《一元二次方程的解法》规律总结.docx

一元二次方程的解法规律总结一元二次方程的解法规律总结 1一元二次方程的解法 2(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如x=a(a0)，(x-a)2=b(b0)类的一元二次方程x2=a，则x=±a；(x-a)2=b，x-a=±b，x=a+b对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为x=a或(x-a)=b的形式，也可以用此法解 (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解要清楚使乘积ab0的条件是a0或b0，使方程x(x3)0的条件是x0或x30x的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有两个根，而不是一个根 22(3)配方法：任何一个形如x+bx的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解22的方程如解x+6x+7=0时，可把方程化为x+6x=-7，2æ6öæ6öx+6x+ç÷=-7+ç÷2è2øè2ø，即(x+3)=2，从而得解 222注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1 (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点 2(3)公式法：一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的根是由方程的系数a、b、-b±b2-4acx=2b-4ac³02ac确定的在的前提下，用公式法解一元二次方程的一般步骤： 先把方程化为一般形式，即ax+bx+c=0(a0)的形式； 正确地确定方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们的符号)； 计算b-4ac<0时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； 将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法解题时要根据方程的特征灵活选用方法 2一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：有两个不相等的实数根；有两个相等的22实数根；没有实数根而根的情况，由b-4ac的值来确定因此D=b-4ac叫22做一元二次方程ax+bx+c=0的根的判别式 >0Û方程有两个不相等的实数根 0Û方程有两个相等的实数根 <0Û方程没有实数根 2判别式的应用 (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题 3韦达定理及其应用 2定理：如果方程ax+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么bcx1+x2=-，x1×x2=aa 当a1时，x1+x2=-b，x1×x2=c 应用： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数 4一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题； (3)平均增长率问题 步骤： 分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； 设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； 找出相等关系，并用它列出方程； 解方程求出题中未知数的值； 检验所求的答数是否符合题意，并做答 这里关键性的步骤是和 注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义