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数学分析中极限问题的浅析齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 数学分析中极限问题的浅析 极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。 完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。 下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。 一 求数列极限 利用迫敛性定理求极限 首先说明迫敛性定理求极限，这是一种简单而常用的方法。 lim na=1例1、证明 n ® ¥ (a > 0) lim n n®¥n=1 证明： 当a = 1时，等式显然成立。 当a >1时，令 n a = 1 +hn (hn > 0) n(n-1)2nhn+L+hn>nhn则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 2 a 故0 < hn < 由迫敛性定理 n1lim n®¥hn = 0 lim na=lim 即： n ® ¥ n ® ¥ (1 + hn) = 1 当 0 < a < 1时： 1 1 n lim lim=n®¥a=n®¥1 lim n1na n®¥a- 1 - = 1 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 设 nn=1+hn其中hn > 0 n ³2则 n = (1 + hn)n = 1 + nhn + > n(n-1)2hn2n(n-1)2nhn+L+hn22(n³2)即： 0 < hn < n-1lim 从而： n lim ® ¥ n n = n®¥(1 + hn) = 1 12nlim 例：求极限 æ lnçel+el+L+ell®0+ç è由迫敛性定理得 n lim hn = 0 ®¥l×ö÷÷ønn1n解：当l>0时：el<el+L+el£nelnlæ1n 即：e £çel+L+elö÷£nlen令 l®0+÷ç øè 由迫敛性定理可得： 2nllim æ1ö nll÷le+e+L+e=en®0+çç÷ èø从而：由连续函数定义知： n 1ælllim n ® 0 + llnççe+L+eè 2ö÷=n÷ø极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式，现叙述如下： 设数列an，若存在e0>0，对任意自然数N0，$N1>N0，而aN1-a³e0。则an不以a为极限。单调有界原理求极限 单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。 - 2 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 例：单调数列 xn收敛于a的充要条件是存在子列 x n 使得 k证：不妨设设 x n 是单调递增数列，必要性显然。 a(k®¥) 充分性：若 Xnk则： 对任意的 e>0 ，存在k0 ，当k k0 时： 1Xnk a1 = a Xnk < limxnk=ak®¥e当n nk时：有 xn-a=a-xn£a-xnk<e此即为： xn®a(n®¥)pæppö例：设 x0Îç-,÷xn=sinxn-12è22øn=1.2.L求证 nx 证：当x0 = 0时 显然xn= 0 (n =1. 2.) 故： lim xn = 0 n®¥ ppsinxp2px=sinx=×x׳×x×=x0()当：xÎ0,时, 1000022x02p2 psinx2ö æ当xÎ(0,时，容易证明³ç÷o2xpø è sinx1ppx=sinx³×x׳x1211 22x1 sinxn-1ppx=sinx³×x׳xn-1nn-1n-1 22xn-1 故可得： x0£x1£x2£L£xn£L 故 xn 是单调有上界的函数，从而收敛。 - 3 - 收敛，并求 nlim®¥xn 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 记 a= lim xn a=psinan®¥2ppp由于 0 < x0£a£a=对满足等式a=sina222 又由于方程 x-psinx=0有唯一解2 pa=所以 2当 xn=从而 nlim®¥2p xn=-x0Î(-,0)时，同理可得nlim®¥22pp例：设a > 0, xn(n=1、2、)为由以下各式： 1ax0 > 0, xn+1=(xn+)(n =0、1、2，) 2xn所确定的数列，求证 lim x=ann®¥证：由假设x0 > 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得： 1aaxn+1=(xn+)³xn×=a2xnxn 将 xn+11a=(1+)£1又2 Qxn2xn 即：xn+1£xn由单调有界原理，则： lim xn=en®¥1a(xn+)取极限得：2xnxn+1=e=(e+).2e lim n®¥1a从而：e=axn=a- 4 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。 柯西收敛准则求极限 下面举例说明柯西收敛准则的应用。 4例：设xn+2-xn+1£1xn+1-xn2n³1 证明数列 xn 是收敛的。 证明： 令：bn=xn+1-xn.于是 1 0 £bn+1£bn 21 bn+1£nb1 可归纳得到： 2 (n®¥)故：b®0n对任意的m > n , 有xm-xn=å(xi+1-xi)i=nm-1m-1 11xm-xn£åbi£bn(1+L+m-n-1)<2bn®0(n®¥)22i=n故： xn 是柯西数列，从而它是收敛的。 111+L+的敛散性。lg2lg3lgn例：判断数列 an= 解：设 m > n, am-an=1111+L+³(m-n)=lg10m-n×lg(n+1)lgmlgmlgm对 e0=1,对任意的自然数N,取：n0=N+1,m0=2(N+1)2- 5 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 这时：10m-n = 10n+1 > 2(N+1) 1所以：am-an³lg2(N+1)×=1<e lg2(N+1)由柯西收敛准则，知数列 an 发散。 柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。 柯西收敛准则否定形式： 存在 e 有正整数mN, nN0>0,对任意正整数N,存在，尽管mN, nN > N , 但 x - x³ emNnN0 定积分求极限 由于定积分是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。 例：求 1 n 2 - 1 + n 2 - 22+L+n2-(n-1)2lim2n®¥n 1é12n-12ù解：原式=limê1-2+1-2+L+1-ú nnnn®¥nëû 1ni2= limnå1-(n)5n®¥i=1=ò011-x2dx=p4例：设Bn=1n4(n+1)(n+2)L(n+n)求证：limBn=n®¥ne1é12nùln(1+)+ln(1+)+L+ln(1+)ún®¥nênnnûë证明：limlnBn=limn®¥=ò0ln(1+x)dx=ln 14e从而：limBn=n®¥4e1ùé11例：limê1-+L+(-1)n-1×ún®¥nûë23解：S2n=1-111+-L-232n11111=(1+L+)-(+L+)32n-1242n- 6 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 11111=(1+L+)-2(+L+) 22n1212n14=+L+ n+1n+2n+n æöç 1ç111÷÷=+L+ 12nnç÷1+1+1+ç÷ nnnøè 1最后一式是f=1 (x ) 1 + x 在 0 ， 区间上的积分和， 。 1 故： limS2nò01dx=ln2n®¥1+x1又：limS2n-1=lim=ln2 n®¥n®¥2n1ùé11 因此：limê1-+L+(-1)n-1×ú=ln2n®¥nû ë23在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积分原型，并发现其积分区间，恰当的转化，可使问题简化。 施笃兹定理求极限 ¥ o x 在确定或的待定式的极限时，我们还经常要用到施笃兹 ¥oyn定理，下面给出定理和它的两个难论： 定理： 设 x和y是两个实数例，若满足条件：nn1)存在N0为自然数，当n > N0时，yn+1 > y 递增 62)limyn=+¥n®¥ - 7 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 xn-xn-1xn则：lim=limn®¥yn®¥y-ynnn-1xn-xn-13)lim存在n®¥y-ynn-1推论1：设liman=a(有限或无穷) n®¥. a+a2+L+an则：lim1=a n®¥n推论2：若xn>0且limxn存在(有限或+¥)n®¥则：limnx1x2Lxn=limxnn®¥n®¥例：求极限：lim1æ11öç1+L+÷n®¥ln2nønè解：由stolz定理： 1n+1原式=limn®¥l(n+1)-lnnn=lim=1n®¥1ln(1+)n+1n1lne=1例：求极限：limnn®¥nn!nn解：由施笃兹定理推论2，若令xn=>0n!知：limnx1x2Lxn=limxnn®¥n®¥从而 nn1limnxn=lim×n®¥n®¥(n-1)n-1næ1ö=limç1+÷n®¥ènøn-1=e- 8 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 即：limnnn!例：limnn=1n®¥n®¥=e 在本文前已经证明过了limnn=1。在这里，使用stolz定理来计算：n®¥证明:令：xn=nn-1limxn=1n®¥n由推论2：知：limnx1×x2Lxn=limn=1n®¥n®¥二、求函数极限 在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来看一下函数极限与数列极限的联系。 一般函数的极限可以归结为数列的极限。 罗毕塔法则求极限 若当x®x0(x®¥)时，两个函数f(x)、g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大f(x)f(x)(或者lim)可能存在、可能不存在。通常把这种极限叫x®x0g(x)x®¥g(x) 0¥8做未定式，并分别记做或。可利用罗毕塔法则求极限。 0¥1-cosx 例：求极限limx®0x2 0解：这是当x®0时的“”未定式，用罗毕塔法则，得 0 1-cosxsinx1 lim=lim=x®0x®02x2x2 lnsinmx例：求lim(m、n均达于零)。 x®0+lnsinnx则极限lim¥解：因为limlnsinmx=limlnsinnx=-¥，所以以上极限为：“”未定式x®0+x®0+¥ 用罗毕塔法则，得：lim+x®0lnsinmxmcosmxsinnxmsinnx =lim=limlnsinnxx®0+ncosnxsinmxnx®0+sinmx- 9 - 齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 mncosnx=lim=1nx®0+mcosmx 利用两个重要极限求极限 在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利用两个重要极限，进行计算： 例：lim(x+2)ln(x+2)-2(x+1)ln(x+1)+xlnx x®+¥解：原式=limln(x+2)x+2-2ln(x+1)x+1+xlnx x®+¥=limln(x+2)x+2-ln(x+1)x+1-ln(x+1)x+1+xlnxx®+¥é(x+2)x+2(x+1)x+1ù=limêln-lnúx+1x®+¥xxûë(x+1)1x+11éù=limêln(1+)+ln(x+2)-ln(1+)x-ln(x+1)úx®+¥x+1xëû1x+11x+2ùé=limêln(1+)-ln(1+)2+lnx®+¥x+1xx+1úëû=lne-lne+ln1=0 求分段函数的极限 对于分段函数9的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。 ì3x+2x£0ï ï2例：f(x)=íx+10<x£1 ï2 x>1ïîx 分别讨论x®0及x®1时f(x)的极限是否存在 解：因为当x®0时有limf(x)=lim(3x+2)=2 x®0-x®0-x®02limf(x)=lim(x+1)=1+x®0所以，limf(x)=2¹1=limf(x)+- 10 - -x®0x®0从而：limf(x)不存在。x®02limf(x)=lim(x+1)=2-当x®1时：x®1x®1齐齐哈尔大学成人高等教育毕业设计用纸 limf(x)=lim+x®1x®12=2=limf(x)-x®0x所以，limf(x)2x®1在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T为正常数，若函数 g(x)，f(x)、xÎa，+¥) 满足： xÎa，+¥) (1) g(x+T)>g(x) +¥)的任意子区间上有界。 (2) limg(x)=+¥，f(x)、g(x)在a，n®+¥(3)limn®¥f(x+T)-f(x)=lg(x+T)-g(x)则：limn®¥f(x)=lg(x)求极限在数学中是一重要问题和研究工具。其在几何学和生活中都有重要应用。本文在确定了论题之后，围绕着论题作了大量细致深入的调研，对极限中的数列极限和函数极限进行了深入的研究，综合的讨论了求极限问题的方法。 附录1 下面一个定理通常称为海因定理，它把函数的极限与数列的极限沟通起来。因此也叫归并原则。 7¨定理：limf(x)存在且等于A的充要条件是：对于任何数列xn只要xn¹x0n®x0¨和limxn=x0、相应的函数值数列f(x1)，f(x2)L，f(xn)都有limf(xn)=An®¥n®¥ - 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