《对数及对数函数》练习题讲解.docx
对数及对数函数练习题讲解对数及对数函数练习题讲解 知识梳理： 1、对数的定义：如果 a(a>0,a1)的b次幂等于N, 就是a=N，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。 2、指数和对数的关系：ab=Nb logaN=b a3、对数恒等式：loga1=0， logaa=1 ，alogìloga(MN)=logaM+logaNïMï4、运算法则：íloga=logaM-logaNNïnï(nÎR)îlogaM=nlogaMN=N5、换底公式：logab=logcalogcb6、两个较为常用的推论： 1° logab×logba=1 2° logx ambn=nmlogab 7、对数函数定义：函数 y=loga (a>0且a¹1)叫做对数函数；它是指数函数y=ax (a>0且a¹1)的反函数。 8、对数函数图象和性质： a 图象 定义域 值 域 定 点 单调性 a>1 0<a<1 典型例题： 例1、求下列各式中的x (1)log45x=-12 ； (2)logx5=32 ； (3)logx+2(x-2x-2)=0 21 解：(1)x=54-12=54=52323 (2)x2=5，得x=53=25 ìx2-2x-2=1 (3)由对数性质得í解得x=3 îx+2>0,x+2¹1 变式：计算： (1)(logx4)2=9 ； (2)log(x-1)log(2+(x-8x+7)=1 ；23)(2-3) 令 x4=±3，得x=34或x=314 (2)由对数性质得x=8 x=log(2+-1x-1(2-3)=log(2+3)(2-3), (2+3)=(2+3), x=-1） 3)例2：计算计算：log155log1545+(log153)2 23lg8+lg125-lg2-lg5lg10×lg0.1lg5+2lg8+lg51g20+(lg2) 22解：解一：原式 = log155(log153+1)+(log153)=log155+log153(log155+log153) =log155+log153×log1515 =log155+ log153= log1515 解二：原式 = çlogèæ1515ö÷log3ø15(15´3)+(log1523)=(1-log153)(1+log153)+(log153) 2=1-(log153)2+(log153)2=1 8´125)2´5=-2lg(22´52)=-2lg102=-4 2-1lg102lg(原式=2lg5+2lg2+(1-lg2)(1+lg2)+(lg2) =2(lg5+lg2)+1-(lg2)+(lg2)=3 222变式：计算：lg5×lg8000+(lg23)+lg412216+lg0.06 (log43+log83)(log32+log92)-log 解：原式=(log =(log23+2113325223+log233)(log1232+log322)-log542 1224 3254545452log23)(lo3g2+log32)+ =56log23×log32+=+=例3：已知log189=a，18b=5，求log解：由log183645 2，又由18=5，可得 b9=a可知a=log18182=1-log18b=log185，故log3645=loglog18184536=log189+log181851+log2=a+b2-a变式：若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p log23=3pÞlg3=3plg2=3p(1-lg5) 又 log35=lg5lg3=q lg5=qlg3=3pq(1-lg5) (1+3pq)lg5=3pq lg5=例4：比较下列各组数的大小： 3pq1+3pq& (2)p=0.95.1，m=5.10.9，n=log (1)ln0.99与ln0.90.95.1 (3)若1<x<d,a=log2dx,b=logdx,c=logd(log2dx) &，故ln0.99<ln0.9& 解：(1)由y=lnx在(0,+¥)上单调递增，且0<0.99<0.9 (2)log0.95.1<log0.91=0，而0.95.1<0.9=1，5.100.9>5.1=1， 0 n<p<m (3)令loguÎ(0,1) 2 则a=u,b=2u,c=logdx=u，由1<x<d可知0<logdx<1即du，uÎ(0,1)， 在同一坐标系下画出这三个函数的图象， 如图示： 可知b最大，c最小，即c<a<b 变式：比较下列各数大小： (1)log0.30.7与log0.40.3 (2) log0.1 0.60.8,log3.4æ1ö0.7和ç÷è3ø-12 (3) log0.30.1和log0.2 解： log0.30.7<log0.30.3=1 log0.40.3>log0.40.4=1 3 log0.30.7<log0.40.3 æ1ö0.7<0 ç÷è3ø-12-12 (2) 0<log0.60.8<1 log3.4>1 log3.40.7<log0.6æ1ö0.8<ç÷è3ø1log0.1 (3) 解： log0.30.1=1log0.10.3>0 log0.20.1=0.2>0 log0.10.3<log0.10.2 log0.30.1>log0.20.1 例5：求下列函数的定义域、值域： (1)y=(4) y=2-x-12-14 (2) y=log2(x2+2x+5) (3) y=log1(-x2+4x+5) 3loga(-x-x) -x-122解(1)：要使函数有意义，必须：2-14³0 即：-x-1³-2Þ-1£x£1 2 值域：-1£x£1 -1£-x2£0 从而 -2£-x2-1£-1 14-x-12 £2£12 0£2-x-12-14£14 0£y£12(2)x+2x+5对一切实数都恒有x+2x+5³4 函数定义域为R 从而log2(x+2x+5)³log24=2 即函数值域为y³2 (3)函数有意义，必须：-x+4x+5>0Þx-4x-5<0Þ-1<x<5 2 由-1<x<5 在此区间内 (-x+4x+5)max=9 22222 0£-x+4x+5£9 从而 log1(-x+4x+5)³log3222139=-2 即：值域为y³-2 (4)要使函数有意义，必须： -x-x>0 loga(-x2-x)³0 4 由：-1<x<0 由：当a>1时 必须 -x2-x³1 xÎf 当0<a<1时 必须 -x2-x£1 xÎR 综合得 -1<x<0且0<a<1 当-1<x<0时 (-x2-x)max=1a14 0<-x2-x£14 loga(-x2-x)³log变式：求下列函数的定义域 (1) y=log(5x-1)4 y³log1a4 (0<a<1) (7x-2) (2)y=log0.5(3x-2) (3)y=loga(ax-1)(a>0,a¹1) ì5x-1>022ïæ22öæ2ö 解：(1)由í5x-1¹1得x>且x¹ 所求定义域为ç,÷Uç,+¥÷ 75è75øè5øï7x-2>0î(2)由log(3x-2)³0得0<3x-2£1，解得0.52æ2ù<x£1，所求定义域为ç,1 ú3è3û(3)由ax-1>0得ax>1，当a>1时，x>0，当0<a<1时，x<0 所求定义域为当a>1时，xÎ(0,+¥)；当0<a<1时，xÎ(-¥,0) 例6：已知f(x)=log1+xa1-x(1)求f(x)的定义域 (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)0的x的取值范围 解：令1+x1-x>0,得x+1x-1<0， 即(x+1)(x-1)0， 故f(x)的定义域为(-1，1) 又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数 5 2变式：求函数y=log1(x-3x-18)的单调区间，并用单调定义给予证明。 2解：定义域 x2-3x-18>0Þx>6或x<-3 单调区间是(6,+¥) 设x1,x2Î(6,+¥)且x1<x2 则 y1=log212(x1-3x1-18) y2=log1(x2-3x2-18) 2222 (x1-3x1-18)-(x2-3x2-18)=(x2-x1)(x2+x1-3) x2>x1>6 x2-x1>0 x2+x1-3>0 22 x2-3x2-18>x1-3x1-18 又底数0< y2-y1<0 y2<y1 12<1 y在(6,+¥)上是减函数。 6
