《第章玻色统计和费米系统》小结.docx

第章 玻色统计和费米系统小结第八章 玻色统计和费米系统小结 本章概述 本章讨论玻色和费米系统的热力学性质。当经典极限条件不满足时，这些系统必须由玻色统计或费米统计来处理。我们首先引入玻色系统和费米体统的配分函数的概念，由此分别得到玻色和费米系统的热力学函数。并通过近似计算，讨论弱简并情况下的理想玻色气体和费米气体的性质；用统计物理学的思想讨论了光子气体的性质；通过对玻色积分的讨论，研究了玻色 - 爱因斯坦凝聚现象；作为费米气体的典型例子讨论了金属中的电子气的性质。 1、巨配分函数 玻色统计的巨配分函数 X=ÕXl=Õ1-e-a-bell-wl 费米统计的巨配分函数 X=ÕXl=Õ1+e-a-bellwl2、平均总粒子数 Qal=wlea+bel-1=-¶lnXl ¶aN=åal=-ållö¶¶¶æ¶lnXl=-lnXl=-lnçX=-lnX ÷åÕl÷ç¶a¶al¶aèl¶aø-¶¶lnXllnXl¶a¶a因而有：al=N=N¶¶-lnXlnX¶a¶a这就是X=ÕXl=Õ1±e-a-bell±wl被称为巨配分函数的原因。 其中 '对应与玻色系统， + '对应与费米系统 3、热力学函数 内能U=-¶lnX ¶b 广义力Y=-1¶lnX b¶y 熵é¶lnX¶lnXù S=kêlnX-b-aú¶b¶aûë一、弱简并理想玻色气体和费米气体 1 弱简并条件ea>>1或nl3<<1 2 弱简并理想玻色气体和费米气体的平均总粒子数和能量 1-aùæ2pmkTö2-aéN=gçVe1meú ÷ê23èhøë22û3U=31-aùéNkTê1±eú 2ë42û 取e-a的零级近似，即为玻耳兹曼分布的结果。 e-a=NZ1,而Z1=g1Væ2pmö-beç÷Ledxdydzdpdpdp=gxyz÷bh3òòh3çèø23232所以e-aöN1æhç÷=×çVgè2pmkT÷ø可得 U=é3113ùNkTê1±nlú 2ë42gû 其中 '对应与玻色系统， + '对应与费米系统 二、强简并玻色系统，玻色 爱因斯坦凝聚现象 对于强简并的玻色气体，存在临界温度TC ，时在T<TC时就有宏观量级的粒子在能级 e=0凝聚 ，这一现象称为玻色 =0上的粒子的集合 爱因斯坦凝聚。TC 称为凝聚温度。e称为玻色凝聚体。对于凝聚体e三、光子气体的统计规律 1 普朗克公式 在ww+dw频率范围内的能量为 Vhw3U(w,T)dw=hwdN=23hwdw pCekT-1=0，P=0，e=0，压强P=0。 2 空窖辐射的内能 3 光子气体的辐射通量密度为 U=p2k415C3h4VT 3Ju=p2k460Ch23T4 四、金属中的自由电子气及费米能 金属中的价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成公有电子；失去作电子后的原子成为离在空间形成规则的点阵；在初步的近似中，人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立子,因为电子是费米子，所以称为费米气体。 1、 绝对零度的费米能级 在T=0时，化学势m=m(0)也叫费米能级。 分布函数f=e1e-mkT+1它具有如下特征： 是电子的最大能量， ì1e<m(0) f=í()0e>m0î m(0)hæ2Nöh2eF=m(0)=3p2nç3p÷=2mèVø2m223() 23 2、接近绝对零度的分布与化学势 当T>0但接近绝对零度时 a 由f=e1e-mkT+1 可知，fìï>ïïí=ïï<ïî1e<m21e=m 21e>m2=0 但只在m附近数量级kT范围内，电子的分布与T时有差异。 ép2m=m(0)ê1+8êëækTöççm(0)÷÷èø2ùúúû-23ép2ækTö2ùç÷»m(0)ê1-ú ç÷()ûêë12èm0øú