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大学物理教程郭振平主编第十章 机械振动和机械波第十章 机械振动和机械波 一、基本知识点 机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动叫做。 胡克定律: 弹簧弹性力F的大小与位移x的大小成正比，而且F的方向与位移方向相反，即 F=-kx 式中，k为弹簧的劲度系数。具有这种性质的力称为线性回复力。 简谐振动的运动学方程: x=Acos(wt+j) 式中A为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值；(wt+j)是决定简谐振动状态的物理量，称为在t时刻振动的相位，单位是弧度(rad)；j为初相位，是t=0时刻的相位；w=k为角频率。 m简谐振动的动力学方程: d2x2 2+wx=0 dt简谐振动的频率：振动物体在单位时间内完整振动的次数，单位是赫兹(Hz)。 简谐振动的周期：振动物体完成一次完整振动所经历的时间，单位是秒(s)。 关系：周期T是频率n的倒数；w=2p简谐振动物体的速度: n=2p/T u=dxp=-wAsin(wt+j)=wAcos(wt+j+) dt2简谐振动物体的加速度: d2xa=2=-w2Acos(wt+j)=-w2x=w2Acos(wt+j+p) dt振幅： u02A=x0+2 w2 初相位： j=arctan-u0 wx0式中，x0为t=0时刻的初始位移，u0为t=0s时刻的初始速度。 旋转矢量法: 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动的方r法。以简谐振动的平衡位置O作为x轴的坐标原点，自O点出发作一矢量A。设t=0 时刻，矢量A与x轴所成的角等于初相位j。若矢量A以角速度w匀速绕O点逆时针旋转，则在任一时刻矢量A末端在x轴上的投影点P相对原点的位移为x=Acos(wt+j)，显然，P在x轴上做简谐振动。如图10-1所示。 rrrMt=tAwwt+jOt=0jxPxx=Acos(wt+j) 图10-1 简谐振动的旋转矢量法 弹簧振子的弹性势能： 11Ep=kx2=mA2w2cos2(wt+j) 22弹簧振子的动能： Ek=系统的总机械能： 11mu2=mA2w2sin2(wt+j) 221mA2w2 2E=Ep+Ek=表明总机械能总量守恒。 两个同方向、同频率简谐振动的合成: 设两个在同一直线上的同频率的简谐振动，以平衡位置为坐标原点，在任一时刻t的位移分别为 x1=A1cos(wt+j1) x2=A2cos(wt+j2) 合振动的位移： x=x1+x2=A1cos(wt+j1)+A2cos(wt+j2) x=Acos(wt+j) 合振动的初相位: tanj=合振动的振幅： A1sinj1+A2sinj2A1cosj1+A2cosj2A=A12+A22+2A1A2cos(j2-j1) 当两个分振动同相时，即j2-j1=2kp,k=0,±1,±2,L，则合振动的振幅有最大值为Amax=A1+A2； 当两个分振动反相时，即j2-j1=(2k+1)p,k=0,±1,±2,L，则合振动的振幅有最小值为Amin=A1-A2； 当两个分振动既不是同相，也不是反相时，合振动的振幅介于最大值Amax=A1+A2与最小值Amin=A1-A2之间，即其取值范围为A1+A2³A³A1-A2。 两个同方向、不同频率简谐振动的合成： 设角频率w1和w2非常接近，振动方程分别为 x1=Acos(w1t+j) 和 x2=Acos(w2t+j) 合振动为 x=x1+x2=Acos(w1t+j)+Acos(w2t+j)=2Acosw2-w12æw+w1ötcosç2t+j÷è2ø拍：合振动振幅时强时弱，周期性缓慢变化的现象。 拍频： n=1=n2-n1 T拍机械波：机械振动在弹性媒质中的传播过程。 横波：质点振动方向与波的传播方向垂直的波。 纵波：振动方向和波的传播方向相互平行的波。 波线：波沿着某一方向传播所画的射线。 波面：在传播过程中任一时刻相位相同的点所组成的面。也叫波阵面或同相面。 波前：波源开始振动后，离波源最远的波面。 球面波：波阵面是球面的波。 平面波：波阵面是平面的波。 波长：波在传播过程中，沿同一波线上相位差为2的两个相邻质点的距离。用表示，单位是m。 波数：在2的长度内含有的完整波的数目，记作k，k=2pl。 周期：波前进一个波长距离所需要的时间，用T来表示，单位是s。波动的周期等于波源振动的周期。 频率：在单位时间内波动所传播的完整波的数目。波的频率等于周期的倒数，用表示，单位是Hz。 波速：振动状态在介质中的传播速度，即某一振动状态在单位时间内传播的距离，用u表示，单位是m/s。 u=在固体中横波的波速为 lT=lv u=G r式中G是固体材料的剪切模量，是固体材料的密度。 纵波在固体中的传播速率为 u=式中Y是固体材料的杨氏模量。 Yr在流体中只能形成和传播纵波，其传播速率可以表示为 u=式中B是流体的体变模量，是介质的密度。 对于理想气体，纵波的波速表示为 Bru=gP rP是气体的压力，是气体的密度，是气体的比热容比。 简谐波：各质点都做简谐振动的媒质中传播的波。 平面简谐波：波阵面是平面的简谐波。 平面简谐波的波函数： éæxöùy=Acosêwçt-÷+jú ëèuøû式中，A为振幅，为角频率，j为初相位，t为波由波源传播到x处的时间，y为媒质中x处质点做简谐振动的位移。 平面简谐波的波函数的等价形式： y=Acoséë(wt-kx)+jùû éætxöùy=Acosê2pç-÷+jú ëèTløûy=Acoséëk(ut-x)+jùû关系： w=沿x轴负方向传播的波函数： 2pl2pw=2pn，u=ln=，k= TTluéæxöùy=Acosêwçt+÷+jú ëèuøû波函数的物理意义： (1) 当确定一个任意给定的质元，其坐标x=x0时，由波函数给出x0处质元的振动方程 wxæöy=Acosçwt-0+j÷ uèø =Acos2çwt-pæèx0ö+j÷ lø=Acos(wt+j') 式中j=j-2p'x0l是x0处质元振动的初相位。 (2) 若是任意给定时间t=t0，由波函数给出波线上各质元位移随他们的平衡位置坐标做余弦式变化 éæxöùy=Acosêwçt0-÷+jú uøëèû体现了波的空间周期性。 (3) 如果x和t都发生变化，则波函数表示波线上任意x处的质元在不同时刻t的位移分布情况，即y (t, x)。 质元的振动速度： v=质元的振动动能： dyéæxöù=-wAsinêwçt-÷+jú dtëèuøûEk=质元的相对形变： 11éæxöùrDVv2=rDVw2A2sin2êwçt-÷+jú 22ëèuøûDywAéæxöù=sinêwçt-÷+jú Dxuëèuøû质元的弹性势能： Ep =质元的总机械能: 1éæxöùrA2w2(SDx)sin2êwçt-÷+jú 2ëèuøûéæxöùE=Ek+Ep=rA2w2(SDx)sin2êwçt-÷+jú ëèuøû波的能量密度：波传播的媒质中单位体积内的能量。用w来表示，则介质中x处在t时刻的能量密度是 w=Eéæxöù=rA2w2sin2êwçt-÷+jú DVëèuøû平均能量密度：在一个周期内能量密度的平均值，用w表示，有 11éæxöù1w=òwdt=òrA2w2sin2êwçt-÷+júdt=rA2w2 T0T02ëèuøû表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。 能流：单位时间内通过某一面积的能量，用P表示，单位W。若在介质中取垂直于波速u的面积S，则在单位时间内通过S面的能量等于体积uS 内的能量，有 TTP=wSu 取其时间平均值，则 P=wSu=1rA2w2Su 2能流密度：垂直于通过单位面积的平均能流，即单位时间流过垂直于波速方向的单位面积的能量。用I表示 I=I又称为波的强度，单位是W·m-2，。 P1=wu=rA2w2u S2二、典型习题解题指导 10-1 原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m。现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 解：振动方程：x=Acos(wt+j)，在本题中，kx=mg，所以k=9.8； w=k9.8=98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。 所以：x=0.1cos 即：x=-0.1cos(98t)。 10-2 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求： 1）振动频率。 2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。 解：1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置； 由kx0=mg，知振动频率：n=kkg9.8w=196=14， =196， -2mmx05´10k7=(Hz)； mp2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m的位置，所以： x34cosj=，由cos2j+sin2j=1，有：sinj=±， A55v4而sinj=-，那么速度的大小为：v=Aw=0.56m/s 。 Aw510-3 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时，位移为6cm，12p且向x轴正方向运动。求： 1）振动表达式。 2）t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。 3）如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， w=2p=p T又t=0时，x0=6cm，v0>0，由旋转矢量图10-2，可知：j=-p3将t=0.5 s代入得： p3）m； x=0.12cos=0.12cos=0.104m， 36 v=-0.12psin=-0.12psin=-0.188m/s， 336ppa=-0.12p2cos=-0.12p2cos=-1.03m/s2， 36方向指向坐标原点，即沿x轴负向； 3）由题知，某时刻质点位于x=-6cm=-pppppPwA， 2A2xQ且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走Dj=有：Dt=p3+p2，建立比例式：DjDt， 图10-2 =2pT5s 。 610-4 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图10-3可知： 当质点1在 x1=A/2处，且向左运动时， 相位为p， 34p。 3而质点2在 x2=-A/2 处，且向右运动， 相位为所以它们的相位差为p。 图10-3 10-5 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 1211kx，Ek=mv2，有：EP=kA2cos2(wt+j)， 22211Ek=mw2A2sin2(wt+j)=kA2sin2(wt+j)， 22A1）当x=时，由x=Acos(wt+j)， 231有：cos(wt+j)=，sin(wt+j)=， 22解：由EP=EP1Ek3=，=； E4E42）当EP=Ek=1E时，有：cos2(wt+j)=sin2(wt+j) 212A=±0.707A。 ，x=±22cos(wt+j)=±10-6 对图10-4中两个同方向的简谐振动曲线， 1）求合振动的振幅。 2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 A1初相：j1=p2，A2初相：j2=-p2， 表明两者处于反相状态， A1<A2，合成振动的振幅：A=A2-A1 ； 合成振动的相位：j=j2=-p2 ； 合成振动的方程：x=cosT210-7 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为p。若第一个振动的振幅为103cm。则 61）第二个振动的振幅为多少？ 2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图10-5，可利用余弦定理： 由图知 A2=A1+A-2A1Acos30°=0.01 m A=0.1 m ， 222sinqsin300=再利用正弦定理：，有： 图10-5 AA2sinq=Ap=1，q=。 2A22说明A与A间夹角为/2，即两振动的位相差为/2 。 10-8 沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后p，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6解：根据题意，对于A、B两点，Dj=j2-j1=p6，Dx=2m， 而Dj=2plDxÞl=24m，u=lT=12m/s 10-9 已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y=Acos(wt+j)，波速为u，求： 1）平面波的波动式。 2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：1）设平面波的波动式为y=Acosw+j0，则P点的振动式为： xux1）+j0，与题设P点的振动式yP=Acos(wt+j)比较， ux-x1wx1有：j0=)+j； +j，平面波的波动式为：y=Acosw(t-uux2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y=Acosw+j0，u则P点的振动式为： xyP=Acosw+j0，与题设P点的振动式yP=Acos(wt+j)比较， ux-x1wx有：j0=-1+j，平面波的波动式为：y=Acosw(t+)+j。 uuyP=Acosw该平面简谐波的表达式。 2）B点的振动表达式。 解：1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为 图10-6 原点平面简谐波的表达式为： x-ly=Acos2pn+j0，则A点的振动式：yA=Acos2pn+j0 uu题设A点的振动式y=Acos(2pnt+j)比较，有：j0=该平面简谐波的表达式为：y=Acos2pn+j uu2）B点的振动表达式可直接将坐标x=d-l，代入波动方程： y=Acos2pn+j=Acos2pn+j uuu10-11 一平面简谐波沿x轴正方向传播，频率为0.125 Hz，振幅为0.001 m，波速为380 m/s，设波源位于x=0处，且开始振动时位移为正向最大。试求： 1) 波动方程。 2) x=3l4处质点的振动方程。 3) t =T4时，x=ll3l4处质点的振动位移，以及2，4两处质点的振动相位差。 4) t =T2时， x=3l4处质点的振动速度。 解： 由题中所给已知数值，可得周期、角频率和波长分别为 T=11n=0.125=8 s w=2pn=2p´0.125=0.25p(1/s) l=uT=380´8=3040 m 1) 由波源振动的初始条件可知初相位j=0，因而波源的振动方程为 y=Acoswt 沿X轴正方向传播的波动方程为 y=Acoswæçèt-xöu÷ø=0.01cospæ4çèt-xö380÷ø m 或者写成 y=Acos2pæçtèT-xöl÷ø=0.01cos2pæçtè8-xö3040÷ø m 式(1)、(2)中，时间t以s计，位移y以m计。 2) 把x=3l4带入式 (2)，得到该点的振动方程为 æöy=0.01cos2pç3lçt-4÷ç8l÷=0.01cosp÷4(t-6) mèø(1) (2) 3) 把t=Tl，x=带入式 (2)，得到质点的位移为 44æTlöç44÷y=Acos2pç-÷=A=0.01 m çTl÷èø又根据j1-j2=2pDxl，可得x=l3l与两点的振动相位差为 243ll-pj1-j2=2p42= l24) 将波动方程y=Acoswçt-处质点的振动速度 æèxö÷中的x视为常量，并求y对时间t的导数，即得xuøv=或者 dyæxö=-Awsinwçt-÷ (3) dtèuøætxö v=-Awsin2pç-÷ (4) èTlø 将t=T3l，x=带入式(4)，得到质点的振动速度为 24æ13öæöv=-Awsin2pç-÷=-Asinç-÷=Aè24øè2ø =0.001´0.25´3.14 = 7.85´10-4 m/s10-12 一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0´10-3J/(s×m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：1）已知波的平均强度为：I=9.0´10-3J/(s×m)，由I=w×u 有： I9.0´10-3w=3´10-5J/m3 u300wmax=2w=6´10-5J/m3； 2）由W=w×V，W=w×pd2l=wpd21414un=3´10-5J/m3´p4×(0.14m)2×1m=4.62´10-7J 。 3-410-13 一弹性波在媒质中传播的速度u=10m/s，振幅A=1.0´10m，频率n=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3，求： 1）该波的平均能流密度。 2）1分钟内垂直通过面积S=4.0´10m的总能量。 解：1）由：I=-421urA2w2，有： 2122=1.58´105W/m2； I=´103´800´2-422）1分钟为60秒，通过面积S=4.0´10m的总能量为： W=ISt=1.58´105´4´10-4´60=3.79´103J 。