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ch15 动载荷第15章 动载荷 15-2图a所示圆截面轴AB，在截面C处装有飞轮。在矩为M的扭力偶作用下，A轴与飞轮以角加速度e转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为J，轴的转动惯量忽略不计，试分析轴的受力，画轴的扭矩图。 解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为 题15-2图 M=Je 而其方向则与角加速度e的方向相反。可见， MA=M=Je 由截面法可知，AC与CB段的扭矩分别为 T1=MA=Je， T2=0 轴的扭矩图如图c所示。 15-3图a所示处于水平状态的等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆长为l，横截面面积为A，弹性模量为E，材料密度为r，杆底滚轮的摩擦力忽略不计，试求杆内横截面上的最大正应力与杆件的轴向变形。 解：惯性力集度为 题15-3图 1 轴力方程为 杆的轴向变形为 qd=F lF(l-x) lFN(x)=-qd(l-x)=-Dl=-FlFl (l-x)dx=-lEAò02EA1215-4 长度为l = 180mm的铸铁杆，以角速度w绕OO轴等速旋转。若铸铁密度r=7.54×103kg/m3，许用应力s= 40MPa，弹性模量E = 160GPa，试根据杆的强度确定轴的许用转速，并计算杆的相应伸长。 题15-4图 解：1.轴的许用转速 离轴为x处的dx微段质量的离心惯性力为 dF=(mAdx)×2x x处杆截面的轴力为 FN(x)=òl/2xrAxdx=2*rA2l22(4-x2) (a) 最大轴力在轴线处，其值为 由强度要求 得 FN,max=FN,maxArA2l28=max=rw2l28£ 88´40´106£=1144.5 1/sec rl27.54´103´0.1802sec2相应之许用转速则为 2.杆的总伸长量 由式(a)可得 2 n=6060´1144.5r=10929 r/min 22 min 从而有 于是得 öFN(x)rw2æl2ç-x2÷ (x)=÷EA2Eçè4øl=2òl/20(x)dx=2òl/2rw2él20-xúdx= 2Eê12Eë4û2ùrw2l37.54´103´1144.52´0.1803l=m=3.00´10-5m=0.030mm 912´160´1015-5 图示涡轮叶片，随涡轮以角速度w等速旋转。设叶冠A的重量为W，叶片材料的弹性模量为E，密度为r，许用应力为s，试按各横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片x截面的面积A(x)，并计算叶片的轴向变形。与叶片的离心力相比，叶片的重量可以忽略不计。 题15-5图 解：1.等强设计 当各横截面上的正应力均等于许用应力时，叶片微段dx的受力如图15-5所示。由平衡方程 得 经积分，得 或写成 rw2x2-2A(x)=CeåFx=0, (A+dA)+(rAdx)2x-A=0 rw2xdxdA=- AlnA=-rw2x22+lnC (a) 3 图15-5 由图可知： 将式(b)代入式(a)，得 将式(c)代入式(a)，最后得到 W2R0，A(x)=A(R0)=当x=R0时 g(b) C=WR0eg22rw2R02 (c) A(x)=WR0eg22rw2(R0-x2)22轴向变形分析 根据胡克定律，叶片微段dx的伸长为 由此得叶片的总伸长为 d(Dl)=FN(x)dxsAdxsdx =EAEAERoDl=òsERidx=s(Ro-Ri) E15-6 图a所示等截面刚架，以角速度w绕轴AB转动。设刚架各横截面的面积均为A，材料的密度为r，试画刚架的弯矩图，并确定最大弯矩。 4 题15-6图 解：刚架所受惯性力如图b所示， aq=w2rA 2a/2a222Fd=ò xwrAdx=wrA 087rAa2w2Mmax= 16刚架的弯矩图如图c所示，最大弯矩为 15-7 在图示圆轴AB上，安装一个带有圆孔的圆盘，并以角速度 w作等速旋转。设圆盘材料的密度 为r，试计算圆轴内的最大弯曲正应力。 题15-7图 解：作用在圆轴上的横向惯性力为 d12drFd=×w2h4由此在轴内引起的最大弯矩为 5 Mmax=而最大弯曲正应力则为 Fdl=×rhldw2d122832Mmax4rhldw2d12smax= d3d315-8 图示圆截面钢杆，直径d =20mm，杆长l =2m，弹性模量E =210GPa，一重量为P = 500N的冲击物，沿杆轴自高度h =100mm处自由下落。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计,试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。 冲击物直接落在杆的突缘上； 突缘上放有弹簧，其弹簧常量k =200 N/mm。 题15-8图 解：以P作为静载荷置于突缘上，有静位移 st=最大冲击载荷为 Pl500´2.00æ4öm=1.516´10-5m =ç92÷EA210´10è´0.020øæ2hö Fd=Pç1+1+÷èstø于是，杆内横截面上最大正应力为 smax=FdPæ2hö500Næ2´0.100=ç1+1+1+1+÷=çAAèstø´10-4m2è1.516´10-5ö÷ ø =1.844´108Pa=184.4MPa 被冲击面的静位移为 st=最大冲击载荷为 PlP500+=1.516´10-5m+m=2.52´10-3m 3EIk200´10æ2hö Fd=Pç1+1+÷èstø 6 于是，杆内横截面上最大的正应力为 smax=Fd500Næ2´0.100ö7=1+1+=1.586´10Pa=15.86MPa ç÷A´10-4m2è2.52´10-3ø15-9 图示正方形截面钢杆，横截面的边宽a=50mm，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限sp=200MPa，一重量P1kN的冲击物自高度h处自由下落，稳定安全因数nst=2.0，杆的质量与撞击物的变形忽略不计。试计算高度h的允许值。 题15-9图 解：1. 许用轴向压力计算 杆截面的惯性半径为 i=IA=a41a0.050m12 a2=23=23=0.01443m 杆的细长比为 l=ml(1m)i=20.01443m=138.6 由于 lE200´109p=s=6=99.3<l p200´10故所述杆为细长杆，其轴向许用压力则为 F=Fcr2(200n=2EI=´109Pa)(0.050m)4=1.285´105Nstn´4l22´4(1m)2´12 st2. 许用冲击高度计算 最大冲击力为 F=Fæç2hè1+1+öd÷ stø当冲击力Fd=F时，相应冲击高度即许用冲击高度为 h=stéêæPö22ëçèP-1÷ùø-1úû 7 (a) (b) 在静载荷P作用下，杆件的静位移为为 (1´103N)(1m)Pl-6st=2.0´10m EA(200´109Pa)(0.050m)2将式与代入式，于是得 2ù2.0´10-6méæ1.285´105Nöh=-1÷-1ú=0.0163m êç32øëè1´10Nû(c) 15-10 图示等截面刚架，一重量为P =300 N的物体，自高度h = 50mm处自由下落。材料的弹性模量E = 200GPa，刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计，试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。 题15-10图 解：采用单位载荷法计算截面A的铅垂静位移，其载荷状态和单位状态二梁间无间隙，即d=0； 二梁间的间隙d=2mm。 题15-12图 解：d=0时 据 Fl3= 48EI得刚度系数 æ0.0304ö48´200´10´ç÷12F48EIèøN=6.48´105Nk=3= mml1.0039由此可得 9 5ææ4hkö4´0.020´6.48´10Fd=Pç1+1+1+1+÷=(600N)ççPø600èèö÷=6.209´103N ÷ø及 MmaxFdl6´6.209´103´1.00Nsmax=1.725´108Pa=172.5MPa 323W8´0.030mæaö8ç÷è6ød=2mm时 组合梁的应变能为 1212V=kd+k(d-d) 22而 Ep=(h+d)P 由 Ep=V 得 2dæd2PhöPæö-ç+d÷d+ç-÷=0 èkøkøè2解得二根，其中有用根为 d=k2(P+kd)+(P+kd)2+4kæçPh-dö÷è22kø=5.78´10-3m 由此得最大冲击载荷为 k22Fd=kd+k(d-d)=P+(P+kd)+4kæçPh-dö÷ è2ø上梁的变形较下梁大，设上梁中点承受的横向载荷为Fd1，则有 5N-33Fd1=kd=æç6.48´10ö÷´(5.78´10m)=3.747´10N èmø最大弯曲正应力在上梁中间截面处，其值为 M1max6Fd1l6´3.747´103´1.00Nsmax=2.08´108Pa=208MPa 332W4a4´0.030m15-13 图示圆截面小曲率圆环，一重量为P的物体自高度 h处自由下落。已知圆环的平均半径为R，横截面的直径为d，弹性模量为E，切变模量为G，圆环的质量与物体的变形忽略不计，试计算圆环内的最大正应力。 10 题15-13图 解：此为三度静不定问题。 1求被冲击点的静位移st 由题13-5之解可知， st(2-8)PR3PR3PR3=0.1488=3.03 () 4EIEIEd42求最大冲击载荷Fd æ2höFd=Pç1+1+÷ èstø3计算圆环内的最大正应力smax 由题13-5之解还可知，M值为 发生在冲击载荷作用处截面上，其maxMmax=由此得 FdR=0.318FdR smax=4检查 Mmax3.24PRæ2hö=1+1+ç÷ Wstød3è在水平直径两端的截面上，受M、FN联合作用，检查其正应力，其值小于以上所算结果；对任意截面求s(j)，进而求极值，未发现有新的极大值。 15-15图a所示弹性杆CD，以速度v沿水平方向匀速运动，冲击弹性梁AB。设11 杆的质量为M，长度为l，各截面的拉压刚度均为EA，梁的长度为2l，各截面的弯曲刚度均为EI，试计算梁内的最大冲击正应力。 题15-15图 解：当杆CD向左运动时，由于梁AB的阻碍，梁与杆同时受到冲击载荷作用。当杆件各质点的速度均为零时，冲击力最大，其值用Fd表示。 在冲击力Fd作用下，杆CD各点产生方向向右、大小相等的加速度，所以，作用在杆上的均布惯性力，方向则均向左，其集度则为 杆的轴力方程与梁的弯矩方程分别为 由此得杆与梁的应变能分别为 2FN(x)Fd2lV=òdx= 02EA6EA2 lM(x)Fd2 l2Fd2l3V=2òdx=xdx= 02EI4EIò 012EI当冲击力最大时，杆件减少的动能为 lq=Fd lFd(x-l) lFN(x)=qx-Fd=M(x)=Fdx (0£x£l) 2根据能量守恒定律，于是有 由此得 梁的最大弯矩为 故最大弯曲正应力为 Mv2E= 2Fd2lFd2l3Mv2+= 6EA12EI2Fd=v6MEAIl(2I+Al2)Mmax=Fdlvl=226MEAI 2l(2I+Al) 12 smax=Mmaxvl=W2W6MEAI 2l(2I+Al)15-16 图示圆截面轴AB，长为l，各截面的扭转刚度均为GI，轴右端安装一刚p性圆盘C，圆盘对x轴的转动惯量为I，圆轴对x轴的转动惯量忽略不计，试求系统的扭转固有频率。 解：圆轴的扭转刚度为 题15-16图 k=GIpT= TllGIp故系统的固有频率为 w0=GIpk =IlI15-17 图示外伸梁，由16工字钢制成，梁长l=4m，弹性模量E200GPa。梁端安装一重量为P=1kN的设备。阻尼与梁的质量均忽略不计。试求： (1) 系统振动的固有频率w0； (2) 当振幅A为截面C静位移Dst的4倍时，梁内最大弯曲正应力。 题15-17图 解：16工字钢的惯性矩与抗弯截面系数分别为 梁的刚度系数为 因此，系统的固有频率为 Iz=1.130´10-5m4， Wz=1.41´10-4m3 12EIz l3k=w0=12EIzgk12(200´109Pa)(1.13´10-5m4)(9.8m/s)=64.4rad/s MPl3(1´103N)(4.0m)3梁的最大弯曲静应力为 13 Pl(1´103N)(4.0m)sst,max=1.42´107Pa -432Wz2(1.41´10m)梁的最大弯曲动应力为 sd,max=sst,maxDst+4Dst=(1.42´107Pa)´5=7.09´107Pa=70.9 MPa Dst15-19图a所示等截面直杆，杆长为l，抗弯截面系数与弯曲刚度分别为W与EI。杆的下端安装一重量为P设备，当其以振幅A发生水平振动时，试求杆内的最大弯曲正应力。 解：杆的刚度系数为 杆端最大作用力为 因此，杆内的最大弯曲正应力为 题15-19图 k=3EI l33EIA 3lFd=kA=sd,max=Fdl3EIA=2 WlW 14