《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.docx

一元二次不等式及其解法典型例题透析一元二次不等式及其解法典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 x-5x<0； x-4x+4>0； -x+4x-5>0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： 方法一： 因为D=(-5)2-4´1´0=25>0 所以方程x-5x=0的两个实数根为：x1=0，x2=5 函数y=x2-5x的简图为： 2222因而不等式x-5x<0的解集是x|0<x<5. 2ìx>0ìx<0方法二：x-5x<0Ûx(x-5)<0Ûí 或í x-5<0x-5>0îî2解得íìx>0ìx<0 或 í，即0<x<5或xÎÆ. îx<5îx>52因而不等式x-5x<0的解集是x|0<x<5. 方法一： 因为D=0， 方程x2-4x+4=0的解为x1=x2=2. 函数y=x-4x+4的简图为： 2所以，原不等式的解集是x|x¹2 方法二：x-4x+4=(x-2)³0 所以原不等式的解集是x|x¹2 方法一： 原不等式整理得x-4x+5<0. 2222因为D<0，方程x-4x+5=0无实数解， 函数y=x2-4x+5的简图为： 2所以不等式x-4x+5<0的解集是Æ. 所以原不等式的解集是Æ. 方法二：-x2+4x-5=-(x-2)2-1£-1<0 原不等式的解集是Æ. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当D£0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁；当D>0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 解下列不等式 (1) 2x-3x-2>0；(2) -3x+6x-2>0 (3) 4x-4x+1£0； (4) -x+2x-3>0. 方法一： 因为D=(-3)2-4´2´(-2)=25>0 2方程2x-3x-2=0的两个实数根为：x1=-222221，x2=2 2函数y=2x-3x-2的简图为： 2因而不等式2x-3x-2>0的解集是：x|x<-21或x>2. 2整理，原式可化为3x-6x+2<0, 因为D>0, 方程3x-6x+2=0的解x1=1-221或x>2. 233，x2=1+， 33函数y=3x2-6x+2的简图为： 所以不等式的解集是(1-方法一： 因为D=0 2方程4x-4x+1=0有两个相等的实根：x1=x2=33,1+). 331， 2由函数y=4x2-4x+1的图象为： 原不等式的的解集是. 方法二： 原不等式等价于：(2x-1)£0, 原不等式的的解集是. 方法一： 因为D<0，方程-x+2x-3=0无实数解， 由函数y=-x2+2x-3的简图为： 212212原不等式的解集是Æ. 方法二：-x2+2x-3=-(x-1)2-2£-2<0， 原不等式解集为Æ. 解不等式：-6£x-x-6<6 原不等式可化为不等式组 22ììì(x-4)(x+3)<0ïx-x-6<6ïx-x-12<0 í ，即，即， í2í2ïïîx(x-1)³0îx-x³0î-6£x-x-6ì-3<x<4解得í x³1或x£0î2原不等式的解集为x|-3<x£0或1£x<4. 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2. 不等式x+mx-n<0的解集为xÎ(4,5)，求关于x的不等式nx+mx-1>0的解集。 思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x+mx-n=0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得. 222解析：由题意可知方程x+mx-n=0的两根为x=4和x=5 由韦达定理有4+5=-m，4´5=-n m=-9，n=-20 nx+mx-1>0化为-20x-9x-1>0，即20x+9x+1<0 222211(4x+1)(5x+1)<0，解得-<x<-， 45112故不等式nx+mx-1>0的解集为(-,-). 45总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 2不等式ax+bx+12>0的解集为x|-3<x<2，则a=_, b=_。 2由不等式的解集为x|-3<x<2知a<0，且方程ax+bx+12=0的两根为-3，2。 ìb-=-3+2=-1ïïa由根与系数关系得í ï12=(-3)×2=-6ïîa解得a=-2, b=-2。 2已知ax+2x+c>0的解为-11<x<,试求a、c,并解不等式32-cx2+2x-a>0. 由韦达定理有：-11211c+=-，-×=，a=-12,c=2. 32a32a22代入不等式-cx+2x-a>0得-2x+2x+12>0， 2即x-x-6<0，(x-3)(x+2)<0，解得-2<x<3， 故不等式-cx+2x-a>0的解集为：(-2,3). 已知关于x的不等式x+ax+b<0的解集为(1,2)，求关于x的不等式22bx2+ax+1>0的解集. ì-a=1+2ìa=-32由韦达定理有：í，解得í, 代入不等式bx+ax+1>0得 îb=1´2îb=212x2-3x+1>0，即(2x-1)(x-1)>0，解得x<或x>1. 212bx+ax+1>0的解集为：(-¥,)(1,+¥). 2类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3已知关于x的不等式(m+4m-5)x-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析： 2(1)当m+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。 2(2)当m+4m-50即 m1且m-5时， 22由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m+4m-5)x-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 2ìïm+4m-5>0所以í， 22ïîD=16(m-1)-12(m+4m-5)<022 即íìm>1或m<-5î1<m<19， 1<m<19。 综上所述，实数m的取值范围是m|1m<19。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 若关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1³0的解集为空集，求m的取值范围. 关于x的不等式mx-(2m+1)x+m-1³0的解集为空集 即mx-(2m+1)x+m-1<0的解集为R 当m=0时，原不等式为：-x-1³0，即x£-1，不符合题意，舍去. 当m¹0时，原不等式为一元二次不等式，只需m<0且D<0， 22ì(2m+1)2-4m(m-1)<01即í，解得m<-， 8îm<0综上，m的取值范围为：mÎ(-¥,-). 若关于x的不等式mx-(2m+1)x+m-1³0的解为一切实数，求m的取值范围. 当m=0时，原不等式为：-x-1³0，即x£-1，不符合题意，舍去. 当m¹0时，原不等式为一元二次不等式，只需m>0且D³0， 218ì(2m+1)2-4m(m-1)³0即í，解得m>0， îm>0综上，m的取值范围为：mÎ(0,+¥). 若关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1³0的解集为非空集，求m的取值范围. 当m=0时，原不等式为：-x-1³0，即x£-1，符合题意. 当m>0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当m<0时，只需D³0， ì(2m+1)2-4m(m-1)³01即í，解得-£m<0， 8îm<0综上，m的取值范围为：mÎ-,+¥). 类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法 例4解下列关于x的不等式 x2-2ax-a2+1； 2x-ax+1>0； 2x-(a+1)x+a<0； 解析： (1) x2-2ax+a2-1£0Þ(x-a)-1(x-a)+1£0Þa-1£x£a+1 原不等式的解集为x|a-1£x£a+1。 (2) =a-4 当>0，即218a>2或a<-2时，原不等式的解集为a+a2-4a-a2-4x|x>或x< 22当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为x|x¹a。 2当<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R。 (x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为x|1<x<a 当a<1时，原不等式的解集为x|a<x<1 当a=1时，原不等式的解集为F。 总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： 定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； 求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； 定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。 举一反三： 解关于x的不等式：x-(a+原不等式化为(x-a)(x-a=1或a=-1时，解集为Æ； 当0<a<1 或a<-1时，a<21)x+1<0(a¹0) a1)<0 a11，解集为：x|a<x<； aa当a>1或 -1<a<0时，a>11，解集为：x|<x<a。 aa解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0 x2-(a+a2)x+a3>0Þ(x-a)(x-a2)>0 当a0或a1时，解集为x|x<a或x>a2； 当a=0时，解集为x|x¹0； 当0a1时，解集为x|x<a2或x>a； 当a=1时，解集为x|x¹1； 例5解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10。 解析：若a=0，原不等式Ûx+10Ûx1； 若a0，原不等式Ûx-(1+)x+1； 若a0，原不等式Ûx-(1+)x+其解的情况应由221a111>0Û(x-)(x-1)>0Ûx<或xaaa11<0Û(x-)(x-1)<0， aa1a1与1的大小关系决定，故 a当a=1时，原不等式ÛxÎÆ； 1当a1时，原不等式Û<x<1； a1当0a1时，原不等式Û1<x< a综上所述： 当a0，解集为x|x<1或x>1； a1a当a=0时，解集为x|x1； 当0a1时，解集为x|1<x<； 当a=1时，解集为Æ； 当a1时，解集为x|1<x<1。 a总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。 举一反三： 解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 当a=0时，x(-¥,2. 当a0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为x1=当a>0时， 1,x2=2 a111时，xÎ(-¥,2U,+¥)； a2a11若a>0，2， 即a=时，xR； a2111若a>0，<2， 即a>时，xÎ(-¥,U2,+¥). a2a112。 当a<0时，则有：<2， xÎ，aa若a>0，>2， 即0<a<解关于x的不等式：ax2x-1<0； 当a=0时，xÎ(-¥,). 当a0时，=4+4a=4(a+1)， a>0时，则>0，xÎ(212-1-1+a-1+1+a,). aaa<0时， 若a<0，<0， 即a<-1时，xR； 若a<0，=0， 即a=-1时，xR且x1； 若a<0，>0， 即 -1<a<0时， xÎ(-¥,-1+1+a-1-1+a )U(,+¥)。aa解关于x的不等式：ax2-x+1>0 若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为x|x<1； 若a0，原不等式为关于x的一元二次不等式. 2方程ax-x+1=0的判别式=1-4a ()当=1-4a<0，即a>212时，方程ax-x+1=0没有实数根， 4故函数f(x)=ax-x+1的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下： 所以，此时不等式ax-x+1>0的解集为实数集R； ()当=1-4a=0，即a=2212时，方程ax-x+1=0有两个相等实数根x=2， 4故函数f(x)=ax-x+1的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下： 所以，此时不等式ax-x+1>0的解集为(-¥,2)U(2,+¥)； 21()当=1-4a>0，即a<4时，方程ax2-x+1=0有两个不等实数根 x1-1-4a1=2a，x=1+1-4a22a， 当0<a<14时，函数f(x)=ax2-x+1的图象开口向上， 与x轴有两个不同的交点，且x1<x2，其简图如下： 所以，此时不等式ax2-x+1>0的解集æçç-¥,1-1-4aö÷Uæç1+1-4a,+¥ö÷； è2a÷øçè2a÷ø当a<0时，函数f(x)=ax2-x+1的图象开口向下， 与x轴有两个不同的交点，且x1>x2，其简图如下： 所以，此时不等式ax2-x+1>0的解集为çæ1+1-4a1-1-4aöç,÷è2a2a÷； ø综上所述： a<0时，原不等式解集为æç1+1-4a1-1-ç,4aö÷； è2a2a÷øa=0时，原不等式解集为(-¥,1)； 0<a<14时，原不等式解集为æçç-¥,1-1-4aö÷Uæç1+1-4a,+¥ö÷； è2a÷øçè2a÷øa=14时，原不等式解集为(-¥,2)U(2,+¥)； a>14时，原不等式解集为实数集R. 为