《三角恒等变换章末总结》教师.docx

三角恒等变换章末总结教师三角恒等变换章末总结 08.10.10 一、教学目的： 对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。 二. 重点、难点： 公式的灵活应用 三、知识分析： 1、 本章网络结构 tan2a=2tanatana±tanba=b¬¾¾¾tana±b= ()1mtanatanb1-tan2a相除 相除 Sa+b­Sa-b­Ca+b¯Ca-b相加减 cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin2a=2sinacosa ¬¾¾¾ a=b移项a®2a a1+cosa=2cos22 a21-cosa=2sin 2 变形 1sin(a+b)+sin(a-b)21cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)21cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)21sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)2sinacosb=令 ísina1-cosa=±2 2 a1+cosa=±22相除 ìA=a+bB=a-bîcos tan a± 1- cos a 21+cosa sina1-cosa=1+cosasinaA+BA-Bcos22A+BA-BsinA-sinB=2cossin22A+BA-BcosA-cosB=2coscos22A+BA-BcosA-cosB=-2sinsin22sinA+sinB=2sin 2、要点概述 求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。 1 要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 2a=(a+b)+(a-b)，a=(a+b)-b=(a-b)+b a3是2a3的半角，a2是a4的倍角等。 要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 求值的类型： “给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。 “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。 “给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。 灵活运用角和公式的变形，如：2a=(a+b)+(a-b)，tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。 化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换，二是三角函数名称的变化，有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。 证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法： 从一边到另一边，两边等于同一个式子，作差法。 3、题型归纳 求值题 3pöpö312æpöæ5öæpæ，÷，bÎç0，÷，且cosç-a÷=，sinçp+b÷=-è4øè4øè4è5134ø4ø 例1. 已知aÎç求cos(a+b)。 分析：由已知条件求cos(a+b)，应注意到角之间的关系，a+b=çæpöæpö+a÷-ç-a÷，è4øè4ø可应用两角差的余弦公式求得。 解：由已知aÎç3pöpöæpæ3p，-÷ ÷，得-aÎç-è4è44ø4ø pæpö-aÎç-，0÷ è2ø434æpöæpö-a÷=，sinç-a÷=- è4øè4ø55又cosç2 由bÎç0，æèpöppöæp，得+bÎ，ç÷ ÷èø442ø4又sinçéæ5öæpöùp+b÷=sinêp+ç+b÷ú è4øè4øûë12æpö =-sinç+b÷=-è4ø135æpö12æpö sinç+b÷=，cosç+b÷=413413èøèø由çæpöæpö+b÷-ç-a÷=a+b，得 è4øè4øéæpöæpöùcos(a+b)=cosêç+b÷-ç-a÷ú øè4øûëè4æpöæpöæpöæpö=cosç+b÷cosç-a÷+sinç+b÷sinç-a÷è4øè4øè4øè4ø =513´35+12æ4ö´ç-÷13è5ø=-3365点评：<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键； <2>常见角的变换：2a=(a+b)+(a-b)，a=(a+b)-b=(a-b)+b，pæpöæpö等。 ç+x÷+ç-x÷=è4øè4ø2 化简题 (1+sina+cosa)çsin 例2. 化简：a2æèa2-cosaö÷2ø，其中p<a<2p。 a22+2cosa 分析：式中有单角与半角，可用倍角公式把化为。 解：原式=aaöæaaöæ2a+2sincos÷çsin-cos÷ç2cosè222øè22ø4cos2a23 2cos=aæaaöæaaöcos+sinsin-cosç÷ç÷2è22øè22ø2cosa2cosaæ=çsin2è2a2-cos2aö÷2øcosa2-cos·cosa2=cosaa2p2<a2<p，cosa2<0 p<a<2p，-cosa2·cosaa21-tanx1+tanx 原式=cosa -cos 证明题 1-2sinxcosxcosx-sinx22 例3. 求证： = 分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左边。 1-sinxcosx=cosx-sinx sinxcosx+sinxcosx2 证法1：右边=1+=(cosx-sinx)(cosx-sinx)(cosx+sinx)cosx+sinx-2sinxcosxcosx-sinx1-2sinxcosxcosx-sinx222222 =左边原命题成立 分析2：由1-2sinxcosx配方，得(cosx-sinx)。将左边约分，达到化简的目的。 sinx+cosx-2sinxcosxcosx-sinx22222 证法2：左边= =(cosx-sinx)222=cosx-sinx1-tanx1+tanx=右边=cosx-sinxcosx+sinx 原命题成立 4 分析3：代数证明中的作差法也适用于三角证明。 证明3：左右=(cosx-sinx)21-tanxcos2x-sin2x-1+tanx=cosx-sinx-1-tanxcosx+sinx1+tanx=1-tanx1-tanx 1+tanx-1+tanx=0 左右 原式成立 与向量、三角形等有关的综合题 例4. 平面直角坐标系内有点P(1，cosx)，Q(cosx，1)，xÎépê-，ë4 求向量®®OP与OQ的夹角的余弦； 求cosq的最值。 解析：®®®®OP·OQ=2cosx，|OP|OQ|=1+cos2x ®®cosq=OP·OQ2cosx®®= |OP|OQ|1+cos2x cosq=f(x)=2cosx1+cos2x=2 cosx+1cosxxÎéppùé2ùê-，ë44ú，ûcosxÎê，1ë2ú û 又2£cosx+132cosx£2 22223£f(x)£1，即3£cosq£1 cosq22min=3，cosqmax=1 一. 选择题 oo 1. sin15+cos15sin15o-cos15o的值为 5 pù。4úû A. 33 B. 2+46 C. 2-46 D. -3 2. 12cosa-32sina可化为 A. sinçæpö-a÷ è6øæpö+a÷ è6øæèB. sinçæpö-a÷ è3øæpö+a÷ è3øC. sinçD. sinç 3. 若a、bÎç0，p341pö，且，则a-b的值是 tana=，tanb=÷ø372 A. B. p4 C. p6 D. p8 4. 函数y=8sinxcosxcos2x的周期为T，最大值为A，则 A. T=p，A=4 C. T=p，A=2 1cosa-1sinaB. T=D. T=p2p2，A=4 ，A=2 5. 已知 =1，则sin2a的值为 A. 2-1 13 B. 1-22 12 C. 22-2 D. 2-22 6. 已知tanq= A. -65，则cosq+B. -45sin2q C. 45 D. 65 7. 设f(tanx)=tan2x，则f(2)= A. 4 B. 45 C. -23 D. -432 8. 2-sin2+cos4的值是 A. sin2 B. -cos2 C. -3cos2 D. 3cos2 9. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为13的锐角 6 ®®® 11. 已知向量OB=(2，0)，向量OC=(2，2)，向量CA=®®量OA与OB的夹角范围为 (2cosa，2sina，则向)A. 0，êëépù ú4û B. 5pùép ，ê4ú12ûë5pùép ，ê12ú12ëû C. pùé5p ，ê12ú2ëû D. 12. 已知：3cos(2a+b)+5cosb=0，则tan(a+b)tana的值为 A. ±4 B. 4 C. -4 二. 填空题 13. 已知sina+cosa=13 D. 1 ，则cos4a=_。 14. 函数y=2sinxcosx-2sin2x+1的最小正周期为_。 15. 已知a+b=p6，且a、b满足关系式3(tanatanb+a)+2tana+3tanb=0，则 tana=_。 16. 已知f(x)=1-x1+x。若aÎçæpö，p÷，则f(cosa)+f(-cosa)可化简为 è2ø_。 三. 解答题 17. 求值：tan70ocos10o·(3tan20o-1) 18. 已知函数f(x)=sinx+ 23sinxcosx+12求函数f(x)的最小正周期； 求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合； 求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性。 2sin2x+2sinx317p7pæpö 19. 若已知cosç+x÷=，求的值。 <x<è4ø1-tanx5124 20. 已知、为锐角，且3sina+2sinb=1，3sin2a-2sin2b=0。 求证：a+2b=p2227 参考答案 一. 选择题： 1. D 7. D 二. 填空题： 13. -47812. A 8. C 3. B 9. A 4. D 10. B 5. C 11. D 6. D 12. C 2sina14. p 15. 3(1+a) 16. 三. 解答题： æ 17. 解：原式=·cos10çocos70èsin70oooo3sin20cos20ooö-1÷ ø=3cos10-cos10·osin70cos70oooo3cos10-oocos10·cos20oo2sin10·cos10ooo=3sin20-cos202sin10oosin20·cos30-cos20·sin30sin10sin20-30sin10o=(oo)=-11-cos2x23212 18. 解：f(x)=+sin2x+ =32sin2x-12cos2x+1pöæ=sinç2x-÷+1è6ø=p62p2=p p2T=2pw当2x-ìî=2kp+(kÎZ) 即xÎíx|x=kp+p6pü，kÎZý时，f(x)max=2 3þ 当2x-ìî=2kp-p2(kÎZ) 即xÎíx|x=kp-pü，kÎZý时，f(x)min=0 6þ8 当2kp-即kp-p6p2£2x-p3p6£2kp+p2(kÎZ) £x£kp+p2£2x-p6(kÎZ)时，f(x)单调递增。 3p2当2kp+即kp+p3£2kp+5p6(kÎZ) £x£kp+(kéëÎZ)时，f(x)单调递减。 故f(x)的单调递增区间为kp-êéëp6p3，kp+pù(kÎZ) 3úû5ùpú(kÎZ) 6û f(x)的单调递减区间为kp+ê，kp+ 19. 解法1：cosç317p7pæpö +p÷=，<x<è4ø5124 3p5<p4æpö+x<2p，则sinç+x÷=- è4ø45éæpöpù从而cosx=cosêç+x÷-ú ø4ûëè4ppæpöæpö=cosç+x÷cos+sinç+x÷sinè4øè4ø44 =35´2102æ4ö+ç-÷´è5ø222=- sinx=-1-cosx=-27210，tanx=7 22sinxcosx+2sinx=故原式=1-tanx2æ72öææ72ö2ö2´ç-÷´ç-÷+2´ç-÷10øè10ø10øèè1-72875=-2 解法2：原式=2sinxcosx+2sinx1-tanx9 =2sinxcosx(1+tanx)1-tanxæpö=sin2xtanç+x÷è4ø7p4，5p3<p4 1712p<x<+x<2p 又cosç34æpöæpö+x÷=，sinç+x÷=- è4øè4ø55即tanç4æpö+x÷=- è4ø3éæpöpù则sin2x=sinê2ç+x÷-ú ø2ûëè4æpö=-cos2ç+x÷è4øéù7ö2æp=-ê2cosç+x÷-1ú=è4øëû2528æ4ö ´ç-÷=-èø253757 故原式= 20. 证法1：由已知3sin2a+2sin2b=1 3sin2a-2sin2b=0 3sina=1-2sinb=cos2b sin2b=32sin2a=3sinacosa22cos(a+2b)=cosacos2b-sinasin2b =cosa·3sina-sina·3sinacosa =02、为锐角，0<a+2b<a+2b=p23p2证法2：由已知条件得： 3sina=cos2b3sinacosa=sin2b2<1><2>p2p2又、为锐角 a=-2b，即a+2b= 10