七大函数,七大性质.docx

七大函数,七大性质函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数 七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性 壹一次函数 1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，即：y=kx 则此时称y是x的正比例函数。 2、一次函数的性质： 在一次函数上的任意一点P，都满足等式：y=kx+b。 一次函数与y轴交点的坐标总是 正比例函数的图像总是过原点。 表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。 3、一次函数和正比例函数的图象和性质 1 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 贰二次函数 1函数y=ax2+bx+c(a¹0)叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。 2根与系数的关系-韦达定理 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)中，两根为x1，x2。 求根公式x=-b±b2-4acD2a， 补充公式 x1-x2=a。 韦达定理xbc1+x2=-a，x1·x2=a。 以x21，x2为两根的方程为x+(x1+x2)x+x1·x2=0 用韦达定理分解因式ax2+bx+c=aæçèx2+bax+cöa÷ø=a(x-x1)(x-x2) 3任何一个二次函数y=ax2+bx+c(a¹0)都可配方为顶点式：y=a(x+b2a)2+4ac-b24a， 性质如下： 图象的顶点坐标为(-b4ac-b22a,4a)，对称轴是直线x=-b2a。 最大值 2 当a>0，函数图象开口向上，y有最小值，y=4ac-bmin4a，无最大值。 当a<0，函数图象开口向下，y有最大值，y4ac-b2max=4a，无最小值。 当a>0，函数在区间(-¥,-bb2a)上是减函数，在(-2a,+¥)上是增函数。 当a<0，函数在区间上(-b2a,+¥)是减函数，在(-¥,-b2a)上是增函数。 2 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 D>0 D=0 D<0 4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式D=b-4ac 二次函数 2y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程有两个相异实数根 有两个相等实数根ax2+bx+c=0(a>0)的根 -b±Dx1,2=(x1<x2) 2ax1=x2=-b 2a没有实数根 不等式的解集 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0(a>0) xx<x1或x>x2 xx1ìbüxx¹-íý 2aþî Æ R Æ <x<x2 叁反比例函数 1、定义：一般地，形如y=k的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来x理解： x是自变量，y是x的反比例函数； 自变量x的取值范围是x¹0的一切实数，函数值的取值范围是y¹0； 反比例函数有三种表达式： ky=， y=kx-1， x×y=k。 x函数y=kk与x=是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反yx比例函数。 2、反比例函数解析式的特征： 反比例函数 y=k xk的符号 k>0 k<0 图像 定义域和值域 单调性 x¹0，y¹0；即U x¹0，y¹0即U 图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 3 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 肆指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且nN* 2实数指数幂的运算性质 ar·ar=ar+s (ar)s=ars (ab)r=aras 均满足(a>0,r,sÎR) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0,且a¹1)叫做指数函数，其中定义域为xR 2、指数函数的图象和性质 条件 a>1 0<a<1 66 5544 图像 33221 111-4-20246-4-2246 -10-1 定义域 xR xR 值域 y0 y0 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特性 过定点 过定点 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在a，b上，f(x)=ax(a>0且a¹1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若x¹0，则f(x)¹1；f(x)取遍所有正数当且仅当xÎR； 对于指数函数f(x)=ax(a>0且a¹1)，总有f(1)=a； 伍对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果ax=N(a>0,a¹1)，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：x=logaNax=NÛlogaN=x； 2两个重要对数：1 常用对数：以10为底的对数lgN； 2 自然对数：以无理数e=2.71828L为底的对数lnN 对数的运算性质 如果a>0，且a¹1，M>0，N>0，那么： 1 loga(M·N)=logaMlogaN； 2 logMaN=logaMlogaN； 3 logaMn=nlogaM (nÎR) 注意：换底公式 logab=logcblog ca利用换底公式推导下面的结论 lognnamb=mlogab； log1ab=log ba4 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 对数函数 1、对数函数的概念：函数y=logax(a>0，且a¹1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=2log2x，xy=log5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 52、对数函数的性质： 条件 32.52a>1 32.520<a<1 1.51.5111110.50.5图像 -10-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5x0 R 在R上递增 非奇非偶函数 过定点 -2.5 x0 R 在R上递减 非奇非偶函数 过定点 定义域 值域 单调性 奇偶性 特性 指数函数与对数函数 的比较记忆 表1 定义域 值域 xy=a(a>0,a¹1) 指数函数对数数函数y=logax(a>0,a¹1) xÎ(0,+¥) yÎR xÎR yÎ(0,+¥) 图象 过定点(0,1)󰀀 减函数 增函数 xÎ(-¥,0)时，yÎ(0,1) 过定点(1,0) 减函数 增函数 xÎ(-¥,0)时，yÎ(1,+¥)xÎ(0,+¥)时，yÎ(0,1)性质 xÎ(0,1)时，yÎ(0,+¥)xÎ(0,+¥)时，yÎ(1,+¥)xÎ(1,+¥)时，yÎ(-¥,0)xÎ(0,1)时，yÎ(-¥,0)xÎ(1,+¥)时，yÎ(0,+¥)a<b a>b a<b a>b 5 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 陆幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如y=xa(aÎR)的函数称为幂函数，其中a为常数 2、幂函数性质归纳 所有的幂函数在都有定义, 并且图象都过点； 当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+¥)上是增函数 特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸； 当0<a<1时，幂函数的图象上凸； a<0时，幂函数的图象在区间(0,+¥)上是减函数 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴， 当x趋于+¥时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 3、幂函数的图像 幂函数求方程f(x)=0的实数根； 2 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 二、二次函数的零点： 二次函数y=ax2+bx+c(a¹0) ，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点 ，方程ax2+bx+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 6 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 柒三角函数 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 质 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 1、定义域 2、值域 R R ìpüxx¹kp+,kÎZíý 2îþR -1,1 当x=2kp+ymax=1； -1,1 当x=2kp(kÎZ)时， ymax=1； p2(kÎZ)时，3、最值 当x=2kp-ymin=-1 p2既无最大值也无最小值 (kÎZ)时，当x=2kp+p(kÎZ)时， ymin=-1 4、周期性 5、奇偶性 2p 奇函数 2p 偶函数 p 奇函数 ppùé在ê2kp-,2kp+ú 22ûë在2kp-p,2kp(kÎZ)上， 是增函数； (kÎZ)上，是增函数； 6、单调性 p3pùé在ê2kp+,2kp+ú 22ûëppöæ在çkp-,kp+÷(kÎZ)22øè在2kp,2kp+p(kÎZ)上，上，是增函数 是减函数 (kÎZ)上，是减函数 对称中心(kp,0)(kÎZ) 7、对称性 对称轴x=kp+p2(kÎZ) pöæ对称中çkp+,0÷(kÎZ)2øè对称轴x=kp(kÎZ) ækpö对称中心ç,0÷(kÎZ) è2ø无对称轴 7 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 三角函数 1、同角三角函数的基本关系式： sinacosa=tanasin2a+cos2a=1 =cotatana×cota=1，cosa，sina，2222seca×coas=1csca×sina=1csca-cota=1 seca-tana=1， ， ，注意：提高解题速度。勾股数； 2、诱导公式： 把kp±a的三角函数化为a的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。 2 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 sin(2kp+x)=sinxcos(2kp+x)=cosxtan(2kp+x)=tanx cot(2kp+x)=cotxsin-(x)=-sinxcos-(x)=cosxtan-(x)=-tanx cot-(x)=-coxtsin(p+x)=-sinxcos(p+x)=-cosxtan(p+x)=tanxcot(p+x)=cotx sin(2p-x)=-sinxcos(2p-x)=cosxtan(2p-x)=-tanxcot(2p-x)=-cotx sin(p-x)=sinxcos(p-x)=-cosxtan(p-x)=-tanx cot(p-x)=-cotx3、三角函数公式： 两角的三角函数关系 sin(a± b)=sina·cosb±cosa·sinb cos(a±cosbmsina·sinb b)=cosa·积化和差 公式 11sin(a+b)+sin(a-b)，cosa·sinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2211cosa·cosb=cos(a+b)+cos(a-b)，sina·sinb= -cos(a+b)-cos(a-b) 22sina·cosb=tan(a±b)=tana±tanb1mtana×tanb半角 公式 sina2=± 倍角 公式 a=2sina·sin2cosa cos2a=cos2a-sin2a =2cos2a-1 =1-2sin2a 1-cosaa1+cosa， cos=±2221-cosa1+cosa=2tanatan2a= 1-tan2atana2=±和差化积 公式 1-cosasina=sina1+cosa升幂 公式 sin a+sinb= 2sina+b22 a+ba-bsinsin a-sinb=2cos22a+ba-bb2coscoscos+cos=a 22 a+ba-bb2sinsincos-cos= -a 22 12=tana+ cot a=sina×cosasin2acosa-b1+cosa=2cos1±sina=(sin2a2，1-cosa=2sin2a2a2±cosa2)2 1=sin2a+ cos2a，sina=2sin降幂公式 acos 22aaa2tana- cota= -2cot2a， 1±sina=(sin±cos) 1-cos2a1+cos2a2=cosa， 221sin2a+ cos2a=1，sina·cosa=sin2a 2sin2a=三倍角公式 sin3q=3sinq-4sinq；3228 1+cosa=2cos2a， 1-cosa=2sin2a函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 三角恒等变换： 角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： aaa的二倍； 是的二倍； 2243apaap±2a是±a的二倍。 3a是的二倍； 是的二倍； 243622a是a的二倍； 4a是2a的二倍； a是30oppp15=45-30=60-45=； a=(a+b)-b； +a=-(-a)； 2424ooooo2a=(a+b)+(a-b)=(p4+a)-(p4-a)；等等 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tanacota=sin90o=tan45o 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。 常用形式转换 1+tanap1-tanap=tan(+a)；=tan(-a) tana-tanb=tan(a-b)(1+tanatanb) 1-tana41+tana4qq1+sina1+sina= 1±sinq=|sin±cos| 1-sina|cosa|2212sin2x-cos2x-2cos2xtanq+cotq= tgx-ctgx= =sinxcosxsin2xsinqcosqsin2qqqqqqq2cos2-2sincos2cos(cos-sin)1+cosq-sinq222=222=-cotq =qqqqqq21-cosq-sinq2sin2-2sincos2sin(sin-cos)2222221sin40ocos40ocos80o40cos80cos20°cos40°cos80° = sin20cos20cos =2oosin20sin2011sin160osin80ocos80o1 8 =4=8sin20osin20ooooo Asina+Bcosa=9 A2+B2sin(a+j)，其中tanj=B A函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx-4p-7p-3p2-5p2-2p-3p-p2yy-p2y=cosxo3p2pp22p5p3p27p24py-p-2p-3p2y1-1x-4p-7p2-5p-3p2-p21-1op23pp22p5p27p3p24pxy=tanxy=cotx-3p2-p-p2op2p3p2x-p-p2op2p3p22px 2、函数y=Asin(wx+j)+B最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=其图象的对称轴是直线wx+j=kp+称中心。 2pw，频率是f=w，相位是wx+j，初相是j； 2pp2(kÎZ)，凡是该图象与直线y=B的交点都是该图象的对图像的平移 1、对函数yAsin(xj)k (A0, 0, 0, k0),其图象的基本变换有： j(1)振幅变换：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短 (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长 (3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的j0,左移；j0，右移 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移 由ysinx的图象变换出ysin(xj)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(j0)或向右(j0平移j个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的(0)，便得ysin(xj)的图象.1倍w途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的单位，便得ysin(xj)的图象。 2、由yAsin(xj)的图象求其函数式：|j|1倍(0)，再沿x轴向左(j0)或向右(j0平移个ww给出图象确定解析式y=Asin的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点作为突破口，要从w10 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 图象的升降情况找准第一个零点的位置。 3、对称轴与对称中心：对于y=Asin(wx+f)和y=Acos(wx+f)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 4、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、w的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 5、求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“y=Asin(wx+f)、y=Acos(wx+f)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和 定义法。 6、五点法作y=Asin的简图： 五点取法是设x=x+j，由x取0、3、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 22正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y=sinx y=cosxR y=tanx1ì üíx|xÎR且x¹kp+p,kÎZý2îþ y=cotx x|xÎR且x¹kp,kÎZy=Asin(wx+j)R R -1,+1 -1,+1 R R -A,A 2p2p 奇函数 2p 偶函数 (2k-1)p,2kpppw奇函数 pæpöç-+kp,+kp÷2è2ø 奇函数 当j¹0,非奇非偶 当j=0,奇函数 péùê2kp-2-jú(A),êúwêúêú12kp+p-jêú2ê(-A)úwëû -p2+2kp,； (kp,(k+1)p) p2+2kp上为增函数；上为增函数2kp,(2k+1)p上为减函数 上为减函数 上为增函数 p23p+2kp2+2kp,上为增函数； péùê2kp+2-jú(A),úêwêúêú32kp+p-jêú2(-A)úêwëû 上为减函数 1、角度与弧度的互换关系：360°=2p 180°=p 1°=0.01745 1=57.30°=57°18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、 上为减函数 弧度与角度互换公式： 1rad180°57.30°=57°18 1°p0.01745 p1802、弧长公式：l=|a|×r. 扇形面积公式：s扇形=lr=|a|×r2 1212ya的终边P一点 PP与原点的距离为r， 则 sina=yy； cosa=x； tana=； rxrox11 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 r cota=x； seca=r； csca=. yxy4、三角函数在各象限的符号： +ox-正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切yPTy16. 几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O5、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT. |cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|p(3) 若 o<x<,则sinx<x<tanx2OMAx6、注意要点：y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若，则y=-f(x)在a,b上递减. y=f(x)在a,b上递增yy=sinx与y=cosx的周期是p. y=sin(wx+j)或y=cos(wx+j)的周期T=y=tan2pw. Oxx的周期为2p. 2wy=sin(wx+j)的对称轴方程是x=kp+，对称中心；y=an(t2p2，对称中心；y=(ocswx+j)的对称轴方程是x=kpwx+j)的对称中心. 2p2(kÎZ). y=cos2x¾¾¾¾®y=-cos(-2x)=-cos2x 原点对称当tana·tanb=1,a+b=kp+p2tanb=-1,a-b=kp+(kÎZ)；tana·pöy=cosx与y=sinæçx+2kp÷是同一函数,而y=(wx+j)是偶函数，则 2èø1y=(wx+j)=sin(wx+kp+p)=±cos(wx). 2函数y=tanx在R上为增函数。 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的 必要不充分条件. ， 二是满足奇偶性条件， 偶函数：f(-x)=f(x)， 奇函数：f(-x)=-f(x)） 1奇偶性的单调性：奇同偶反. 例：y=tanx是奇函数，y=tan(x+p)是非奇非偶 3奇函数特有性质：若0Îx的定义域，则f(x)一定有f(0)=0. 12 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 y=sinx不是周期函数； y=sinx为周期函数； y=cosx是周期函数； 1 y=cosx为周期函数； y=cos。 注：并非所有周期函数都有最小正周期。 2x+的周期为p2yyx1/2xy=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数yAsin的振幅|A|，周期T=2p，频率f=1=|w|，相位wx+j; |w|T2p初相j， 由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短到原来 的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做 振幅变换 或叫沿y轴的伸缩变换 由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长或缩短到原来 的|1|倍，得到ysin x的图象，叫做 周期变换 或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x) w由ysinx的图象上所有的点向左或向右平行移动个单位， 得到ysin的图象，叫做 相位变换 或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x) 由ysinx的图象上所有的点向上或向下平行移动b个单位， 得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移 由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin的图象， 要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 三角函数解三角形常用公式 1、正弦定理：在DABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为DABC的外接圆的半径， abc=2R sinAsinBsinC2、正弦定理的变形公式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC； a:b:c=sinA:sinB:sinC； abca+b+cabc sinA=，sinB=，sinC=； =2R2R2RsinA+sinB+sinCsinAsinBsinC1113、三角形面积公式：SDABC=bcsinA=absinC=acsinB 222 则有4、余弦定理：在DABC中，有a=b+c-2bccosA，b=a+c-2accosB，c=a+b-2abcosC 222222222b2+c2-a2a2+b2-c2a2+c2-b25、余弦定理的推论：cosA=，cosB=，cosC= 2bc2ab2ac6、设a、b、c是DABC的角A、B、C的对边，则：若a+b=c，则C=90； 若a+b>c，则C<90； 若a+b<c，则C>90 13 222222222函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 高中数学函数知识点梳理 1. 函数的单调性 (1)设x1×x2Îa,b,x1¹x2那么 f(x1)-f(x2)>0Ûf(x)在a,b上是增函数； x1-x2f(x1)-f(x2)<0Ûf(x)在a,b上是减函数. (x1-x2)f(x1)-f(x2)<0Ûx1-x2(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f¢(x)>0，则f(x)为增函数；如果f¢(x)<0，则f(x)为减函数. 注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=fg(x)是增函数. (x1-x2)f(x1)-f(x2)>0Û2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数 注：若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)； 若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a). 注：对于函数y=f(x)(xÎR),f(x+a)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x= 两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x) 的图象关于直线x=a+b； 2a+b对称. 2注：若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称； 若f(x)=-f(x+a),则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数. nn-13. 多项式函数P(x)=anx+an-1x+a2+a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数ÛP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数ÛP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 函数y=f(x)的图象的对称性 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称Ûf(a+x)=f(a-x) Ûf(2a-x)=f(x). (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=4. 两个函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称. (2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=(3)函数y=f(x)和y=f-1a+b对称Ûf(a+mx)=f(b-mx) Ûf(a+b-mx)=f(mx). 2a+b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称. (4)若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象； 若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象. 5. 互为反函数的两个函数的关系 f(a)=bÛf-1(b)=a. 若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=1-1f(x)-b,并不是y=fk-1(kx+b), 14 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 1f(x)-b的反函数. k而函数y=f-1(kx+b)是y=6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c. (2)指数函数f(x)=a,f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a¹0. (3)对数函数f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a>0,a¹1). '(4)幂函数f(x)=x,f(xy)=f(x)f(y),f(1)=a. xa(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx，f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，f(0)=1,limx®0g(x)=1. x7. 几个函数方程的周期(约定a>0) f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a； f(x)=f(x+a)=0， 或f(x+a)=或11(f(x)¹0)，或f(x+a)=-(f(x)¹0), f(x)f(x)1+2f(x)-f2(x)=f(x+a),(f(x)Î0,1),则f(x)的周期T=2a； 1(f(x)¹0)，则f(x)的周期T=3a； f(x+a)f(x1)+f(x2)(4)f(x1+x2)=且f(a)=1(f(x1)×f(x2)¹1,0<|x1-x2|<2a)，则f(x)的周期T=4a； 1-f(x1)f(x2)(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x+a)=f(x)-f(x+a)，则f(x)的周期T=6a. (3)f(x)=1-8. 分数指数幂 (1)amnmn=1nam. (2)a*-=1amn. *9. 根式的性质 (na)n=a. 当n为奇数时，an=a； 当n为偶数时，a=|a|=ínnnìa,a³0. î-a,a<0rrr10. 有理指数幂的运算性质 (1)a×a=a(a>0,r,sÎQ). (2)(a)=a(a>0,r,sÎQ). (3)(ab)=ab(a>0,b>0,rÎQ). 注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式 logaN=bÛab=N (