《一元二次方程的解法》经典例题精讲.docx

一元二次方程的解法经典例题精讲一元二次方程的解法经典例题精讲 例1解方程x-25=0 分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好 2解：x-25=0， 2x2=25， x=±25，x±5 x1=5，x2=-5 2例2解方程(x+3)=2 2分析：如果把x3看作一个字母y，就变成解方程y=2了 2解：(x+3)=2， x+3=±2， x+3=2，或x+3=-2， x1=-3+2，x2=-3-2 例3解方程4(x-2)-81=0 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好 2解：4(x-2)-81=0 2整理，4(x-2)=81， 2(x-2)2=x-2=±x1=814， 92， 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；22若x=a，则x=±a；若(x-a)=b，则x=±b+a 2135，x2=-22 例4解方程x-3x+2=0 分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解 解法一： x2-3x+2=0， (x2)(x1)0， x20，x10， x1=1，x2=2 解法二： a1，b3，c2， 22b-4ac=(-3)-4´1´2=1>0， x=3±12 x1=2，x2=1 注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“”的值，若<0，则方程无解，就不必解了 22例5解关于x的方程x-m(3x-2m+n)-n=0 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程2为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数在确定b-4ac³0的情况下，利用公式法求解 解：把原方程左边展开，整理，得 x2-3mx+(2m2-mn-n2)=0 22a1，b3m，c=2m-mn-n， 2222b-4ac=(-3m)-4´1´(2m-mn-n) =m2+4mn+4n2 =(m+2n)2³0 =x=3m+(m+2n)223m±(m+2n)2 x1=2m+n，x2=m-n 注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c和b-4ac的值，然后求解但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相2混淆；(3)在b-4ac开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包22括了这两种可能，因此，±(m+2n)=±(m+2n) 例6用配方法解方程2x+3=7x 分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住 2解：2x+3=7x， 2x2-73x+=022， 73æ7öæ7öx-x+ç÷-ç÷+=022è4øè4ø， 2227ö25æçx-÷=4ø16， è2x-75=±44 12 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方 例7不解方程，判别下列方程的根的情况： 222(1)2x+3x-4=0；(2)16y+9=24y；(3)5(x+1)-7x=0 2分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式D=b-4ac的值的符号就可以了 解： (1)a2，b3，c4， x1=3，x2=22b-4ac=3-4´2´(-4)=41>0 方程有两个不相等的实数根 (2)a16，b24，c9， b-4ac=(-24)-4´16´9=0 方程有两个相等的实数解 2(3)将方程化为一般形式5x+5-7x=0， 225x2-7x+5=0 a4，b7，c5， 22b-4ac=(-7)-4´5´5 49100 51<0 方程无实数解 注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号 2例8已知方程5x+kx-6=0的一个根是2，求另一根及k的值 bcx1+x2=-，x1×x2=aa易得另一根和k的值再是根分析：根据韦达定理据方程解的意义可知x2时方程成立，即把x2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根但方法不如第一种 解：设另一根为x2，则 k62+x2=-，2×x2=-55， x2=-35，k7 -3即方程的另一根为5，k的值为7 注意：一元二次方程的两根之和为-bca，两根之积为a 2例9利用根与系数的关系，求一元二次方程2x+3x-1=0两根的 (1)平方和；(2)倒数和 1131+x1+x2=-，x1×x2=-2222要求(1)x1+x2，(2)x1x2， 分析：已知11+22关键是把x1+x2、x1x2转化为含有x1+x2、x1×x2的式子 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即(a+b)2=a2+b2+2ab，所以a2+b2=(a+b)2-2ab，由此可求出(1)同样，可用两数和与积表示两数的倒数和 解： 31x1+x2=-，x1×x2=-22， (1)222x1+x2=(x1+x2)-2x1x2 æ=ç-è3öæ1ö÷-2ç-÷2øè2ø 2=9+14 13=4； x+x111+=2x1x2 (2)x1x23=21-2 -3 注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式 2例10已知方程2x+4x+m=0的两根平方和是34，求m的值 分析：已知x1+x2=-2，x1×x2=m2，x1+x22=342，求m就要在上面三个式子22中设法用x1+x2和x1+x2来表示x1x2，m便可求出 解：设方程的两根为x1、x2，则 x1+x2=-2，x1×x2=m2 222x+x=(x+x)-2x1x2， 12122222xx=(x+x)-(x+x121212) =(-2)2-34 30 m30 x1x2=m2， 22注意：解此题的关键是把式子x1+x2变成含x1+x2、x1x2的式子，从而求得m的值 例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10 2分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)x+px+q=0的形式如设其根为x1、x2，根据根与系数的关系，得x1+x2=-p，x1×x2=q将p、22x+px+q=0xq的值代入方程中，即得所求方程-(x1+x2)x+x1×x2=0 2x解：设所求的方程为+px+q=0 210p，2×10q， p12，q20 2所求的方程为x-12x+20=0 注意：以x1、x2为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个 例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数 分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数 2解：设这两个数为x1、x2，以这两个数为根的一元二次方程为x+px+q=0 x1+x2=8=-p，x1×x2=q， 2方程为x-8x+9=0 解这个方程得x1=4+7，x2=4-7， 这两个数为4+7和4-7 例13如图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为540m，那么道路的宽度应是多少？ 2分析：设道路的宽度为x m，则两条道路的面积和为32x+20x-x 题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积 解：设道路的宽度为x m，则 540+32x+20x-x2=32´20 x2-52x+100=0， 2(x2)(x50)0， x20，x500， x1=2，x2=50 x50不合题意， 取x2 答：道路的宽度为2m 注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为x因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积x 例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1x)，增长两次后的产量是5000(1+x)，增长n次后的产量b是 b=5000(1+x)n 222这就是重要的增长率公式 解：设平均每月增长的百分率为x则 5000(1+x)2=7200， (1+x)2=1+x=±3625， 65， x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：平均每月增长的百分率是20% 注意：解方程时，由1x的值求x，并舍去负值