一元三次函数性质与图象探索.docx

一元三次函数性质与图象探索一元三次函数性质与图象探索高中部 宋润生 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置 接着，我们同样学习了二次函数下： ，图象大致如 图1 图2 利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴当时(图2)，在对称轴上取得最小值；的左侧单调递增、右侧单调递减，对第 1 页 共 11 页 称轴上取得最大值在某一区间取得最大值与最小值其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置 三次函数的图象有六类如图： 图3 图4 第 2 页 共 11 页 图5 图6 图7 图8 分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减整个定义域上不存在极值，函数必经过原点单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数，验证的图象在的图象在，根据图象知道，在与0的关系，当是单调递增；当时，时，的导数是即即是单调递减相一致当处不是函数f(x)的极值点所以的根是函数取得极值的必要不充分条件现在思考并验证函数与函数出：函数图象有什么关系？经过验证得与第 3 页 共 11 页 相同，当时函数单位；当时函数图象是图象是的导数都是 图象向上平移|d|个图象向下平移|d|个单位；函数在图5中解析式是增在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递，整个定义域上函数单调的导数，经的即，所以递增减整个定义域上不存在极值函数过验证在图5中因为图象在即，所以是单调递增；在图6中因为的图象在是单调递减；函数都不存在极大值,在图6中a<0、呢？a>0、是二次函数，导数或a<0、时函或极小值为什么在图5中a>0、或a<0、当a>0、是又有什么结果呢？因为导数或a<0、时判别式有一个根当a>0、数不小于0，方程，方程想如果，那么有两个根那么函数图象有什么特点呢？猜有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8： 在图7中解析式是上函数单调递增，在得极大值，在，在上函数单调递减；在或处取处取得极小值；在图8中解析式是，在或上函数单调递减，处取得极在上函数单调递增；在处取得极小值，在第 4 页 共 11 页 大值，它们在是上最大值和最小值为什么呢？函数，设的两根是，当的图象在上的导数并且令或经过验证在图7中，因为时或，所以是单调递增；在的图象在因为，当的图象在在上，所以或或，所以是单调递减在图8中，时，所以是单调递减；的图象在是单调递增 经过上述探索知道，函数在整个定义域上是单调递增，左右都增中间递减，还是左右都减中间递增，是由a确定，b、c确定函数有没有极值、d确定函数与 y轴的交点并且函数单调递增有没有极值与判别式相关，具体归纳如下性质： 设函数知： 时导数的图象 时导数图象 的导函数的的导数是的判别式为：则由导数，的图象可第 5 页 共 11 页 图9 图10 函数f(x)图象 图11 图12 第 6 页 共 11 页 三次函数f (x)在R上是单调函数， 时的两根为且导数图象 图13 函数f (x)图象 函数f (x)图象 第 7 页 共 11 页 图14 图15 1、时在或处单调递增；取得极大值在，在处单调递减(如图14)在取得极小值2、时 在或处单调递减；取得极小值在，在处单调递增，(如图15)在取得极大值 注意：三次函数f(x)有极值三次函数图象的对称性： 三次函数导函数的判别式>0 的图象是中心对称图形，其对的称中心是 三次函数的图象对称轴上 若三次函数是两个极值点的中点 根据以上性质可以灵活解决三次函数问题： 例1、设，讨论关于x的方程第 8 页 共 11 页 的图象的对称中心在其导函数有极值，那么它的对称中心的相异实根的个数？ 解：分析：要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成这转化为讨论函数函数 函数当只有一个根 当有两个根 当时，函数与有三个交点，方程有三个根 或时，函数与只有两个交点，即方程只的导数的极大值是或时，函数与，设，交点的个数 的两根为，函数与的极小值是(如图16) ， 只有一个交点，即方程图16 例2、已知函数f(x)取得极值 第 9 页 共 11 页 是R上的奇函数，当时求f(x)的单调区间和极大值； 证明对任意，不等式恒成立 ，函数f(x)的导数解：函数f(x)是奇函数，所以依题意得,所以 导数时，函数f(x)单调递增； 时，函数f(x)单调递减；所以如图17 对任意，,解得，(如图17) ， 函数f(x)单调递减，所以图17 一般地且任意时，在处都有在导数；在处 有两根，对第 10 页 共 11 页 我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次函数的性质，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好导数知识，能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题找到较好的解决办法 第 11 页 共 11 页