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高等数学同济五讲稿WORD第04章 不定积分高等数学教案 第四章 不定积分 教学目的： 第四章 不定积分 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xÎI, 都有 F ¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)¢=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x Î(1, +¥)时, 因为(x)¢=1, 所以x是1的原函数. 2x2x 提问: cos x和1还有其它原函数吗？ 2x 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ÎI 都有 F ¢(x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 高等数学课程建设组1 高等数学教案 第四章 不定积分 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 òf(x)dx. 其中记号ò称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即 òf(x)dx=F(x)+C. 因而不定积分òf(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 òcosxdx=sinx+C. 因为x是1的原函数, 所以 2x ò1dx=x+C. 2x1 例2. 求函数f(x)=的不定积分. x 解：当x>0时, (ln x)¢=11, x ò dx=lnx+C(x>0); x 当x<0时, ln(-x)¢=111×(-1)=, -xx ò dx=ln(-x)+C(x<0). x 合并上面两式, 得到 ò dx=ln|x|+C(x¹0). x 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y¢=f ¢(x)=2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为 ò2xdx=x2+C, 高等数学课程建设组2 1高等数学教案 第四章 不定积分 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x+1. 积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系: dòf(x)dx=f(x), dx或 dòf(x)dx=f(x)dx; 又由于F(x)是F¢(x)的原函数, 所以 òF¢(x)dx=F(x)+C, 或记作 òdF(x)=F(x)+C. 由此可见, 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 当记号ò与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表 (1)òkdx=kx+C(k是常数), (2)òxmdx=1xm+1+C, m+11(3)òdx=ln|x|+C, x2(4)òexdx=ex+C, ax+C, (5)òadx=lnax(6)òcosxdx=sinx+C, (7)òsinxdx=-cosx+C, (8)ò(9)ò1dx=òsec2xdx=tanx+C, 2cosx1dx=òcsc2xdx=-cotx+C, 2sinx高等数学课程建设组3 高等数学教案 第四章 不定积分 (10)ò12dx=arctanx+C, 1+x(11)ò11-x2dx=arcsinx+C, (12)òsecxtanxdx=secx+C, (13)òcscxcotdx=-cscx+C, (14)òsh x dx=ch x+C, (15)òch x dx=sh x+C. 例4 ò13dx=òx-3dx=1x-3+1+C=-12+C. -3+12xx 例5 òx2xdx=òx52dx=15+125+1x2+C22=x2+C=x3x+C777. 例6 òdxx3x=ò4-x3dx=4-+1x34-+13+C=-3x-13+C=-33x+C. 三、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即 òf(x)+g(x)dx=òf(x)dx+òg(x)dx. 这是因为, òf(x)dx+òg(x)dx¢=òf(x)dx¢+òg(x)dx¢=f(x)+g(x). 性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 òkf(x)dx=kòf(x)dx(k是常数, k ¹0). 例7. òx(x-5)dx=ò(x =ò = 例8 ò5x2dx72521-5x2)dx1x2dx-ò15x2dx3=ò5x2dx-5ò27x2-5×23x2+C. (x-1)3x2x3-3x2+3x-131dx=òdx=ò(x-3+-2)dx2xxx1111 =òxdx-3òdx+3òdx-ò2dx=x2-3x+3ln|x|+C. x2xx高等数学课程建设组4 高等数学教案 第四章 不定积分 例9 ò(ex-3cosx)dx=òexdx-3òcosxdx=ex-3sinx+C. 例10 ò2xexdx=ò(2e)xdx= 例11 (2e)xln(2e)+C=2xex+C1+ln2. x+(1+x2)1+x+x211òx(1+x2)dx=òx(1+x2)dx=ò(1+x2+x)dx =ò12dx+ò1dx=arctanx+ln|x|+C. x1+x 例12 (x2+1)(x2-1)+1x4x4-1+1dxò1+x2dx=ò1+x2dx=ò1+x2 =ò(x2-1+3112)dx=xdx-dx+dx òòò1+x21+x2 =1x3-x+arctanx+C. 例13 òtan2xdx=ò(sec2x-1)dx=òsec2xdx-òdx = tan x - x + C . 例14 òsin2x dx=ò1-cosxdx=1ò(1-cosx)dx 222 = 例15 ò 12(x-sinx)+C. 1dx=-4cotx+C. sin2x1sin2xxcos222dx=4ò高等数学课程建设组5 高等数学教案 第四章 不定积分 §4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有 d Fj(x) =d F(u)=F ¢(u)d u= F¢ j(x) dj(x)= F ¢j(x) j¢(x)d x , 所以 F ¢j(x)j¢(x)dx= F ¢j(x) dj(x)= F ¢(u)d u= d F(u)=d Fj(x) , 因此 òF¢j(x)j¢(x)dx=òF¢j(x)dj(x) =òF¢(u)du=òdF(u)=òdFj(x)=Fj(x)+C. 即 òfj(x)j¢(x)dx=òfj(x)dj(x)=òf(u)duu=j(x) =F(u) +C u = j(x) = Fj(x)+C. 定理1 设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式 . ò表达式中. fj(x)j¢(x)dx=òfj(x)dj(x)=òf(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j¢(x)dx =du可以应用到被积 在求积分òg(x)dx时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= fj(x)j¢(x)的形式, 那么 òg(x)dx=òfj(x)j¢(x)dx=òf(u)duu=j(x). 例1. ò2cos2xdx=òcos2x×(2x)¢dx=òcos2xd(2x) u+C=sin 2x+C . =òcosudu=sin11111dx=ò(3+2x)¢dx=òd(3+2x) 例2. ò3+2x23+2x23+2x1111 =òdx=ln|u|+C=ln|3+2x|+C. 2u22 例3. ò2xexdx=òex(x2)¢dx=òexd(x2)=òeudu =eu+C=ex+C. 11 例4. òx1-x2dx=ò1-x2(x2)¢dx=ò1-x2dx2 222222111=-ò1-x2d(1-x2)=-òu2du=-u2+C2231=-(1-x2)2+C. 3313高等数学课程建设组6 高等数学教案 第四章 不定积分 例5. òtanxdx=òsinxdx=-ò1dcosx cosxcosx =-ò1du=-ln|u|+C u =-ln|cos x|+C . 即 òtanxdx=-ln|cosx|+C. 类似地可得òcotxdx=ln|sinx|+C. 熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6. ò212dx=12ò1dx a+xa1+(x)2a =1òa1x1xd=arctan+C. xa1+2aaa1x 即 ò212dx=arctan+C. aaa+xxxxx 例7. òchdx=aòchd=a sh+C. aaaa 例8. 当a>0时, ò1a2-x2dx=1aò1x1-2adx=ò1x1-2adxx=arcsin+C. aa 即 òxdx=arcsin+C. aa2-x211111111-)dx=òdx-òdx 例9. ò22dx=ò(2ax-ax+a2ax-ax+ax-a111d(x-a)-òd(x+a) =ò2ax-ax+a11x-a|+C. =ln|x-a|-ln|x+a|+C=ln|2a2ax+a11x-a|+C. 即 ò22dx=ln|2ax+ax-adxdlnx1=ò=ò 例10. ò x(1+2lnx)1+2lnx21+2lnxd(1+2lnx)1 =ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7 高等数学教案 第四章 不定积分 例11. òe3xxdx=2òe3xdx=23e3òxd3x =2e33x+C. 含三角函数的积分: 例12. òsin3xdx=òsin2x×sinxdx=-ò(1-cos2x)dcosx 1 =-òdcosx+òcos2xdcosx=-cosx+co3sx+C. 3 例13. òsin2xcos5xdx=òsin2xcos4xdsinx 22x(1-sinx)2dsinx =òsin46nx-2sinx+sinx)dsinx =ò(si221357x-sinx+sinx+C. =1sin357 例14. òcos2xdx=ò1+cos2xdx=1(òdx+òcos2xdx) 2211112x+C. =òdx+òcos2xd2x=x+sin24241 例15. òcos4xdx=ò(cos2x)2dx=ò(1+cos2x)2dx 21 =ò(1+2cos2x+cos22x)dx 4131 =ò(+2cos2x+cos4x)dx 4221312x+sin4x)+C =(x+sin4283114x+C. =x+sin2x+sin84321 例16. òcos3xcos2xdx=ò(cosx+cos5x)dx 2115x+C. =sinx+sin2101dx=ò 例17. òcscxdx=òsinx1dx xx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案 第四章 不定积分 dx22 =òdtanx2=òxtancos2x2=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . x2tan2 即 òcscxdx=ln |csc x -cot x |+C . 例18. òsecxdx=òcsc(x+p)dx=ln|csc(x+ p)-cot(x+ p)|+C 222 =ln |sec x + tan x | + C. 即 òsecxdx=ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j¢(t)¹0. 又设f j(t)j¢(t)具有原函数F(t), 则有换元公式 ò-1f(x)dx=òfj(t)j¢(t)dt=F(t)=Fj-1(x)+C. 其中t=j(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 Fj-1(x)¢=F¢(t)dt=fj(t)j¢(t)1=fj(t)=f(x). dxdxdt 例19. 求òa2-x2dx(a>0). 解: 设x=a sin t , - p<t< p, 那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是 òa2-x2dx=òacost×acostdt 11stdt=a2(t+sin2t)+C. =a2òco224因为t=arcsinxaxa2-x2, sin2t=2sintcost=2×, 所以 aaòa2x111arcsin+xa2-x2+C. a-xdx=a(t+sin2t)+C=2a224222 解: 设x=a sin t , - p<t< p, 那么 22高等数学课程建设组9 高等数学教案 第四章 不定积分 òa2-x2dx=òacost×acostdt a2x1121 =a2òco2arcsin+xa2-x2+C. stdt=a(t+sin2t)+C=242a2提示:a2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=acos tdt . xa2-x2提示: t=arcsinx, sin2t=2sintcost=2×. aaa 例20. 求òdxx2+a2(a>0). 解法一: 设x=a tan t, - p<t< p, 那么 22x2+a2=a2+a2tan2t=a1+tan2t=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是 ò因为sect=dxx2+a2=òasec2tdt=òsectdt= ln |sec t + tan t |+C . asectx2+a2x, tant=, 所以 aaòdxx+a22x= ln |sec t + tan t |+C=ln(+ax2+a2)+C=ln(x+ax2+a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设x=a tan t, - p<t< p, 那么 22 òdxx+a22=òasec2tdt=òsectdt=ln|sect+tant|+C asectx =ln(+ax2+a2)+C=ln(x+ax2+a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 提示:x2+a2=a2+a2tan2t=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:sect=x2+a2x, tant=. aa 解法二: 设x=a sh t , 那么 高等数学课程建设组10 高等数学教案 第四章 不定积分 òdxx2+a2=òach txdt=òdt=t+C=arsh+C ach taæöø =lnçx+(x)2+1÷+C=ln(x+x2+a2)+C1, èaa其中C 1=C-ln a . 提示: x2+a2=a2sh2t+a2=a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求òdxx2-a2(a>0). 解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< p), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=asec2t-1=a tan t , 于是 dxx2-a2ò因为tant=òasecttantdt=òsectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a2x, sect=, 所以 aaòdxx-a22= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+ax2-a2|+C=ln(x+ax2-a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是 òdxx-a22=-òduu-a22=-ln(u+u2-a2)+C (x+x2-a2)+C=ln-(x-x2-a2)+C1, =-ln-x-x2-a2=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, 2a其中C 1=C-2ln a . 综合起来有 dxx-a22ò=ln|x+x2-a2|+C. 解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< p), 那么 2高等数学课程建设组11 高等数学教案 第四章 不定积分 òdxx2-a2=òasecttant dt=òsectdtatantx2-a2)+C axt+tant|+C=ln(+ =ln|seca =ln(x+x2-a2)+C, 其中C 1=C-ln a . 当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是 òdxx2-a2=-òduu2-a2=-ln(u+u2-a2)+C -x-x2-a2x-a)+C=ln+C a222 =-ln(-x+ =ln-(x-x2-a2)+C1, 其中C 1=C-2ln a . 提示:x2-a2=a2sec2t-a2=asec2t-1=atant . 提示:tant=x2-a2x, sect=. aa 综合起来有 òdxx-a22=ln|x+x2-a2|+C. 补充公式: (16)òtanxdx=-ln|cosx|+C, (17)òcotxdx=ln|sinx|+C, (18)òsecxdx=ln|secx+tanx|+C, (19)òcscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)ò(21)ò(22)ò(23)ò11xdx=arctan+C, 2aaa+x211x-adx=ln|+C,22ax+ax-a21a2-x2dxx+a22dx=arcsin=ln(x+x+C, ax2+a2)+C, 高等数学课程建设组12 高等数学教案 第四章 不定积分 (24)ò dxx-a22=ln|x+x2-a2|+C. §4. 3 分部积分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 (uv)¢=u¢v+uv¢, 移项得 uv¢=(uv)¢-u¢v. 对这个等式两边求不定积分, 得 òuv¢dx=uv-òu¢vdx, 或òudv=uv-òvdu, 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程: òuv¢dx=òudv=uv-òvdu=uv-òu¢vdx= × × ×. 例1 òxcosxdx=òxdsinx=xsinx-òsinxdx=x sin x-cos x+C . 例2 òxexdx=òxdex=xex-òexdx=xex-ex+C. 例3 òx2exdx=òx2dex=x2ex-òexdx2 =x2ex-2òxexdx=x2ex-2òxdex=x2ex-2xex+2òexdx =xe-2xe+2e+C =e(x-2x+2 )+C. 例4 òxlnxdx=1òlnxdx2=1x2lnx-1òx2×1dx 222x2xxxx2 =1x2lnx-1òxdx=1x2lnx-1x2+C. 2224 例5 òarccosxdx=xarccosx-òxdarccosx =xarccosx+òx 11-x2dx 1-1=xarccoxs-ò(1-x2)2d(1-x2)=xarccoxs-1-x2+C. 2111dx 例6 òxarctanxdx=1òarctanxdx2=x2arctanx-òx2×22221+x111)dx =x2arctanx-ò(1-2221+x高等数学课程建设组13 高等数学教案 第四章 不定积分 11 =1x2arctaxn-x+arctaxn+C. 222 例7 求òexsinxdx. 解 因为òexsinxdx=òsinxdex=exsinx-òexdsinx =exsinx-òexcosxdx=exsinx-òcosxdex =exsinx-excosx+òexdcosx =exsinx-excosx+òexdcosx =exsinx-excosx-òexsinxdx, 1xdx=ex(sinx-cosx)+C. 所以 òexsin2 例8 求òsec3xdx. 解 因为 òsec3xdx=òsecx×sec2xdx=òsecxdtanx 2xdx =secxtanx-òsecxtan =secxtanx-òsecx(sec2x-1)dx 3xdx+òsecxdx =secxtanx-òsec3xdx, =secxtanx+ln|secx+tanx|-òsec13xdx=(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以 òsec2 例9 求In=ò 解 I1=ò2dx, (x2+a2)n其中n为正整数. dx1x=arctan+C; 2aax+a 当n>1时，用分部积分法, 有 dxxx2 ò22n-1=22n-1+2(n-1)ò22ndx (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14 高等数学教案 第四章 不定积分 =x1a2+2(n-1)-ò(x2+a2)n-1(x2+a2)ndx, (x2+a2)n-1x(x2即 In-1=+a)22n-12+2(n-1)(In-1-aIn), 于是 In=1x2+(2n-3)In-1. 2a(n-1)(x+a2)n-11aarctanxa+C以此作为递推公式, 并由I1= 例10 求òexdx. 即可得In. 解 令x=t , 则 , dx=2tdt. 于 òexdx=2òtetdt=2et(t-1)+C=2ex(x-1)+C. òexdx=òexd(x)2=2òxexdx =2òxde =2xex 2x=2xexx-2òexxdx-2e+C=2e(x-1)+C. 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 令j(x)=u òfj(x)j¢(x)dx=òfj(x)dj(x)òf(u)du, òu(x)v¢(x)dx=òu(x)dv(x) =u(x)v(x)-òv(x)du(x). 哪些积分可以用分部积分法？ òxcosxdx, òxexdx, òx2exdx; òxlnxdx, òarccosòexxdx, 3òxarctanxdx; sinxdx, 2òsec2xdx. xx2uò2xedx=òedx=òedu= × × × , òx2exdx=òx2dex=x2ex-òexdx2= × × × . 高等数学课程建设组15 高等数学教案 第四章 不定积分 §4. 4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的形式: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: P(x)Q(x)=a0xn+a1xn-1+×××+an-1x+anb0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm, 其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, × × × , an及b0, b1, b2, × × × , bm都是实数, 并且a0¹0, b0¹0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n³m时, 称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 2x3+x+1x(x+1)+11. =x+222x+1x+1x+1 真分式的不定积分: 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. dx. 例1 求ò2x-5x+6x+365x+3dx=ò-)dx 解 ò2dx=ò(x-3x-2(x-2)(x-3)x-5x+665dx-òdx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. =òx-3x-2x+3提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3AB=+=, (x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: dx. 例2 求ò2x+2x+3x-212x+21dx=ò(-32)dx 解 ò222x+2x+3x+2x+3x+2x+312x+21dx-3ò2dx =ò22x+2x+3x+2x+3x-21=2òd(x2+2x+3)x+2x+32-3òd(x+1)(x+1)2+(2)23x+1x2+2x+3)-arctan+C. =1ln(2221(2x+2)-3x-21x-212=×2-3×2提示: 2. 22x+2x+3x+2x+3x+2x+3x+2x+31dx. 例3 求òx(x-1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案 第四章 不定积分 1111 解 òdx=-+dx òxx-1(x-1)2x(x-1)2 =ò1dx-ò1dx+ò12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. x-1xx-1(x-1) 提示: =-11-x+x11=-+22x(x-1)(x-1)2x(x-1)x(x-1)1-x+x1111. +=-+2x(x-1)(x-1)xx-1(x-1