《高等数学》不定积分课后习题详解.docx

高等数学不定积分课后习题详解 不定积分 内容概要 名称 不 设f(x)， xÎI，若存在函数F(x)，使得对任意xÎI均定 有 F¢(x)=f(x) 积 或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 分 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I主要内容 上的不定积分，的 记为 概 òf(x)dx=F(x)+C 为f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+C。故不定积分的表达式不唯一。 若f(x)连续，则必可积；若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：déf(x)dxù=f(x)dx； f(x)dxù=f(x)或déòòëûëûdx质 性质2：òF¢(x)dx=F(x)+C或òdF(x)=F(x)+C； 性质3：òaf(x)±bg(x)dx=aòf(x)dx±bòg(x)dx，a,b为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u=j(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 òf(j(x)j¢(x)dx=òf(j(x)dj(x)=F(j(x)+C 第二类 设换元积 分法 x=j(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)fj(t)j¢(t)，则 òf(x)dx=òf(j(t)j¢(t)dt=F(t)+C=F(j-1(x)+C 分部积òu(x)v¢(x)dx=òu(x)dv(x)=u(x)v(x)-òv(x)du(x) 分法 1 有理函若有理函数为假分式，则先将其变为多项数积分 式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分章 的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程的无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，地 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程位更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积与 分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题作会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一用 章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ (1)òdxx2x1x2思路: 被积函数 解：òdxx2-52x=x3-52，由积分表中的公式可解。 2-=òxdx=-x2+C 3x1x)dx (2)ò(3x-思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：ò(x-)dx=ò(x-x)dx=òxdx-òxdx=3x3-2x2+C 4x3-11312131241(3)òdx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 2 2x13dx=ò2dx+òxdx=+x+C 解：òln23x2x2(4)òx(x-3)dx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：ò2x(x-3)dx=òxdx-3òxdx=x2-2x2+C 53212533x4+3x2+1dx (5)ò2x+13x4+3x2+112=3x+思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，22x+1x+1分别积分。 3x4+3x2+1123dx=3xdx+dx=x+arctanx+C 解：ò22òòx+11+xx2dx (6)ò1+x2x2x2+1-11=1-思路:注意到2=1+x1+x21+x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 x2解：ò2dx=òdx-ò12dx=x-arctanx+C. 1+x1+x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 x1(7)òdx 2xx3x4思路:分项积分。 x1解：òdx=xdx-dx+3xdx-4xdx 34òòòò2xxx2x134=x2-ln|x|-x-2+x-3+C. 423(8)ò(32-)dx 221+x1-x思路:分项积分。 解：ò(3211-)dx=3dx-2dx=3arctanx-2arcsinx+C. 22òò221+x1+x1-x1-x(9)òxxxdx 3 思路:解：òxxx=？看到xxx=x8xxxdx=òxdx=x8+C. 151dx 22x(1+x)7815111+248=x78，直接积分。 (10)ò思路:裂项分项积分。 解：ò111111dx=(-)dx=dx-dx=-arctanx+C. 222222òòòxx(1+x)x1+xx1+xe2x-1(11)òxdx e-1e2x-1(ex-1)(ex+1)dx=ò(ex+1)dx=ex+x+C. 解：òxdx=òxe-1e-1(12)ò3xexdx x思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3xex=。 xdx=+C. 解：ò3edx=òln(3e)xxx(13)òcot2xdx 思路:应用三角恒等式“cot2x=csc2x-1”。 解：òcot2xdx=ò(csc2x-1)dx=-cotx-x+C 2×3x-5×2xdx (14)òx32×3x-5×2x2x=2-，积分没困难。 思路:被积函数 3x32x2x3解：ò2×3-x5×2dx=ò）dx=2x-5+C. 33ln2-ln3(15)òcos2xdx 2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：òcos2xd=ò1+cosxdx=1x+1sinx+C. 2222(16)ò1dx 1+cos2x思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 11112dx=òdx=secxdx=tanx+C. 2ò1+cos2x222cosx(17)òcos2xdx cosx-sinx解：ò思路:不难，关键知道“cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”。 4 cos2xdx=ò(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C. cosx-sinxcos2x(18)ò2dx 2cosx×sinx解：ò思路:同上题方法，应用“cos2x=cos2x-sin2x”，分项积分。 cos2xcos2x-sin2x11dx=dx=dx-x 解：ò222222òòòcosx×sinxcosx×sinxsinxcosx=òcsc2xdx-òsec2xdx=-cotx-tanx+C. (19)ò(1-x1+x+)dx 1+x1-x1-x1+x1-x1+x2+=+=1+x1-x1-x21-x21-x2思路:注意到被积函数 解：ò(，应用公式(5)即可。 1-x1+x1+)dx=2òdx=2arcsinx+C. 21+x1-x1-x1+cos2xdx (20)ò1+cos2x1+cos2x1+cos2x121=secx+思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 1+cos2x222cos2x1+cos2x11tanx+xdx=òsec2xdx+òdx=+C. 解：ò1+cos2x2222、设òxf(x)dx=arccosx+C，求f(x)。 知识点：考查不定积分与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得： xf(x)=-11-x2df(x)dx=f(x)即可。 dxò,f(x)=-1x1-x23、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，f(x)=òsinxdx=-cosx+C1 所以f(x)的原函数全体为：òdx=-sinx+C1x+C2。 ex12xxx4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数 chx-shx2知识点：考查原函数与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。 5 解：exd1dd=e2x，而(e2x)=exshx=exchx=e2x chx-shxdx2dxdx5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y=f(x)，由题意可知：d1f(x)=，f(x)=ln|x|+C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3=ln(e2)+C,C=1， 所以曲线的方程为f(x)=ln|x|+1. 6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问： 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y=则由速度和位移的关系可得：f(t)， df(t)=3t2Þf(t)=t3+C， dt又因为物体是由静止开始运动的，f(0)=0,C=0,f(t)=t3。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)=33=27米； (2)令t3=360Þt=3360秒。 习题4-2 1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx=1d(7x-3);(2)xdx=-1d(1-x2);(3)x3dx=721d(3x4-2); 12 6 1dx1dx1d(e2x);(5)=d(5ln|x|);(6)=-d(3-5ln|x|);2x5x5 1dx1dx1(7)dt=2d(t);(8)=d(tan2x);(9)=d(arctan3x).2223cos2x1+9xt(4)e2xdx=2、求下列不定积分。 知识点：第一换元积分法的练习。 思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ òe3tdt 思路:凑微分。 解：òe3tdt=1òe3td(3t)=1e3t+C 33(2)ò(3-5x)dx 思路:凑微分。 31解：ò(3-5x)dx=-ò(3-5x)d(3-5x)=-1(3-5x)4+C 520(3)ò1dx 3-2x33思路:凑微分。 解：ò1111dx=-òd(3-2x)=-ln|3-2x|+C. 3-2x23-2x215-3xdx (4)ò3思路:凑微分。 解：ò12-1111133dx=-d(5-3x)=-(5-3x)d(5-3x)=-(5-3x)+C. òò3335-3x325-3x(5)ò(sinax-exb)dx 思路:凑微分。 解：ò(sinax-e)dx=1òsinaxd(ax)-bòebd(x)=-1cosax-beb+C aba(6)òcosttdt 12tdt，凑出d(t)易解。 xbxx思路:如果你能看到d(t)= 7 解：òcosttdt=2òcostd(t)=2sint+C (7)òtan10xsec2xdx 思路:凑微分。 解：òtan10xsec2xdx=òtan10xd(tanx)=111tan11x+C. (8)òdxxlnxlnlnx思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：òdxxlnxlnlnx=òd(ln|x|)lnxlnlnx=òd(ln|lnx|)lnlnx=ln|lnlnx|+C (9)òtan1+x2xdx 1+x2思路:本题关键是能够看到xdx 是什么，是什么呢？就是1+x2d1+x2！这有一定难度！ 解：òtan1+x2xdx1+x2=òtan1+x2d1+x2=-ln|cos1+x2|+C(10)òdxsinxcosx思路:凑微分。 解： 方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx。 òdxsinxcosx=ò2dxsin2x=òcsc2xd2x=ln|csc2x-cot2x|+C 方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。 òdxsinxcosx=òcosxsinxcos2xdx=ò121tanxsecxdx=òtanxdtanx=ln|tanx|+C 方法三： 三角公式sin2x+cos2x=1，然后凑微分。 òdxsin2sinxcosx=òx+cos2xsinxcosxdcosxdsinxsinxcosxdx=òcosxdx+òsinxdx=-òcosx+òsinx =-ln|cosx|+ln|sinx|+C=ln|tanx|+C (11)òdxex+e-x思路:凑微分：dxexdxdexdexex+e-x=e2x+1=1+e2x=1+(ex)2。 解：dxexdxdexòex+e-x=òe2x+1=ò1+(ex)2=arctanex+C (12)òxcos(x2)dx 8 思路:凑微分。 解：òxcos(x2)dx=1òcosx2dx2=1sinx2+C 222(13)ò思路:由解：òxdx2-3xxdx1dx21d(2-3x2)凑微分易解。 =-22222-3x62-3x2-3x1-1d(2-3x2)1122=-ò=-ò(2-3x)d(2-3x2)=-2-3x2+C 6632-3x22-3x2xdx(14)òcos2(wt)sin(wt)dt 思路:凑微分。 解：òcos2(wt)sin(wt)dt=1òcos2(wt)sin(wt)dwt=-1òcos2(wt)dcos(wt) ww=-1cos3(wt)+C. 3w3x3dx (15)ò1-x4思路:凑微分。 3x334x331313444dx=dx=dx=-d(1-x)=-ln|1-x|+C. 解：ò4444òòò41-x41-x41-x41-x(16)òsinxdx 3cosx思路:凑微分。 解：òsinx111dx=-dcosx=+C. òcos3x2cos2xcos3x(17)òx92-x20dx 思路:经过两步凑微分即可。 解：ò111dx=òdx10=ò102-x20102-x20x911-(x102)21x10d=arcsin+C 2102x10(18) ò1-x9-4x2dx 思路:分项后分别凑微分即可。 解：ò1-x9-4x2dx=ò19-4x2dx-òx9-4x2dx 9 12x11d-òd4x222x2389-4x1-3112x11 =òd+òd222x2389-4x1-312x1=arcsin+9-4x2+C.234=12ò(19) òdx 22x-1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：ò=1221dxdx111=(-)dx 2x2-1ò(2x+1)(2x-1)2ò2x-12x+1ò(11-)d2x2x-12x+11111d(2x-1)-d(2x+1)=lnò2x-1222x+122xdx(4-5x)222ò2x-1+C.2x+1(20)ò思路:分项后分别凑微分即可。 解：ò=xdx14-5x-4111=-dx=d(4-5x) 222òò(4-5x)5(4-5x)254-5x(4-5x)1141141d(4-5x)-d(4-5x)=ln|4-5x|+C. 2òò254-5x25(4-5x)25254-5xx2dx(21)ò(x-1)100思路:分项后分别凑微分即可。 x2dx(x-1+1)2dx(x-1)2(x-1)1=(+2+解：òò(x-1)100(x-1)100(x-1)100)dx (x-1)100ò(x-1)100=ò(=-111+2+)d(x-1) 9899100(x-1)(x-1)(x-1)111111-+C. 97(x-1)9749(x-1)9899(x-1)99(22)òxdx x8-1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：òxdxxdx1111112=(-)xdx=(-)dx 8444444òòò2x-1x+14x-1x+1x-1(x-1)(x+1) 10 1111111122(-)-dx=d(x-1)-d(x2+1)22422òòò42x-1x+1x+18x-1x+1 2111x-11-ò22dx2=ln|2|-arctanx2+C.4(x)+18x+14=(23)òcos3xdx 思路:凑微分。cosxdx=dsinx。 解：òcos3xdx=òcos2x×cosxdx=òcos2xdsinx=ò(1-sin2x)dsinx 1=sinx-sin3x+C 3(24)òcos2(wt+j)dt 思路:降幂后分项凑微分。 解：òcos2(wt+j)dt=ò1+cos2(wt+j)dt=ò1dt+22=11t+sin2(wt+j)+C 24w1cos2(wt+j)d2(wt+j) ò4w(25)òsin2xcos3xdx 思路:积化和差后分项凑微分。 解：òsin2xcos3xdx=ò1(sin5x-sinx)dx=2=-11cos5x+cosx+C 10211sin5xd5x-sinxdx 10ò2ò(26)òsin5xsin7xdx 思路:积化和差后分项凑微分。 解：òsin5xsin7xdx=ò1(cos2x-cos12x)dx=1òcos2xd2x-2411=sin2x-sin12x+C. 4241cos12xd(12x) 24ò(27)òtan3xsecxdx 思路:凑微分tanxsecxdx=dsecx。 解：òtan3xsecxdx=òtan2x×tanxsecxdx=òtan2xdsecx=ò(sec2x-1)dsecx 1=òsec2xdsecx-òdsecx=sec3x-secx+C 3(28)ò10arccosx1-x2dx dx=d(-arccosx)。 思路:凑微分解：ò10arccosx1-x211-x2dx=-ò10arccosx10arccosxdarccosx=-+C. ln10(29)òdx(arcsinx)21-x2 11 思路:凑微分解：òdx11-x2dx=d(arcsinx)。 (arcsinx)21-x2=òdarcsinx1=-+C 2arcsinx(arcsinx)dx (30)òarctan思路:凑微分arctan解：òarctanxdx=òxx(1+x)xx(1+x)dx=2arctanx1+(x)2dx=2arctanxd(arctanx)。 2arctanx1+(x)2x(1+x)dx=ò2arctanxd(arctanx) =(arctanx)2+C (31)òlntanxdx cosxsinx思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出sec2x， lntanxlntanxlntanx2lntanxdx=dx=secxdx=dtanx cosxsinxtanxtanxcos2xtanx1=lntanxd(lntanx)=d(lntanx)2) 2解：òlntanxdx=òln2tanxdx=òlntanxdtanx=òlntanxd(lntanx) cosxsinxtanxcosxtanx1=(lntanx)2+C 2(32)ò1+lnx2dx (xlnx)思路:d(xlnx)=(1+lnx)dx 解：ò1+lnx2dx=ò(xlnx)11d(xlnx)=-+C xlnx(xlnx)2(33)ò解：方法一： dx1-ex思路:将被积函数的分子分母同时除以 ex，则凑微分易得。 dxe-x11-x-x-x=dx=-d(e)=-d(e-1)=-ln|e-1|+C ò1-exòe-x-1òe-x-1òe-x-1方法二： 思路:分项后凑微分 dx1-ex+exex1x=dx=1dx+dx=x-d(1-e) ò1-exò1-exòò1-exò1-ex =x-ln|1-ex|+C=x-ln(ex|e-x-1|)+C =x-(lnex-ln|e-x-1|)+C=-ln|e-x-1|+C 12 方法三： 思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ex，裂项后凑微分。 dxexdxdex1ùx1é1xx=+de=lne-d(1-e) òx=òxxxxxxxòú1-ee(1-e)òe(1-e)òêe1-e1-eëû =x-ln|1-ex|+C(34)ò解：方法一: =-ln|e-x-1|+C dx x(x6+4)思路：分项后凑积分。 dx14dx1x6+4-x6dx1æ1x5ö-6÷dx òx(x6+4)=4òx(x6+4)=4òx(x6+4)=4òçèxx+4ø11d(x6+4)11=ln|x|-ln|x6+4|+C =ln|x|-ò6424x+4424方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令x=1，则dx=-1dt。 2ttdxt11d(4t6)1d(4t6+1)ò=´(-2)dt=-ò=-ò241+4t6241+4t6x(x6+4)ò1t+46 t114=-ln(1+4t6)+C=-ln(1+6)+C.2424x(35)ò解：方法一: dx 82x(1-x)思路：分项后凑积分。 dx1-x8+x8(1-x2)(1+x2)(1+x4)dx=dx=dx+òx8(1-x2)òx8(1-x2)òò1-x2x8(1-x2)1+x2+x4+x6dxdx+ =ò 8òx(1-x)(1+x) =ò(18+x1111+)dx+ò1-x2dx x6x4x2 =-111111-x-ln+C 7537x5x3xx21+x方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 dt。 令x=1，则dx=-12tt 13 dxt81t81642ò8=´(-dt)=-dt=-(t+t+t+1+)dt òt2-1ò1x(1-x2)òt2t2-11-2t1111642)dt=-(t+t+t+1)dt-(-)dtò2òt-1t+1t2-13、求下列不定积分。 1715131t-1111111111-x=-t-t-t-t-ln|+C=-ln|+C7532t+17x75x53x3x21+x=-ò(t6+t4+t2+1)dt-ò(知识点：第二种换元积分法的练习。 思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。 sin2x+cos2x=1;sec2x-tan2x=1. 为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1)òdx1+1-x<2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。 思路:令x=sint,t解：令x=sint,t<p2p2dxcostdtdtdtttò=ò=òdt-ò=t-ò=t-òsec2d t1+cost1+cost221+1-x22cos221-1-x2tx+C） =t-tan+C=arcsinx-+C. x2-9dx x2思路:令x=3sect,tÎ(0,p)，三角换元。 解：令x=3sect,tÎ(0,p)，则dx=3secttantdt。 2x2-93tantòdx=ò3secttantdt=3òtan2tdt=3ò(sec2t-1)dtx3sect 3=3tant-3t+C=x2-9-3arccos+C.|x| 14 思路:令x=tant,t解：令x=tant,tòdx<p2，三角换元。 <p2，则dx=sec2tdt。 sec2tdtdtx=ò=costdt=sint+C=+C 3òò232sectsect(x+1)1+x(4)òdx(x+a)<223，三角换元。 思路:令x=atant,t解：令x=atant,tò=<p2p2dxasec2tdtdt11=ò33=ò2=2òcostdt=2sint+Casectasectaa(x2+a2)3，则dx=asec2tdt。 xa2a+x22+C.x2+1xx+14(5)òdx <思路:先令u=x2，进行第一次换元；然后令u=tant,t解：1x2+122òxx4+1dx=2òx2x4+1dx，令u=x得： x2+1p2，进行第二次换元。 p1u+12du=sectdt， ，令，则u=tant,t<dx=duòxx4+12òuu2+12ò1u+11tant+11tant+12du=sectdt=sectdtòòò422uu+12tant×sect2tantxx+1111=ò(csct+sect)dt=lnsect+tant+lncsct-cott+C222dx=11=lnu2+1+u+ln22u2+111-+C=lnuu21x+1+x+ln242x2+1x2+1x4+1-1+C.2x (6)ò5-4x-x2dx 思路:三角换元，关键配方要正确。 解：5-4x-x2=9-(x+2)2，令x+2=3sint,t<p2，则dx=3costdt。 ò5-4x-x2dx=ò9cos2tdt=9ò1+cos2tt1dt=9(+sin2t)+C2249x+2x+2=arcsin+5-4x-x2+C.2324、求一个函数f(x),满足f'(x)=思路:求出11+x11+x，且f(0)=1。 的不定积分，由条件f(0)=1确定出常数C 的值即可。 15 解：ò11+xdx=ò11+xd(x+1)=21+x+C. 令f(x)=21+x+C，又f(0)=1，可知C=-1， f(x)=21+x-1. 5、设In=òtannxdx,，求证：In=1tann-1x-In-2，并求òtan5xdx。 n-1思路:由目标式子可以看出应将被积函数tannx 分开成tann-2xtan2x，进而写成： tann-2x(sec2x-1)=tann-2xsec2x-tann-2x，分项积分即可。 证明：In=òtannxdx=ò(tann-2xsec2x-tann-2x)dx=òtann-2xsec2xdx-òtann-2xdx =òtann-2xdtanx-In-2=1tann-1x-In-2.n-1111n=5时，I5=òtan5xdx=tan4x-I3=tan4x-tan2x+I1 4421111=tan4x-tan2x+òtanxdx=tan4x-tan2x-lncosx+C.4242习题4-3 1、 求下列不定积分： 知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 òarcsinxdx 思路:被积函数的形式看作x0arcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。 解：òarcsinxdx=xarcsinx-òx=xarcsinx+1-x2+C. 11-x2dx=xarcsinx+112d(1-x) ò221-xòln(1+x2)dx 思路：同上题。 2x2x22dx=xln(1+x)-òdx 解：òln(1+x)dx=xln(1+x)-òx1+x21+x2222(x2+1)-2dx2=xln(1+x)-òdx=xln(1+x)-2dx+2òò1+x21+x2=xln(1+x2)-2x+2arctanx+C.2òarctanxdx 16 思路：同上题。 dx1d(1+x2)解：òarctanxdx=xarctanx-òx2=xarctanx-ò 1+x21+x21=xarctanx-ln(1+x2)+C 2(4)òe-2xsinxdx 2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：òe-2xsinxdx=òsinxd(-1e-2x)=-1e-2xsinx+1òe-2x1cosxdx 222222221x1x1=-e-2xsin+òcosd(-e-2x)224221x11x1x=-e-2xsin+(-e-2xcos-òe-2xsindx)22422421-2xx1-2xx1-2xx=-esin-ecos-òesindx2282162x2e-2xxx-2xòesindx=-(4sin+cos)+C.21722(5)òx2arctanxdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 x3解：òxarctanxdx=òarctanxd=1x3arctanx-ò1x312dx 3331+x2131x3+x-x131xdx =xarctanx-ò=xarctanx-(x-)dx 331+x233ò1+x2111x131211=x3arctanx-òxdx+òdx=xarctanx-x+d(1+x2)22ò3331+x3661+x111=x3arctanx-x2+ln(1+x2)+C.366(6)òxcosxdx 2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：òxcosxdx=2òxdsinx=2xsinx-2òsinxdx=2xsinx-4òsinxdx 2222222 =2xsinx+4cosx+C. 22(7)òxtan2xdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：òxtan2xdx=òx(sec2x-1)dx=ò(xsec2x-x)dx=òxsec2xdx-òxdx 11=òxd(tanx)-òxdx=xtanx-òtanxdx-x2=xtanx+lncosx-x2+C. 22(8)òln2xdx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 17 解：òln2xdx=xln2x-òx×2lnx×1dx=xln2x-2òlnxdx=xln2x-2xlnx+2òx×1dx xx=xln2x-2xlnx+2òdx=xln2x-2xlnx+2x+C. (9)òxln(x-1)dx 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 x2121x2解：òxln(x-1)dx=òln(x-1)d=xln(x-1)-òdx 222x-1121x2-1+1111dx=x2ln(x-1)-ò(x+1+ =xln(x-1)-ò)dx 22x-122x-1=12111xln(x-1)-x2-x-ln(x-1)+C 2422ln2x(10)ò2dx x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 ln2x解：ò2dx=ò