一道圆锥曲线题的解法.docx

一道圆锥曲线题的解法题目： 已知椭圆E的离心率为3/2，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2(0<r<b)上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A,B两点，O为坐标原点。 当r为和值时，OAOB； 过椭圆E上任意一点P作中所求圆的两条切线分别交椭圆与M,N,求PMN面积的取值范围。 解： 椭圆E：x2+4y2=4，圆C: x2+y2=4/5，r=25 5由知，OPOM，OPON， MN经过原点O 设MN：y=kx，则OP：y=-1x k2ìx=1ìx2+4y2=4ï4k2+1ï Þíí2y=kxîïx=-2ï4k2+1î MN=(1+k)(x-x)21221+k2 =41+4k212k2+1k 同理OP=2 =221k+41+42k1+1k2+1=MNOP=4 2221+4kk+4SDPMN()()2)求这个取值范围方法不止一种，这里列举两种： 解法一：令t=k+1，则 2+1t2114=4=4=4 2991+4k2k2+44t2+9t-9æ11ö254+-2-9ç-÷+tt4èt2ø(k2)()2)1Qt³1，则0<£1t1é8ù 4Î，2ú2ê5æ11ö25ëû-9ç-÷+4èt2øPMN面积的取值范围是1.6,2。 解法二： f(x)/g(x)'= f'(x)g(x)- f(x)g'(x)/ g(x)2f(k)=2(4k+1)(k+4)¢(4k+1)(k+4)=2(4k2224(k2+1)12+1k+42)(2)×16k3+34k()8kf¢(k)=(4k2+1k+4-4(k+1)(2)()16k(4k+1)(k+4)-4(k+1)(16k+34k)=2(4k+1)(k+4)(4k+1)(k+4)22232222(24k2+1k2+44k2+1k2+4)(16k3+34k)(=32k5+8´17k3+32k-32k5-100k3-68k(4k2+1k+44k+1k+436k3-36k36kk2-1)(2)(2)(2)(4k(4k2+1k2+44k2+1k2+4+1k2+44k2+1k2+4)()()()()()()288f¢(k)=0Þk=-1,0,1Þ图像Þf(-1)=,f(0)=2,f(1)=55é8ùf(k)Îê，2úë5û PMN面积的取值范围是1.6,2。 编写人：杨川皇者