《空间几何体的表面积与体积》教案.docx

空间几何体的表面积与体积教案空间几何体的表面积与体积 适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。 适用年级 高二 课时时长 60 考情分析 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 柱、锥、台和球的侧面积和体积 圆柱 面 积 S侧2rh 体 积 VShr2h 111V3Sh3r2h3r2l2r2 圆台 S侧(r1r2)l S侧Ch 1S侧2Ch来源:Z。xx。k.Com圆锥 S侧rl 11V3(S上S下S上S下)h32(r21r2r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 VSh 1V3Sh 1V3(S上S下S上S下)h 4V3R3 1S侧2(CC)h S球面4R2 1 / 13 考点/易错点2 几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和 三、例题精析 右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( ) A. 203 B. 243 C. 204 D. 244 A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几1何体的表面积为4×52×2×2203. 某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，侧(左)视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( ) 20A. 3 C. 6 A 2 / 13 4B. 3 D. 4 由三视图得几何体的直观图如图所示， 其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥， 120故V233×22×13. 如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示 (1)求证：BC平面ACD； (2)求几何体DABC的体积 (1) 在图中，可得ACBC22， 从而AC2BC2AB2，故ACBC， 取AC的中点O，连接DO， 则DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，从而DO平面ABC，DOBC， 又ACBC，ACDOO，BC平面ACD. (2) 由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC22，SACD2，VBACD 3 / 13 1142S·BC×2×223ACD33， 42由等体积性可知，几何体DABC的体积为3. 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积来源:Zxxk.Com(1)直观图如图所示 (2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以3A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的4， 在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E， 则四边形AA1EB是正方形， AA1BE1， 在RtBEB1中，BE1，EB11， BB12， 4 / 13 几何体的表面积 SS正方形ABCDS矩形A1B1C1D12S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形AA1D1D 112×12×2×(12)×11×2172(m2) 33几何体的体积V4×1×2×12(m3)， 3该几何体的表面积为(72) m2，体积为2 m3. 四、课堂运用 1棱长为2的正四面体的表面积是( ) A.3 B4 C43 D16 13解析 每个面的面积为：×2×2×3.正四面体的表面积为：43. 22答案 C 2如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A.142284280140 B. C. D. 3333解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 5 / 13 VV长方体V正三棱锥4×4×6×ç×2×2÷×2答案 B 13æ1è2öø284. 33已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( ) 3A24 B24 23C24 D24 2解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V2×3×413××12×324. 22答案 A 1已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB3，ASCBSC30°，则棱锥S-ABC的体积为( ) A33 B23 C.3 D1 解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和3C-ABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBDx，又因为SC为直径，3所以SBCSAC90°，所以DCBDCA60°，在BDC中 ，BD3(43x)，所以x3(4x)，所以x3，ADBD3，所以三角形ABD为正三3 6 / 13 1角形，所以VSABD×43. 3答案 C 2一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2r·2r4r2，设球的半径是R，则球的表面积是4R2，根据已知4R24r2，4所以Rr.所以圆柱的体积是r2·2r2r3，球的体积是r3，所以圆柱的32r3体积和球的体积的比是32. 4r33答案 32 3如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_ 解析 由球的半径为R，可知球的表面积为4R2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则hrR.而圆柱的侧面积为2r·2h4rh4222r2h222R2(当且仅当rh时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2R2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2R2. 答案 2R2 1 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的表面积S. 7 / 13 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3， 所以V1×1×33. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1， 所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S2×(1×11×31×2)623. 2已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S. 解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥， 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示 11(1)几何体的体积为：V·S矩形·h×6×8×464. 33(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h142325.左、右侧面的底边上的高为：h2424242. 故几何体的侧面面积为： S2×ç×8×5×6×42÷40242. æ1è212öø课程小结 1.(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 8 / 13 球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图 (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 课后作业 1把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( ) 3A2倍 B22倍 C.2倍 D.2倍 4解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积VR3，知体积扩3大到原来的22倍 答案 B 2某几何体的三视图如下，则它的体积是( ) 2A8 3C82 B8 32 D. 3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半12径为1，高为2的圆锥，所以V23××28. 33答案 A 3某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( ) 9 / 13 ööææA.ç95÷ cm2 B.ç94÷ cm2 2ø2øèèööææC.ç94÷ cm2 D.ç95÷ cm2 2ø2øèè解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为2×3×312×130；中间部分的441表面积为2××1，下面部分的表面积为2×4×416×264.244故其表面积是94. 2答案 C 1三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_ 113解析 依题意有，三棱锥PABC的体积VSABC·|PA|××22×33. 334答案 3 2如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_ 10 / 13 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为3，22122连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V×1×1×. 2326答案 2 63如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为5212213 (cm) 答案 13 1某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图 (1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积 11 / 13 解析 (1)侧视图同正视图，如图所示： (2)该安全标识墩的体积为 VVPEFGHVABCDEFGH 1×402×60402×20 364 000(cm3) 2四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积 解析 (1)如图，在四面体ABCD中，设ABBC CDACBDa，ADx，取AD的中点为P， BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC， VA-BCDVA-BPCVD-BPC 11·SBPC·APSBPC·PD 331·SBPC·AD 311··a 32a·x 442x2a2a12a2x2x2 3a2136·a(当且仅当xa时取等号) 12282a1该四面体的体积的最大值为a3. 8(2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为3216a2××a× 4226a， 2æ6ö2a÷ 4èøS表2×a2ç32610a3215a2aa×a 22424 12 / 13 23152a. 4 13 / 13