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Dijkstra算法详细讲解最短路径之Dijkstra算法详细讲解 最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 初始时，S只包含源点，即S，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权或 ）。 从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中。 以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离比原来距离短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 重复步骤和直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。 图一：Dijkstra无向图 算法执行步骤如下表： 错误! 步骤 1 S集合中 选入A，此时S=<A> 此时最短路径AA=0 以A为中间点，从A开始找 U集合中 U=<B、C、D、E、F> AB=6，AC=3， A其它U中的顶点=， 发现AC=3权值为最短 2 选入C，此时S=<A、C> 此时最短路径AA=0，AC=3以C为- 4 - U=<B、D、E、F> 中间点， 从AC=3这条最短路径开始找 ACB=5(比上面第一步的AB=6要短) 此时到D权值更改为ACB=5， ACD=6， ACE=7， AC其它U中的顶点=，发现ACB=5权值为最短 3 选入B，此时S=<A、C、B> 此时最短路径AA=0，AC=3，ACB=5 以B为中间点 从ACB=5这条最短路径开始找 U=<D、E、F> ACBD=10(比上面第二步的ACD=6要长) 此时到D权值更改为ACD=6， ACB其它U中的顶点=，发现ACD=6权值为最短 U=<E、F> ACDE=8(比上面第二步的ACE=7要长)此时到E权值更改为ACE=7，ACDF=9 发现ACE=7权值为最短 4 选入D，此时S=<A、C、B、D> 此时最短路径AA=0，AC=3，ACB=5，ACD=6 以D为中间点， 从ACD=6这条最短路径开始找 5 选入E，此时S=<A、C、B、D、E> U=<F> 此时最短路径AA=0，AC=3，ACEF=12(比上面第四步的ACB=5，ACD=6，ACE=7，ACDF=9要长)此时到F权值更改为ACDF=9 以E为中间点， 从ACE=7这条最短路径开始找 6 选入F，此时S=<A、C、B、D、E、F> 此时最短路径AA=0，AC=3， ACB=5， ACD=6， ACE=7，ACDF=9 发现ACDF=9权值为最短 U集合已空，查找完毕。 - 5 -