组后，用长方形的高度表示频数的分布。 附：直方图与条形图的区别：条形图是用长方形的高表示各类数据的多少；其宽度是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少；长方形的宽表示各组的组距，各长方形的高和宽都有意义； 由分组具有连续性，直方图的各长方形通常是是连续排列，中间没有空隙，而条形图则是分开排列，长方形之间有空隙。 4、图表描述数据的步骤：列统计表：包括频数、频率、百分比； 确定组距、组数；组距=极差÷组数；组数=极差÷组距 画图 5、利用统计图描述数据，分析实际问题；从图表中查找相关的信息； 二、例题分析： 第十三章 全等三角形 一、知识要点： 1、 全等形的全等三角形：形状、大小相同，放在一起能够完全重合的两个或者多个圆形叫全等形； 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； 对应顶点，对应边，对应角； 表示：ABCDEF 2、 全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等； 运用：全等三角形的对应边上的高、中线也相等； 对应角的平分线相等 3、全等三角形的判定方法： 边边边； 边角边； 角角边； 角边角。 4、直角三角形全等的判定方法：边边边； 边角边； 角角边； 角边角； 斜边直角边； 5、角平分线的性质：平分该角每个角等于该角的 角平分线上的到角两边的距离相等 推论：到角两边的距离相等的点在角的平分线上。 二、例题分析： 第十四章 轴对称 一、知识要点： 1、轴对称图形：如果一个图形三点一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫轴对称图形；这条直线叫它的对称轴 2、轴对称：如果两个图形三点着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，则这两个图形关于这条直线对称；这条直线叫对称轴，折叠后重合的对应点叫对称点。 3、线段的垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 与一条线段两个端点的距离相等的点比这条线段的垂直平分线上 B 8 A L 4、对称性质：对称点之间的连线被对称轴垂直平分 轴对称的图形的对应点之间的连线垂直平分 5、轴对称变换：其实质就是作一个图形关于某条直线对称的图形。 步骤：选取对称点 过对称点作对称轴的垂线 取相应的对称点关于直线x=a对称点的坐标为对称轴在图形右面为加，左面为减； 若P关于直线y=b对称点的坐标为对称轴在图形上面为加，下面为减； 7、 等腰三角形：性质：两腰相等； 两底角相等； 三线全一性质 判定：两边相等的三角形； 两个角相等的三角形 8、等边三角形：性质：三个角相等，每角都等于60度； 三边相等； 三边的中线、高线、角平分线都是一条线段，即三线合一； 判定：有一个角为60度的等腰三角形； 三边相等的三角形； 三个角相等的三角形 推论：直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半 9、三角形中角与边之间的关系：大边对大角；小边对小角。 二、例题分析： 第十五章 整式 一、知识要点： 1、相关概念：单项式：单独的一个数或一个字母；数与字母的积；字母与字母的积； 单项式的系数：单项式中数字因数叫单项式的系数； 单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数； 多项式：几个单项式的和； 多项式的项：多项式中的每一个单项式； 常数项：数字项为常数项； 多项式的次数：多项式中次数最高项的次数作为多项式的次数； 整式：单项式和多项式统称为整式； 2、整式的加减：同类项：所含字母相同，相同字母的次数也相同的单项式叫同类项； 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变； 整式的加减法法则：即合并同类项； 3、整式的乘法：同底数幂的乘法：a幂的乘方：(amm×amnn=am+n)n=a m积的乘方：(ab)m=ab 9 m单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它和它的指数作为积的一个因式； 单项式乘以多项式：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把它们的积相加； 多项式乘以多项式：先用一个多项式中的每一项分别与另一个多项式中的每一项相乘，再把它们的积相加； 4、乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)=a±2ab+b 222添括号法则：括号前添正号，括到括号里面后各项不变号；括号前添负号，括到括号里面后各项都要变号； 5、整式的除法：同底数幂的除法法则：am¸an=am-n(a¹0) 任可数的0次幂都等于1；a0=1(a¹0) 单项式除以单项式：系数相除，相同字母分别相除；对于只在被除式里含有的字母，则连同它和它的指数作为商的一个因式； 多项式除以单项式：将多项式中的每一项分别除以单项式，再把它们的商相加； 6、因式分解：概念：因式分解：把一个多项式分解成几个因式的积的形式叫因式分解； 公因式： 多项式中各项中都含有的因式叫多项式的公因式； 因式分解的方法：，提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ，公式法：平方差公式：a-b=(a+b)(a-b) 22完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) 222 ，二次三项式的因式分解： x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 2二、例题分析： 第十六章 分式 一、知识要点： 1、 分式的概念： AB=A·CB·C;AB=A¸CB¸C;C¹0 2、 分式的基本性质： 找系数的最小公倍数作为系数； 3、 通分：找最简公分母对于不同的因式，则连同它和它的指数作为其中一个因式。 4、 约分：依据分式的基本性质，分子分母同除以它们的公因式。 a·¸cdcd=a·cb·dab·dc=adbc5、 分式乘除法法则：bab 10 6、 分式乘方：(ab)=nabnn7、 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，划化为同分母分式后再相加减。 8、 整数指数幂的运算：a am÷nm÷a=aabnmn (amn)=amn (ab)n=abnn a=am-n ()=nabnn an-n=1an a0=1 9、用科学记数法表示数：大于1的科学记数法：a×10； 解出方程； 作出答题； 二、例题分析： - n第十七章 反比例函数 一、知识要点： 1、 反比例函数概念：y=kx(k¹0,k为常数) k=xy,k为定值，x0的一切实数时，y为y0的一切实数。 2、 求解析式：先设出一般式，再利用一组自变量值和函数值。 3、 反比例函数图象及其性质： 图象为双曲线，两个分支，不连续； 当k>0时，图象分布在一、三象限内，在每一个分支上，y随x的增大而减小； y O x 11 当k<0时，图象分布在二、四象限内，在每一个分支上，y随x的增大而增大； y x O 图象上的点的横、纵坐标与自变量和函数值对应； 图象上的点的横、纵坐标的积等于k值。 4、反比例函数与实际问题：根据实际问题列出函数表达式，试比较其具体值，概括分析实际问题。 5、根据函数图象解有关的方程和不等式。 6、反比例函数图象关于直线y=±x对称；k越大时，图象离坐标轴越远。 二、例题分析： 第十八章 勾股定理 一、知识要点： 1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， 即：在RtABC中 a2+b2=c2 2、运用：利用勾股定理计算直角三角形中的相关元素； 在数轴上画长为2,3,5,6,7LL的线段； 3、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，那么此三角形是直角三角形。 即：在ABC中， a+b=c ABC 是RtABC 4、实际问题中的相关运用； 5、“赵爽弦图”证明勾股定理：a 二、例题分析： A2222+b2=c2 DCbca12 B第十九章 四边形 一、知识要点： 、平形四边形： 1、平行四边形的性质：两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分； 2、平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3、推论：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的二分之一半 4、动用：平移图形 、矩形： 1、矩形的性质：两组对边分别平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分且相等； 2、矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形； 三个角是直角的四边形是矩形； 3、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、运用：矩形的对角线把矩形分成了四平面积相等的等腰三角形 、菱形： 1、菱形的性质：两组对边分别平行；四边都相等；两组对角分别相等 对角线互相平分、互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 2、菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3、运用：菱形对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形；勾股定理进行相关的计算 画菱形； 、正方形： 1、性质：它既是平行四边形，又是矩形，还是菱形，所以它们的性质它都有； 2、判定方法：邻边相等的矩形是正方形；有一角是直角的菱形是正方形； 3、运用：正方形的对角线把它分成了四个全等的等腰直角三角形； 正方形的边长和对角线的比为 1:1:、梯形： 2 第二十章 数据的分析 13