《高等几何》复习大纲样题及答案.docx
高等几何复习大纲样题及答案高等几何复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。 2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。 3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。 3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素 中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格定理 应用笛萨格定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标 齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标 线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则 作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比 交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形 完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 1 3.一维基本形的射影对应 一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。 4.二维射影变换 5.二维射影对应与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标 一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素 求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。 2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。 高等几何样题及答案 一、填空题 1、平行四边形的仿射对应图形为： ； 2、线坐标的直线的齐次方程为： ； 3、直线3x1+2x2=0上的无穷远点坐标为： ； 4、设(AB,CD)= 2，则点偶 调和分割点偶 ； 5、两个射影点列成透视的充要条件是 ； 二、作图题 2 1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。 三、计算题 1、 求仿射变换式使直线x2y10上的每个点都不变，且使点变为 ¢=-x1ìrx1ï¢=x2的固定元素。 2、 求射影变换írx2ïrx¢=x3î33、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。 四、证明题 1、叙述并证明布利安桑定理。 2、设=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB 参考答案 一、填空题 1、平行四边形 2、x1+2x2+x3=0 3、 4、 AC , BD 5、保持公共元素不变 二、作图题 1、每三点不共线的五个点，两两连线。 对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。 对偶图形 就是自己 三、计算题 ìx¢=a1x+b1y+c11解 设所求仿射变换为íîy¢=a2x+b2y+c2在x+2y-1=0上任取两点，例如取、，在仿射变换下，此二点不变。而点变为，ìa1+c1=1ì3a1-b1+c1=3把它们分别代入所设仿射变换式，得í ，í a+c=03a-b+c=-1222î2î2ìa1-b1+c1=-1 由以上方程联立解得：a12 ，b1=2 ,c1=-1 , ía-b+c=222î23 33a2=- ,b2=-2 ,c2= 22ìx¢=2x+2y-1ï 故所求的仿射变换为：í3x3 ¢y=-2y+ï22î解由题设的射影变换式，得a11=-1,a12=0,a13=0,a21=0,a22=1,a23=0,a31=0,a32=0,a33=1 把它们代入ì(a11-u)x1+a12x2+a13x3=0ï射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即ía21x1+(a22-u)x2+a23x3=0 ïax+ax+(a-u)x=0322333î311-1-u.0.0ì(-1-u)x1=0ï得í(1-u)x2=0 由此得特征方程为:0.1-u.0=0, 即(1+u)(1-u)2=0ï(1-u)x=00.0.1-u3î解得u=1 ,u=1 将u=1代入固定点方程组，即得固定点为 将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。把aij的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式，即ì(a11-n)u1+a21u2+a31u3=0ïía12u1+(a22-n)u2+a32u3=0ïau+au+(a-n)u=0232333î131-1-n.0.00.1-n.00.0.1-n得ì(-1-n)u1=0ïí(1-n)u2=0ï(1-n)u=03î则特征方程为=0 即(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。 将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为。 将v=1代入固定直线方程组，得u1=0,即通过点 3、 见课本 四、证明题 1、见课本 2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由=-1，得AC·BD=-1 AD·BC 即 AC·BD+AD·BC=0 把所有线段都以O点做原点来表达，由得+=0 由去括号，移项，分解因子，得2= 2=·0 OA·OB-OC=0即 OC=OA·OB 4
