《概率论与数理统计》期末试.docx
概率论与数理统计期末试广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 概率论与数理统计期末试题与解答 一、填空题 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8，则A,B至少发生一个的概率为_. 设X服从泊松分布，若EX2=6，则P(X>1)=_. ì1(x+1),0<x<2, 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ï 今对4íï,其他.î0X进行8次独立观测，以Y表示观测值大于1的观测次数，则DY=_. 元件的寿命服从参数为1的指数分布，由5个这种元件串联而100组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_. 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(m,s2)，今随机地测量16个零件，得åXi=8，åXi2=34. 在置信度0.95下，i=1i=11616m的置信区间为_. (t0.05(15)=1.7531,t0.025(15)=2.1315) 解：0.8=P(B|A)=P(BA)P(B)-P(AB) 得 P(AB)=0.2 =1-P(A)0.5 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1-0.2=0.9. XP(l),6=EX2=DX+(EX)2=l+l2 故 l=2. P(X>1)=1-P(X£1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-e-2-2e-2=1-3e-2. YB(8,p)，其中p=P(X>1)=ò1(x+1)dx= DY=8´´=538815. 81),i=1,2,3,4,5. 系统10021458 设第i件元件的寿命为Xi，则XiE(的寿命为Y，所求概率为 P(Y>100)=P(X1>100,X2>100,L,X5>100) =P(X1>100)5=1-1+e-15=e-5. m的置信度1-a下的置信区间为 (X-ta/2(n-1)SS,X+ta/2(n-1) nnCAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 1162 X=0.5,S=åXi-16X2=2,S=1.4142,n=16 15i=1 t0.025(15)=2.1315. 2所以m的置信区间为. 二、单项选择题 中，每小题3分，共15分） A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是 (A-B)UB=AUB. (AUB)-A=B. (AUB)-AB=ABUAB. . (AUB)C=(A-C)U(B-C) 设X1,X2是随机变量，其分布函数分别为F1(x),F2(x)，为使 在下列给定的各组F(x)=aF1(x)+bF2(x)是某一随机变量的分布函数，数值 中应取 2253131 a=-,b=. a=,b=222 a=,b=-. a=,b=. 35233. 2设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y=3-5X的分布函数为FY(y)= FX(5y-3). 5FX(y)-3. FX( 1设随机变量X1,X2的概率分布为 1 i=1,2. P4 且满足P(X1X2=0)=1，则X1,X2的相关系数为rXX= 12y+33-y). 1-FX. 55Xi-10114212 0. . . -1. 设随机变量XU0,6,YB(12,比 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 141)且X,Y相互独立，根据切4广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 雪夫不等式有P(X-3<Y<X+3) 55. ³0.75. ³. 1212 解：成立，：(AUB)-A=B-A¹B 应选 £0.25. £ F(+¥)=1=a+b. 应选 FY(y)=P(Y£y)=P(3-5X£y)=P(X>(3-y)/5) =1-P(3-y3-y³X)=1-FX 应选55 (X1,X2)的分布为 X2 0 1 1 X1 1 0 1 0 1 41 41 41 21 40 1 40 1 41 20 1 40 1 4 EX1=0,EX2=0,EX1X2=0，所以cov(X1,X2)=0， 于是 rXX=0. 应12选 P(X-3<Y<X+3)=P(|Y-X|<3) E(Y-X)=EY-EX=0 D(Y-X)=DY+DX=3+= 由切比雪夫不等式 215 P(|Y-X|<3)³1-4= 应选 9129421 4 三、在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为l的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 解：设B=一天中恰有k个顾客购买A种商品 k=0,1,L Cn=一天中有n个顾客进入超市 n=k,k+1,L 则 P(B)=åP(CnB)=åP(Cn)P(B|Cn) n=kn=k¥¥ =ån=k¥lnn!(pl)k-l¥ln-k =eå(1-p)n-k k!n=k(n-k)!(lp)k-lpe k=0,1,L. =k!kke-lCnp(1-p)n-k 四、设考生的外语成绩X服从正态分布，平均成绩为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求Y的分布列. EY和DY. (F(2)=0.977,F(1)=0.8413) 解：YB(100,p)，其中p=P(60<X£84)=F( -F(60-7284-72s) s12)=2F-1 s 由 0.023=P(X>96)=1-F( 得 F(2496-72s)=1-F(1224s) s)=0.977，即24s=2，故s=1 所以 p=2F(1)-1=0.6826. k 故Y的分布列为P(Y=k)=C100(0.6826)k(0.3174)100-k EY=100´0.6826=68.26，DY=68.26´0.3174=21.6657. 五、设(X,Y)在由直线x=1,x=e2,y=0及曲线y=所围成的区域 上服从均匀分布， 求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立. 求P(X+Y³2). 解：区域D的面积 SD=ò1e21x1e2dx=lnx1=2 xy CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 y=1广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 (X,Y)的概率密度为 ì1,(x,y)ÎD, f(x,y)=ï í2ïî0,其它. fX(x)=ò-¥+¥ì11ïò0xdy,f(x,y)dy=í2ï0,î1£x£e2,其它.ì1, =ï2xíïî0,ìe21ïò12dx,ï11ïf(x,y)dx=íò1ydx,2ïïï0,î1£x£e2,其它.1£y£e-2,e-2<y£1, fY(y)=ò-¥+¥其它1£y£e-2e-2<y£1 ì12ï2(e-1),ïï1-1, =í2y2ïïïî0,其它 因f(x,y)¹fX(x)×fY(y)，所以X,Y不独立. P(X+Y³2)=1-P(X+Y<2)=1-112214x+y<2òòf(x,y)dxdy =1-´=1-=0.75. 六、二维随机变量(X,Y)在以(-1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。 解134： (X,Y)的概率密度为y (y,Î)Dì1,xf(x,y=)í 0,其它.îD1 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 1 0 x+y=z1 x 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 设Z的概率密度为fZ(z)，则 fZ(z)=ò f(z-y,y)=ïíì1,0£y£1,2y-1<z<1ïî0,其它+¥-¥f(z-y,y)dy 当 z<-1或z>1时fZ(z)=0 z-1<z£1 当 时1 fZ(z)=òz+120dy=0 z+1 2 所以Z的密度为 ìz+1,|z|<1,ï fZ(z)=í2 ïî0,其它. 解2：分布函数法，设Z的分布函数为FZ(z)，则 1 y FZ(z)=P(Z£z)=P(X+Y£z)=x+y£zòòf(x,y)dxdy ìz£-1,ì0,z£-1ï0,ïïï(z+1)2 =íòòdxdy,-1<z<1=í,-1<z<1, ïD1ï41,z³1.ï1,ïîz³1î 故Z的密度为 ìz+1, fZ(z)=FZ¢(z)=ïí2ïî0,|z|<1,其它.七、已知分子运动的速度X具有概率密度 x2)ì4x2-(ae,x>0,a>0,ï3f(x)=íap x1,x2,L,xn为X的简单随 ï0,x£0.î机样本 求未知参数a的矩估计和极大似然估计； 验证所求得的矩估计是否为a的无偏估计。 解：先求矩估计 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 m1=EX=ò0 =-2x2+¥4x3aea3pex-2adx x-2+¥x-20ap+4apò+¥0xeadx=2apµ= ap2X 再求极大似然估计 L(X1,L,Xn;a)=Õi=1n4xi2a3pe-(xia)2-x22åiai=1 =a-3np4n(x1Lxn)2×e lnL=-3nlna+ln(p4)+ln(x1Lxn)-n2-n2n-21n1a2åxi=1n2ialnL3n2n2 =-+3åxiµ0 daaai=12åxi2i=1nµ= 得a的极大似然估计 a3n， 对矩估计 µ= Eap2EX=p2a×=a 2pp 所以矩估计 a=X是a的无偏估计. 2八、一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直 线上，相邻两台机床的距离为a。假设每台机床发生故障的概率均为 1，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的n机床所走 的路程，求EZ. 解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,L,n X为已经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，则 P(X=i)=,P(Y=j)=,i,j=1,2,L,n 1n1nCAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)= Z=|i-j|a 于是 EZ=åå|i-j|aP(X=i,Y=j) nn1 n2CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 i=1j=1nn=åå|i-j|a×1i=1j=1n2 anéin=ùn2åêå(i-j)+1jå(j-i)ú i=1ëj=i+1û=(n2-1)3na.
