《空间几何体的结构三视图和直观图》教案.docx

空间几何体的结构三视图和直观图教案空间几何体的结构、三视图和直观图 适用学科 适用区域 数学 新课标 适用年级 高二 课时时长 60 柱、锥、台、球的结构特征 知 识 点 简单组合体的结构特征 三视图 直观图 1.柱、锥、台、球及简单几何体的直观图、三视图是考查的热点。主要考查由几何体判断三视图，以及由三视图还原几何体，多与面积、体积的计算相结合，重在考查空间几何体的认识及空间想象能力 2.高考中多以选择题、填空题为主，有时也在解答题中涉及三视图问题 考情分析 教学重点 教学难点 柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质 柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质 教学过程 一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 空间几何体的结构特征 多 面 体 棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形. 棱锥的底面是任意多形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是平行且相似的多边形. 圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到. 圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到. 圆台可以由直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. 球可以由半圆或圆绕直径旋转得到. 旋 转 体 考点/易错点2 三视图与直观图 三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等. 空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是： 1 / 11 画几何体的底面 在已知图形在取互相垂直的x轴、y轴，两直观图 轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x¢轴、y¢轴，两轴相交于点O¢，且使x¢oy¢=450(或1350),已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. 画几何体的高 在已知图形中过点O作z轴垂直于平面xOy，在直观图中对应的z¢轴、也垂直于平面x¢O¢y¢，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z¢轴且长度不变. 三、例题精析 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( ) A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 B 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题选B. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( ) 2 / 11 D来源:Z#xx#k.Com由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D. 已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为( ) 3366A.4a2 B.8a2 C.8a2 D.16a2 D 如图所示的实际图形和直观图 13由斜二测画法可知，ABABa，OC2OC4a， 在图中作CDAB于D， 26则CD2OC8a. 1166SABC2AB·CD2×a×8a16a2. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何 3 / 11 体中的_(填入所有可能的几何体前的编号) 三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱 三棱锥的正视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形； 当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形 四、课堂运用 1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( ) A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等的正方形 C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆 答案 A 2. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( ) A B C D 解析 由几何体分析知中正视图和侧视图相同 答案 ：D 3将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( ) 4 / 11 解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合 答案 D 1. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 解析 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B. 答案 B 2一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_ 解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几 何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为. 5 / 11 答案 3如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_ 解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是 正方体切割后的一部分(四棱锥C1- ABCD)，还原 在正方体中，如图所示多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长 AB2知最长棱AC1的长为23. 答案 23 构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决 1正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？ 解析 如图所示，正四棱锥S-ABCD中， 高OS3，侧棱SASBSCSD7， 在RtSOA中， OASA2OS22，AC4. ABBCCDDA22. 作OEAB于E，则E为AB中点 连接SE，则SE即为斜高， 1在RtSOE中，OE2BC2，SO3， 6 / 11 SE5，即侧面上的斜高为5. 2. 已知，如图一个空间几何体的三视图 (1)该空间几何体是如何构成的？ (2)画出该几何体的直观图； (3)求该几何体的表面积和体积 解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥 (2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图 (3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCDABCD与正四棱锥 PABCD构成的简单几何体 由图易得：ABAD2，AA1，PO1，取AB中点Q，连接PQ， 从而PQPO2OQ212122，所以该几何体表面积 1S2(ABBCCDDA)PQ(ABBCCDDA)AAAB·AD4212. 116体积V2×2×13×2×2×13. 课程小结 1.三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法 7 / 11 2(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 课后作业 1. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是 (0,2) (0,3) (1,2)(1,3) 答案 A 2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( ) 2222A.4a2 B22a2 C.2a2 D.3a2 解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形2的面积S与它的直观图的面积S之间的关系是S4S，本题中直观图的面积为a2a，所以原平面四边形的面积等于22a2.故选B. 242答案 B 8 / 11 13如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为2，则该几何体的俯视图可能是( ) 解析 当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；1当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为2，高为1的圆柱，体积为4；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三1角形，高为1，体积为2. 答案 C 1利用斜二测画法得到的： 三角形的直观图一定是三角形； 正方形的直观图一定是菱形； 等腰梯形的直观图可以是平行四边形； 菱形的直观图一定是菱形 以上结论正确的个数是_ 解析 由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误 答案 1 2. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为_，最小值为_ 9 / 11 解析 由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9. 答案 14 9 3如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为_ 解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h3.由于三视图中“宽相等”，那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为133，则该几何体的侧视图的面积为S2×3×32. 3答案 2 1如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm) (1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 10 / 11 解析 (1)如图 (2)所求多面体的体积 1æ1ö2×2÷×ç2×VV长方体V正三棱锥4×4×63×2 èø2843(cm3) 2一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长 解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm， 22x40x2则OC2x，3040， 解得x120(322)， 正方体的棱长为120(322) cm. 11 / 11