《线性代数》样卷.docx

线性代数样卷线 性 代 数 样 卷 本题得分 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1. 设A与B都是n阶方阵，且A+AB=0，则有 A=0 E+B=0 A=0或E+B=0 A=0且E+B=0 2. 设P、Q都是n阶方阵，且(PQ)2=E，则必有 P2Q2=E Q2P2=E (QP)2=E 以上都不正确 3. 解方程组AX=b时，对增广矩阵施行的初等变换 允许进行某种初等列变换 只允许进行某一种初等列变换 既可进行初等行变换也可进行初等列变换 只能进行初等行变换 4. 设A为n阶方阵，其秩r<n，那么在A的n个行向量中 必有r个行向量线性无关 (B) 任意r个行向量线性无关 (C) 任意r个行向量都构成最大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出 5. 若A与B相似，则下列正确的是 存在可逆矩阵U，使A=UBU 存在可逆矩阵U，使A=U-1BU 存在正交矩阵U，使A=U-1BU 存在可逆矩阵U,v，使A=U-1BV 本题得分 二、填空题 -11. 设A是三阶可逆矩阵，A的特征值为111,，则行列式E-A= 345T(1,-,1)1-2. 设A=，B=-r，则AB= 3、 设Anxn,Bnxs,若(A,B):(E,X)，则A可逆，且X= 4、 已知a1=(1,2,1,3)T,a2=(4,-1,-5,-6)T,a3=(1,-3,-4,-7)T，则向量组a1,a2,a3的秩为 æ2ç5、 矩阵ç2ç-2è-2ö÷5-4÷对应的二次型为f(x1,x2,x3)= . -45÷ørrr6、 若向量a=(1,2,3)，b=(2,t-2,5)，g=(0,0,6)线性相关，则t= . 本题得分 三、计算题 21+a11、Dn=1M1L11M1+an1M11+a2LLæ1çæ2150öç02、求ç÷è1-134øç1çç5èæ2ç3、已知A=ç2ç0è3-1-301ö÷2÷ 1÷÷-2÷ø20ö÷13÷且AX=A+X，求X。 10÷øìlx1+x2+x3=1ï4、设线性方程组íx1+lx2+x3=l ï2x+x+lx=l3î12 问l为何值时方程组有唯一解，无解，无穷多解？在有无穷多解时求其通解。 四、证明题 本题得分 1、 已知向量组A：B：a1=(0,1,1),a2=(1,1,0)，b1=(-1,0,1)T,b2=(1,2,1)T,b3=(3,2,-1)T 证明：A组与B组等价。 TT本题得分 T五、应用题 1、验证a1=(0,1,1),a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T 为R3的一个基， 并把b1=(1,0,-4)T,b2=(4,3,2)T 用这个基线性表示。 2. 求正交变换x=py，化实二次型f(x)=2x12+x22-4x1x2-4x2x3为标准形, 线性代数答案 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1： 2： 3： 4:5： 二、填空题 本题得分 æ-1ç 1、-24 2、ç-1ç-1è-1-1-1-1ö÷-1÷ 3：X=A-1B -1÷ø222 4： 2 5： 2x1+5x2+5x3+4x1x2-4x1x3-8x2x3 6、6 本题得分 三、计算题 1+a11： 解：Dnri-r11a2LO1-a1M-a1ci+ana1ci0aiM01a1(1+å)i-1ai01a2L1Oan=a1a2Lan(1+åi=101) aiæ7-109ö2：解：原式=ç÷ 24-5-6èø3：解：X=A æ120220öæ100-226öæ-2ç÷ç÷(A-E,A)=ç203213÷:ç01020-3÷X=çç2ç01-1010÷ç0012-1-3÷ç2èøèøè24：解：A=(l-1)(l+2) l¹16ö÷0-3÷ -1-3÷ø2l¹-2时有唯一解 003ö÷-2÷ R(A)¹R(B) 无解 4÷ø11öæ0æ-21÷ç当l=-2时(A×b)=B=ç1-21-2ç÷:ç1ç11ç-24÷èøè1-211-2æ11ç当l=1时,(A×b)=B=ç11ç11è同解方程为x1+x2+x3=1 11öæ1111ö÷ç÷11÷:ç0000÷.R(A)=R(B)=1 有无穷多解 ç÷11÷øè0000øìx1=1-C1-C2æx1öæ-1öæ-1öæ1öïç÷ç÷ç÷ç÷Þçx2÷=ç1÷C1+ç1÷C2+ç0÷ íx2=C1ïx=Cç0÷ç0÷çx÷ç0÷2èøèøî3è3øèø 本题得分 四、证明题 证明 A组与B组等价ÛR(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) æ-11301öæ11-1-10öç÷ç÷(B,A)=ç02211÷:ç02211÷ç11-110÷ç00000÷èøèøR(B)=R(B,A)=2,又易知R(A)=2R(A)=R(B)=R(B,A)=2 本题得分 五、应用题 1. 解：证A=(a1,a2,a3)B=(b1,b2) 1öæ100-252÷æ01114öçç÷3÷A:E,即a,a,a为R3,的一个基 (A,B)=ç10103÷:ç010-312322÷çç110-42÷çèøç00155÷÷22øè535135且b1=x1-x2+x3b2=x1+x2+x3 222222æ2-20öç÷2. 解 二次型的矩阵为 A=ç-21-2÷，其特征值为 l1=1,l2=4,l3=-2, ç0-20÷èø对于 l1=1，解线性方程组(A-E)x=0, 得基础解系p1=(2,1,-2)TT对于l2=4,解线性方程组(A-4E)x=0, 得基础解系p2=(2,-2,1) 对于l3=-2,解线性方程组(A-4E)x=0, 得基础解系p3=(1,2,2) Tæ21-2öæ2-21öæ122ö将p1,p2,p3单位化得 e1=ç,；e=,e=23÷ç÷ç,÷ è333øè333øè333ø令p=(e1,e2,e3)，则有正交变换x=py使 f(py)=y12+4y22-2y32 TTT线 性 代 数 样 卷 一 、选择题(每小题 2分，共 10 分) 1. 设A, B均为n阶方阵，下面不成立的一项是 若A=O或B=O, 则AB=O (B) 若A¹O且B¹O, 则AB¹O 本题得分 (C) 若AB=O且A¹0, 则B=O (D) 若(A+B)2=A2+2AB+B2，则AB=BA 2. 若n阶方阵A满足A-2A+3E=0，则A可逆且A= A-2E 2E-A -(A-2E) (A-2E) 2-113133. 线性方程组íìax-by=1，若a¹b，则方程组 îbx+ay=0无解 有唯一解 有无穷多解 需讨论多种情况 4. 若a1，a2，a100可由b1，b2，b10线性表出，则a1，a2，a100是 线性相关 (B) 线性无关 (C) 只有一部分组线性相关 (D) 不能确定 5. n阶方阵A 具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 充要条件充分不必要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件 本题得分 二、填空题 ìkx+z=0ï1、 若í2x+ky+z=0只有零解，则k应满足 ïkx-2y+z=0î-12、 设A为三阶可逆矩阵，且A=3，则2A= 3. 设A为三阶可逆矩阵，且A=3，则A*()-1= 4. 设m´n矩阵A的秩R(A)=r, 则n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩为 . 5. 设三维向量组a1,a2,a3线性无关, 则向量组a1-a2,a2-ka3,a3-a1也线性无关的充分必要条件是_. æ124öç÷6. 矩阵A=ç22-1÷对应的二次型是f(x1,x2,x3)= ç4-13÷èø本题得分 三、计算题 31L1113L111. 求n阶行列式Dn=MM. 11L3111L13MM23öæ111öæ1ç÷ç÷-1÷ç-1-24÷. 2. 计算ç11ç1-11÷ç051÷èøèø3. 设A为n阶方阵，A=2，求( 1-1A)-3A*. 2æ033öç÷4. 已知A=ç110÷且AB=A+2B，求B ç-123÷èøì2x1+lx2-x3=1ï5. 设线性方程组：ílx1-x2+x3=2 ï4x+5x-5x=-123î1问l取何值时，方程组有唯一解？无解？无穷多解？并在有无穷多解时求出通解. 四、证明题 本题得分 21. 设n阶矩阵A满足A=A, E为n阶单位阵, 证明R(A)+R(A-E)=n. 本题得分 五、应用题 1. 验证a1=(1,-1,0)T,a2=(2,1,3)T,a3=(3,1,2)T为R3的一个基，并把 b1=(5,0,7)T,b2=(-9,-8,-13)T 用这个基线性表示。 2、求一个正交变换x=Py，使二次型 ¦=5x12+4x1x2+2x22化为标准型 线性代数答案 一 、选择题(每小题 2 分，共 10 分) 1 2 3 4 5 二、填空题 1：k¹z 2：81 3、 4、n-r 392225、k¹1 6、x1+2x2+3x3+4x1x2+8x1x3-2x2x3 三、计算题 11L111131101、解：DC1+C2(n+2)ri-r2(n+2)MM11L13023öæ111öæ1æ058öç÷ç÷ç÷-1÷ç-1-24÷ 解：原式=ç0-56÷ 2、ç11ç1-11÷ç051÷ç290÷èøèøèø*3. 解：A=2,由AA=AE得A=2A *-11L1120=(n+2)2n-1 O0L211(A)-1-3A*=2A-1-3A*=-4A-1=(-4)nA-1=(-4)n 224. 解：B=A æ-233033öæ1ç÷ç(A-2E,A)=ç1-10110÷:ç0ç-121-123÷ç0èøè25、解：A=l00100133öæ033ö÷ç÷-123÷B=ç-123÷ ç110÷110÷øèø0l-15-11=(5l+4)(l-1) -544当l¹1,l¹-时唯一解 5当læç24ç=-时4-5(A,b)=çç5ç4ççè-45-15öæ-11÷ç2÷ç612÷:ç+÷ç5÷ç-5-1÷ç÷ç0øè-459-50ö-11÷÷无解 03÷÷÷9÷0÷5øæ1ç当l=1时(A,b):ç0ç0è0100-10+1öæx1öæ1öæ0öç÷ç÷÷ç÷-1÷有无穷多解，通解为çx2÷=ç-1÷+Cç1÷ ç1÷çx÷ç0÷0÷øèøè3øèø四、证明题 证明: A2=AÞA(A-E)=0ÞíìR(A)+R(A-E)£nîA+(E-A)=EÞR(A)+R(E-A)³nÞR(A)+R(A-E)=n. 五、应用题 1. 解：证A=(a1,a2,a3)B=(b1,b2)，对(A,B)施行初等行变换。若A能变E则AB，在即a1,a2,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为A-1B，就可求得b1,b2 a1,a2,a3下的坐标。 æ1235-9öæ10023öç÷ç÷(A,B)=ç-1110-8÷:ç0103-3÷ ç0327-13÷ç001-1-2÷èøèøA:E,a1,a2,a3为R3,的一个基。 且b1=2x1+2x2-x32. 解：对应的矩阵为 b2=3x1-3x2-2x3 æ520öç÷A=ç220÷，lE-A=l(l-1)(l-6) ç000÷èø特征值为l1=1,l2=6,l3=0， æ1öæ2öæ0ö÷ç÷ç÷，a1,a2,a3,两两正交， a1=ç-2,a=1,a=23ç÷ç÷ç0÷ç0÷ç0÷ç1÷èøèøèøæ1ç5正交矩阵为ç2çc=ç-5çç0çè25150ö0÷÷，标准型为÷0÷÷1÷÷ø2 f=y12+6y2