《导数及其应用》知识点总结.docx
导数及其应用知识点总结导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：f(x2)-f(x1)。 x2-x1 2. 导数的定义：设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0Î(a,b)，若Dx无限趋近于0时，比值Dyf(x0+Dx)-f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在x=x0处可导，=DxDx并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f¢(x0)。函数f(x)在x=x0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：求函数的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；求平均变化率：f(x0+Dx)-f(x0)f(x0+Dx)-f(x0)；取极限，当Dx无限趋近与0时，无限趋DxDx近与一个常数A，则f¢(x0)=A. 4. 导数的几何意义： 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： 求出y=f(x)在x0处的导数，即为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率； 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=f¢(x0)(x-x0)。 当点P(x0,y0)不在y=f(x)上时，求经过点P的y=f(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x0。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V=S¢(t)表示瞬时速度，a=v¢(t)表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： (kx+b)¢=k(k, b为常数)； (x)¢=1； C¢=0(C为常数)； (x2)¢=2x； (1)¢=-12； xx1 (x3)¢=3x2； (x)¢=1； 2x(x)¢=x-1； (logax)¢=1logae=1(a>0,a¹1)； xxlna(lnx)¢=1； x(cosx)¢=-sinx。 (ax)¢=axlna(a>0,a¹1)； (ex)¢=ex； (sinx)¢=cosx； 2. 函数的和、差、积、商的导数： f(x)±g(x)¢=f¢(x)±g¢(x)； Cf(x)¢=Cf¢(x)； f(x)g(x)¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x)； f(x)f¢(x)g(x)-f(x)g¢(x)¢=(g(x)¹0)。 g(x)g2(x) 3. 简单复合函数的导数： ¢=yu¢×ux¢，即yx¢=yu¢×a。 若y=f(u),u=ax+b，则yx三、导数的应用 1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导， 如果恒f¢(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数； 如果恒f¢(x)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数； 如果恒f¢(x)=0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y=f(x)的定义域；求导数f¢(x)； 解不等式f¢(x)>0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f¢(x)<0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题： 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导， (1)如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数,则f¢(x)³0(其中使f¢(x)=0的x值不构成区间)； (2) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数,则f¢(x)£0(其中使f¢(x)=0的x值不构成区间)； (3) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f¢(x)=0恒成立。 2. 求函数的极值： 设函数y=f(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的极小值。 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是： 2 确定函数f(x)的定义域；求导数f¢(x)；求方程f¢(x)=0的全部实根，x1<x2<L<xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f¢(x)和f(x)值的变化情况： x f¢(x) f(x) (-¥,x1) x1 (x1,x2) xn (xn,+¥) 正负 单调性 0 正负 单调性 0 正负 单调性 检查f¢(x)的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值： 如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xÎI，总有f(x)£f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。 求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤： 求f(x)在区间(a,b)上的极值； 将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题： 不等式恒成立问题可考虑值域。 f(x)(xÎA)的值域是a,b时， 不等式f(x)<0恒成立的充要条件是f(x)max<0，即b<0； 不等式f(x)>0恒成立的充要条件是f(x)min>0，即a>0。 f(x)(xÎA)的值域是(a,b)时， 不等式f(x)<0恒成立的充要条件是b£0； 不等式f(x)>0恒成立的充要条件是a³0。 证明不等式f(x)<0可转化为证明f(x)max<0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)<f(x0)£0。 5. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解最大值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。 3
