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高等数学第十一章复习要点第十一章无穷级数 复习要点 §1 常数项级数的概念和性质 一、 级数的基本概念 1. 级数的定义 设有无穷数列u1,u2,L,un,L，则åun称为无穷级数，简称级数，un称为级数n=1¥的一般项 数列：s1=u1，s2=u1+u2，L, sn=u1+u2+L+un,L，称为级数的前n项和数列 2. 级数收敛与发散的定义 若limsn=s，则称级数åun收敛于和s；若limsn不存在，则称级n®¥¥n=1n®¥数åun发散. n=1¥几何(或等比)级数åaqn=1¥n-1=åaqn=a+aq+aq2+L+aqn-1+L的敛散性是：n=0¥当q<1时，它收敛；当q³1时，它发散. 二、级数的主要性质： 1. 级数åun与级数åk×un同敛散，当级数åun收敛于和s时，级n=1n=1n=1¥¥¥数åk×un收敛于和ks. n=1¥2.若级数åun与åvn分别收敛于s和s，则级数å(un±vn)也收敛且和为n=1n=1n=1¥¥¥s±s. 3.在级数åun中添加或去掉有限项不会改变级数的敛散性. n=1¥¥4.若级数åun收敛，则limun=0. n=1n®¥1 5. 若limun¹0,则级数åun必发散. n®¥¥n=1§2 常数项级数的审敛法 一、 正项级数的审敛法 若在级数åun中总有un³0(n=1,2L), 则称åun是正项级数. n=1¥n=1¥¥p-级数 å1的敛散性是：当p>1时,它收敛;当p£1时，它发散. pn=1n正项级数的审敛法有： 1. 比值法 设åun是正项级数.若limn=1¥un+1=r，则有： n®¥un若0£r<1，则级数收敛； 若r>1，则级数发散； 若r=1，比值法失效. 注：一般当un含n次方或阶乘时可用比值法. 2.比较法 设两正项级数åun、åvn满足：un£vn(n=1,2,L)，则有 n=1n=1¥¥ 若åvn收敛，则åun收敛； n=1¥n=1¥¥¥ 若åun发散，则åvn发散. n=1n=12. 比较法的极限形式 ¥¥un设两正项级数åun、åvn满足：lim，则级数åvn与åvn =ln®¥vn=1n=1n=1n=1n¥¥同敛散； 注：当l=0时，若级数åvn收敛则级数åun也收敛； n=1n=1¥¥2 当l=+¥时，若级数åvn发散则级数åun也发散； n=1n=1¥¥在应用比较法及其极限形式时，常选等比级数åaqn=1¥n-1或p-级数å1作比pnn=1¥较对象. 二、交错级数的审敛法 形如å(-1)n=1¥n-1un或å(-1)nun的级数称为交错级数，其中un>0. n=1¥n-1¥莱布尼兹定理：若交错级数å(-1)n=1un或å(-1)nun满足： n=1¥ un³un+1(n=1,2,L)，即数列un单调递减；limun=0， n®¥则交错级数å(-1)n=1¥n-1un或å(-1)nun收敛，且其和s£u1. n=1¥三、绝对收敛与条件收敛 对任意项级数åun，若åun收敛，则åun必收敛. n=1n=1n=1¥¥¥若级数åun收敛，则称级数åun绝对收敛；若级数åun发散而级数åun收n=1n=1n=1n=1¥¥¥¥敛，则称级数åun条件收敛. n=1¥注：对交错级数å(-1)un，一般先判断å(-1)un的敛散性，在判断å(-1)nun的nnn=1n=1n=1¥¥¥敛散性时，所有正项级数的审敛法都可以拿来用，若其收敛则交错级数å(-1)nunn=1¥绝对收敛；若其发散，再判断å(-1)nun自身的敛散性. n=1¥(-1)n交错级数åp 当0<p£1是为条件收敛，当p>1时为绝对收敛. n=1n¥3 §3 幂级数 一、幂级数åanxn的收敛半径、收敛域 n=0¥对幂级数åanxn，设 limn=0¥1an+1=r，则收敛半径R=. n®¥arn注： 求幂级数的收敛域，先求出其收敛半径，再讨论级数在端点x=±R处的敛散性，才能得到幂级数的收敛域. 二、将函数f(x)展开成x的幂级数，并给出可展区间. 熟记以下几个基本函数的展开式，并熟练掌握换元法. (1)1¥1-x=åxn=1+x+x2+L+xn+L,(-1<x<1); n=01¥1+x=å(-1)nxn=1-x+x2-L+(-1)nxn+L,(-1<x<1); n=0¥(2)ln(1+x)=å(-1)nxn+1=x-x2+x3-L+(-1)nxn+1+L,(n=0n+123n+1-1<x£1). 4