9第九章 多元函数微分学及其应用.docx

9第九章 多元函数微分学及其应用第九章 多元函数微分学及其应用 第九章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、求下列各函数的定义域，并作出其草图. (1) z=1-x2+1-y2； 解: 定义域D=(x,y)-1£x£1,-1£y£1,图略 2(2) z=4x-yln(1-x2-y2)； ì4x-y2³0解: 由ïí1-x2-y2>0得: ïî1-x2-y2¹1定义域D=(x,y)0<x2+y2<1,y2£4x,图略 (3) z=arcsin 解: 由-1£x2+2y2-1£1得: 定义域D=(x,y)x2+2y2£2,图略 设f(x-y,y22x)=x-y，求f(x,y) ììxt解:令ïx-y=tï=íy1-sïîx=s,得：íïts îy=1-s 2代入得f(t,s)=t(1+s)1-s2故f(x,y)=x(1+y)1-y 3、求下列极限： (1) lim1-(xy)2+exx®03； y®1x2+y解: (直接代入)原式=1-0+10+1=2 (2) lim1-cos(xy)； x®0x2y2y®0+1-11 第九章 多元函数微分学及其应用 (xy)2(x2y2+1+1)解:原式=lim2x®0y®0x2y2=1 (3)limsin(xy)1(1+xy)y； x®2y®0y×x原式= limx×sin(xy)1解:(1+xy)xy=2e2 x®2y®0xy4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 2(1) limx-yx®0y； y®0解:当x®0时，令y=kx2，则 22limx2-yy=limx-kx=1-k，其值与k有关，故极限不存在x®0x®0y®0y=kx2kx2k (2) lim5x-6yx2+y2； x®¥y®¥解:当x®¥,y®¥时，有 0£5x-6yx2+y2£5xx2+y2+6yx2+y2£5xx2+6yy2®0， 故lim5x-6yx®¥x2+y2=0 y®¥5、设f(x,y)=x-yx+y，求limlimf(x,y)和limlimf(x,y)试问：x®0y®0y®0x®0极限limf(x,y)是否存在？为什么？ x®0y®0解: limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=-1 x®0y®0y®0x®0极限limf(x,y)不存在，因为当x®0时，令y=kx，其值与k有关x®0y®026、研究函数f(x,y)=ì1,x+y2¹0íî0,x2+y2=0的连续性 解:limf(x,y)=1¹0=f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均连续x®0y®02 第九章 多元函数微分学及其应用 第二节 偏导数 填空题： 解: ¶z¶x=(1+xy)ln(1+xy)+xxy1+xy ，¶z¶y=x(1+xy)2x-1 (1) fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的 既非充分也非必要 条件； ìïz=(2)曲线 íïî1+x+yx=122(3) u=xy ； 在点(1,1,3)处的切线与y轴正向所成z解: ¶u¶x=yxzy-1z ，¶u¶y=zyz-1xyzlnx，¶u¶z=ylny×xzyzlnx 的角是p6； 3求下列函数的二阶偏导数： (1)z=xln(x+y) (3)设z=lnyx，则xy¶z¶x=-1x，¶z¶y=1y； 解: ¶z¶x=ln(x+y)+xx+y2 ，¶z¶y=xx+y， (4)设f(x,y,z)=ze，则fx(0,0,1)=0，fy(0,0,1)=0，fz(0,0,1)=1 2求下列函数的一阶偏导数： ¶z¶x222=x+2y(x+y)x(x+y)2，¶z¶x¶y¶z2=y(x+y)y(x+y)2， (1)z=¶z¶xxyx+y ； ¶z¶y2=-2，¶y¶x=2解: =y22(x+y) ，¶z¶y=x22(x+y) (2)z=arcsin¶z¶xxy1 ； (2) z=(1+xy) x解: =y-x22 ，¶z¶y=y-xy-x22， 3 第九章 多元函数微分学及其应用 ¶z¶x22=x(y2-x)2-32，¶z¶x¶y22=-y(y2-x)2-32， =limy®0ycos1(y)y2-0=limcosy®01(y)2，极限不存在，故此点处关于y¶z¶y22=xy2(y2-x)2-12+x(y-x)2-32，¶z¶y¶x2=-1y(y2-x)2-12+x(y22-x)2-32 1ì,ïycos224设函数f(x,y)=íx+yï0,îx+yx+y222¹0,=0,判断其在点(0,0)处的2连续性和偏导数是否存在 解: 1）Qlimf(x,y)=limycosx®0x®0y®0y®01x+y22=0=f(0,0) 故函数在点(0,0)处连续； 2）fx(0,0)=limfy(0,0)=limf(0+x,0)-f(0,0)x=lim0-0x=0 x®0x®0f(0,0+y)-f(0,0)yy®0的偏导数不存在 4 第九章 多元函数微分学及其应用 第三节 全微分 填空选择题： (1)二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微的充分必要条件是limz-dz=0，其中z=f(x+x,y+y)-f(x,y), ®0dz为表达式f2x(x,y)x+fy(x,y)x,r=(x)2+(y) (2) 在点(x,y)处df(x,y)存在的充分条件为C Af的全部二阶偏导数均存在； Bf连续； Cf的全部一阶偏导数均连续； Df连续且fx,fy均存在 2求函数z=xy当x=2，y=1，Dx=0.1，Dy=-0.2时的全增量和全微分 解:z=2.1´0.8-2´1=-0.32 dz=¶z¶xx+¶z¶yy=1´0.1+2´(-0.2)=-0.3 3求下列函数的全微分： 5 (1) z=x3y2 解: ¶z22¶z3¶x=3xy ，¶y=2xy dz=¶z¶z223¶xdx+¶ydy=3xydx+2xydy (2) z=xy解: ¶z¶x=12xy ，¶z¶y=-xyy2dz=¶zdx+¶z¶x¶ydy=1dx-xy2xyy2dy (3) u=ln(x2+y2+z2) 解: ¶u¶x=2xux2+y2+z2 ，¶¶y=2yx2+y2+z2，¶u2z¶z=x2+y2+z2第九章 多元函数微分学及其应用 du=2xx+y+z222dx+2yx+y+z222dy+2zx+y+z222dz 4讨论函数z=¶z¶x(0,0)xy在点(0,0)处的可导性与可微性 解:=limx×0-0xx®0=0, ¶z¶y(0,0)=lim0×y-0yx®0=0, 故函数z=xy在点(0,0)处的偏导数存在； 但limz-dz®0=limxy®0(x)2+(y)2，其中r=(x)2+(y) 2易知当(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时此极限不存在。故函数z=xy在点(0,0)处不可微 6 第九章 多元函数微分学及其应用 第四节 多元复合函数的求导法则 求下列函数的偏导数或全导数： (1) z=x2-y2，x=3t,y=4t3 解:dzdxdt=¶z¶z¶x×dt+¶y×dydt=1(3x-12yt3) x2-y2= 1(6t-48t6) 9t2-16t6(2) z=y+f(v),v=y2-x2，其中f可导 解: ¶z¢¶x=f(v)׶v¶x=-2xf¢(v) ¶z¶y=1+f¢(v)׶v¶y=1+2yf¢(v) (3) z=xey，y=j(x)，其中j可导 解: dz¶zzdyyydx=¶x+¶¶y×dx=e+xej¢(x) (4)设z=u2v3,u=x+2y,v=x-y，求¶zz¶x,¶¶y 解: ¶zzu¶zv2¶x=¶¶u׶¶x+¶v׶¶x=2uv3+3u2v ¶z¶u¶y=¶z¶u׶y+¶z¶v׶v¶y=4uv3-3u2v2(5) z=u2v3w，u=2t+1,v=t3,w=3t-1 解:dzdt=4uv3w+9u2v2wt2+3u2v32求下列函数的偏导数： (1) z=f(x2+y3,sin(xy)，其中f可导，求¶z¶z¶x， ¶y解: ¶z¶x=2xf1¢+ycos(xy)f2¢ ¶z¶y=3y2f1¢+xcos(xy)f2¢ (2) u=f(x-exy+xsin(yz)，其中f可导，求¶u¶x，¶u，¶u¶y¶z解: ¶u=¶(1-exxy+sin(yz)f¢， 7 第九章 多元函数微分学及其应用 ¶u¶y=(-ex+xzcos(yz)f¢ ，¶u¶z=xycos(yz)f¢ 2(3) 设z=f(u,x,y),u=xey，其中f二阶可导，求¶z¶x，¶z¶x¶y 解: ¶zy¶x=ef1¢+f2¢， ¶2z=eyf2yfyy¶x¶y1¢+xe11¢¢+ef13¢¢+xef21¢¢+f23¢¢ ¶2z2(4) 设z=f(xy2,x2y),f具有二阶连续偏导数，求，¶z¶2z¶x2¶x¶y，¶y2解: ¶z¶x=y2f21¢+2xyf2¢，¶z¶y=2xyf1¢+xf2¢ ¶2z¶x=2yf422¢+yf11¢¢+4xy3f12¢¢+4x2y2f22¢¢ ¶2z¶x¶y=2yf1¢+2xf2¢+2xy3f¢¢+5x2y2f31112¢¢+2xyf22¢¢ ¶2z¶y2=2xf1¢+4x2y2f¢¢+4x3yf41112¢¢+xf22¢¢ 3已知函数f，g可导，验证u=f(x+at)+g(x-at)满足 ¶2u¶2u¶t2=a2¶x2 2证明：¶u¢¶t=af¢-ag，¶u¶t2=a2f¢¢+a2g¢¢， ¶u222¶x=f¢+g¢，¶u¶x2=f¢¢+g¢¢，故¶u2¶u ¶t2=a¶x28 第九章 多元函数微分学及其应用 第五节 隐函数的求导公式 1设方程xy+x2+y2=2确定了隐函数y=y(x)，求22dz=dydxcos(x+y-z)-1cos(x+y-z)+1dx+cos(x+y-z)cos(x+y-z)+1dy 3设方程e-xy+e-z=2z确定了隐函数z=z(x,y)，求¶z¶x，¶z¶x22 解:令F(x,y)=xy+x+y-2，Fx=y+2x 解:令F(x,y,z)=eFy=x+2y， -xy+e-z-2z，Fx=-yexy，Fz=-ez-2 则dydx=-FxFy=-y+2xx+2y， 则¶z¶x=-FxFz-xy=-ye-z-xy(e-z+2)， 提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。 2设方程sin(x+y-z)=z+x确定了隐函数z=z(x,y)，求dz ¶z¶x¶z¶x22=ye2(e+2)2+e3-(z+xy)(e-z +2)，¶z¶y，4设隐函数z=z(x,y)由方程F(x+zy,y+zx)=0所确定，证明解:令F(x,y,z)=sin(x+y-z)-z-x，Fx=cos(x+y-z)-1 Fy=cos(x+y-z)，Fz=-cos(x+y-z)-1 x¶z¶x+y¶z¶y=z-xy zx2证明：Fx=F1¢-则¶z¶x=-FxFzF2¢ =cos(x+y-z)-1cos(x+y-z)+1，¶z¶y=-FyFz=cos(x+y-z)cos(x+y-z)+1Fy=-zy2F1¢+F2¢，Fz=1yF1¢+1xF2¢, 9 第九章 多元函数微分学及其应用 ¶z¶x=-FxFzF1¢-=-1zx2F2¢F1¢+1,F2¢¶z¶y=-FyFzF2¢-=-1zy2F1¢F1¢+1, F2¢ì23uïïíï3v2¶u¶x¶v+v+x+y¶u¶v¶x=1=0故¶u¶x=-3v-x9uv-xy223，¶v¶x=3u+yv9uv-xy222yxy故x¶z¶x+y¶z¶y=z-xy 5求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：ìx2+y2+z2(1)设-50=0í，求dydzîx+2y+3z=4dx，dx 解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： ìdydzïï2x+2y+2z=0ídxdx ïïî1+2dydx+3dzdx=0故dy-3x+zdx=，dz2x-y3y-2zdx=3y-2z (2)设ìu3+xu=yí，求¶u，¶u，¶v，¶vîv3 +yu=x¶x¶y¶x¶y解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： xïî¶x¶x23同理可得到：¶u3v+xuv-3u-y ¶y=9u2v2，¶-xy¶y=9u2v2-xy6设y=f(x,t),而t是由F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求dydx 解:联立方程组y=f(x,t)íìx求偏导，得： îF(x,y,t)=0两边直接对自变量ìdy¶tïï=fx¢+ftídx¶x ïdy¶tïîFx+Fydx+Ft¶x=0故dy=fxFt-ftFxdxftF y+Ft10 第九章 多元函数微分学及其应用 第六节 多元函数微分学的几何应用 1求曲线x=t,y=sint,z=1cost在对应t=解:用隐函数组求导的方法得到pdydx=2xz+x-y-2yz，dzdx=0-y-2yz的点处的切线方程和224法平面方程 解:切向量Tr=(x¢,y¢,z¢)12t=(,-2) 42,24曲线在对应t=p4的点处的切线方程为： x-py-228=2z-41，法平面方程为：2=222-41(x-p22228)+22(y-2)-4(z-4)=0，即2x+22y-2z=p34+2 2求曲线ìx2+y2+z2=6í在点Mîz=x20(1,1,2)处的切线方程及法平面方+y2程 点rM1,dydz0(1,1,2)处的切向量T=(dx,dx)=(1,-1,0) M0曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为： x-1y-121=-1=z-0，法平面方程为：x-y=0 3求曲面z=x2+y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程 解: 法向量nr=(zx,zy,-1)(1,1,2)=(2,2,-1) 故所求切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0即2x+2y-z-2=0 法线方程为：x-1-12=y2=z-2-14求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面p的方程，使平面p过已知直线L:x-62=y-31=2z-1-2 11 第九章 多元函数微分学及其应用 解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，则切平面p的法向量r1r直线L过点(6,3,)，且方向向量为l=(2,1,-1)， n=(2x0,4y0,6z0)，2设向量s=çrrrrræbcö,1÷，有n×s=0，即ns， èaaør，该直线就是所求平s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量ì4x0+4y0-6z0=0ï1ï故有í2x0(x0-6)+4y0(y0-3)+6z0(z0-)=0， 2ï222ïx0+2y0+3z0=21îìx0=3ìx0=1ïï解得íy0=0或íy0=2 ïz=2ïz=2î0î0行于切平面的定直线 所求切平面方程为x+2z=7或x+4y+6z=21 注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面p的方程，同样可求得点(x0y0,z0)，过程略 5设F(u,v)是可微函数，证明：曲面F(ax-bz,ay-cz)=0(abc¹0)的切平面平行于某定直线 证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量rn=(aF1,aF2,-bF1-cF2)， 12 第九章 多元函数微分学及其应用 第七节 方向导数与梯度 1填空题： ，其方向余弦为cosa=352¶u¶z，cosb=452，cosg=-552(1) f,f在点(x0,y0)处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分'x'y也不必要条件 ¶uxy(2) 函数z=xe2 rr(1,0)在点沿i+j方向的方向导数最大，其最大值是¶x¶u¶l=20，(3,4,5)¶u¶y(3,4,5)=15，=12 (3,4,5)=¶u¶x×cosa+¶u¶y×cosb+¶u¶z×cosg=62 2求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数 解: ¶z¶x4设f(x,y,z)=x2yz，求grad方向导数 dydx(1,2)f(1,2,-1)，并求函数沿该梯度方向的=1x+y，¶z¶y¶z¶y=1x+y，tanq=22，q=p4， 2解:fx=2xyz，fy=xz，fx=xy 2grad¶z¶l=¶z¶x×cosq+×sinq=23rrr¶uf(1,2,-1)=-4i-j+2k，=grad¶lf(1,2,-1)=21 3求函数u=xyz在点(3,4,5)处沿着锥面z=方向导数 解: ¶z¶xx+y22的外法线方向的=xx+y22=35，¶z¶y=yx+y22=45，锥面的外法线方向为 13 第九章 多元函数微分学及其应用 第八节 多元函数的极值及其求法 1填空题： (1)二元函数的极值只可能在驻点和_不可导点_处取得 3求由6x2+4y2+3z2-12x+6z-3=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解:令F(x,y,z)=6x2+4y2+3z2-12x+6z-3由隐函数求导得Fx2x-2ì¶z=-=-=0ïFzz+1ï¶x得驻点(1,0)， 代入原方程得： íF¶z4yyï=-=-=0ïFz3z+3î¶yz+2z-3=0，解得z=1,z=-3，由方程知此曲面为椭球面，故 2(2)若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有fx(x0,y0)=_0_,fy(x0,y0)=_0_ 2求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值 ìfx=y(a-x-y)-xy=0aa解:由í得驻点(0,0)，(0,a)，(a,0)，(,) 33îfy=x(a-x-y)-xy=0函数z=f(x,y)的极大值为1，极小值为-3 4求函数z=cosx+cosy+cos(x-y)在闭区域A=fxx=-2y，B=fxy=a-2x-2y，C=fyy=-2x 对四个驻点分别计算AC-B，易知(0,0)，(0,a)，(a,0)处都有D:0£x£AC-B22p2,0£y£p2上的最大值和最小值 <0，故都不是极值点，而(a3,a3)处AC-B2=a29a3>0，解: (1)求D内的驻点： ì¶z=-sinx-sin(x-y)=0ïï¶x由í¶z得sinx+siny=0，无零点，故D=-siny+sin(x-y)=0ïïî¶yA=-2y=-23a,所以当a>0时，函数在此点取得极小值27，当a<0内时，函数在此点取得极大值a327 无驻点，函数的最值只能在边界上达到； (2) 求函数在边界上的最值 14 第九章 多元函数微分学及其应用 当x=0,0£y£2时，z=1+2cosy，z(0,0)=3,z(0,)=1，同理可2p6求函数u=xyz在条件x2+y2+z2=1，x+y+z=0下的极值 解: 作拉格朗日函数L(x,y,z)=xyz+(x2讨论另外三条边界，得z(p2,0)=z(pp2,2)=1 +y+z-1)+(x+y+z) 22(,0)，(,)函数的最大值3在(0,0)处达到，最小值1在(0,)，2222pppp三点处达到 5经过第一卦限中的点a,b,c作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小 解:设该平面方程为xACABC1目标函数：四面体体积V=ABC， 61abc+-1) 作拉格朗日函数L(A,B,C)=ABC+(6ABC+yB+z=1，则有a+b+c=1， ìFxïFïyï由íFzïïïî=yz+2x+=0=xz+2y+=0=xy+2z+=0得驻点M1,2=±(x+y+z22216,16,-26)，=1x+y+z=0M3,4=±(-26,16,16)，M5,6=±(16,-26,16) 222两曲面x+y+z=1，x+y+z=0的交线为一个圆心在原点，半径为1的大圆，易得函数在M1,M3,M5三点处有极小值-136，在LAìïLBï由íLCïabï+BîA=0ìA=3aï得驻点íB=3b =0ïC=3ccî+=1C=0M2,M3,M6三点处有极大值136 由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为3a,3b,3c时，满足题意。 15 第九章 多元函数微分学及其应用 第八章综合练习 1用不等式和图形表示下列二元函数的定义域： (1)z=4y-x2-y2+x2+y2-2y 解: 定义域：D=(x,y)2y£x2+y2£4y，图略(2)z=ln(y-x)2x-y 解: 定义域：D=(x,y)x<y<2x，图略 2求下列函数的极限： 2(1)lim4x-yx®1ln(1-x22-y)y®20解: 原式=2ln3-ln4(2) lim(x2+y2)sin1xyx®0y®0解: 原式= 3求下列函数的偏导数： (1)z=(y-2)sinxln(y+ex2)+x2，求¶z¶x(1,2) 解: ¶zd(zy=2)¶x(1,2)=dx=2xx=1=； x=1(2)u=exyz，求¶3u¶x¶y¶z 2解:¶z¶x=yzexyz，¶z¶x¶y=(xyz2+z)exyz ，¶3u222¶x¶y¶z=exyz(xyz+3xyz+1) 4求下列函数的全微分： (1)z=arctanx+yx-y； 解: ¶z¶x=x-yxdy-ydxx2，¶z+y2¶y=x2+y2dz=x2+y2；(2)u=(zy)x 16 第九章 多元函数微分学及其应用 解: du=( zy)(lnxzy)dx-xydy+xzdz 7设f(u,v)具有二阶连续的偏导数，且满足22¶f¶u22+¶f¶v22=0，证明：5已知y=ety+x，而t是方程y2+t2-x2=1确定的x,y的函数，求dydxj(x,y)=f(x-y,2xy)也满足22¶j¶x2+¶j¶y2=0 ì2证明：y=e2ty¶j¶x=2x¶f¶u+2y¶f¶v，¶j¶y¶f2=-2y¶f¶u2+2x¶f¶v， 解: 方程组í+x2îy+t-x=1确定隐函数组íìy=y(x)ît=t(x)，将它两边直接对¶j¶x222=2¶f¶u+4x2¶f¶u222+8xy自变量x求偏导，得： dtdyìdyty=e(y+t)+1ïïdxdxdx íï2ydy+2tdt-2x=0ïdxdxî¶u¶v2+4y2¶f¶v22， ¶j¶y2=-2¶f¶u2+4y¶f¶u222-8xy¶f¶u¶v2+4x¶f¶v22， ¶j¶x22+¶j¶y2=4(x+y)(2¶f¶u2+¶f¶v22)=0 故 dydx=t+xyet+(y2ty2ty -t)e8在螺旋线x=2cosq,y=sinq,z=qzy'(0£q£2p)上求一点，使曲6设z=z(x,y)由方程F(x+,y+zx)=0确定，求¶z¶x2和¶z¶y 线在该点的切线平行于平面x+2z=4 rT解: 切向量=(x¢,y¢,z¢)=(-2sinq,cosq,1) 解: ¶z¶x=-FxFz=yzF2-xyF1xF1+xyF2'''2，¶z¶y=-FyFz=xzF1-xyF2xyF1+yF2'2'''r平面的法向量为法向量n=(1,0,2) 17 第九章 多元函数微分学及其应用 rv由T×n=0得2sinq=2，q=p4或q=3p4¶u¶z(1,1,1)-1+=-(x+2y-z)1+(x+2y-z)2223p2p,) 故所求点为(2,)或(-2,2424=-2-5x+2y-z+1+(x+2y-z)5+259求函数u=lnx+2y-z+1+(x+2y-z)rl=(1,2,2)方向的方向导数 2(1,1,1)在点(1,1,1)处沿向量¶u¶l=¶u¶x×cosa+¶u¶y×cosb+¶u¶z×cosg=2+55+25=1523解:方向余弦为cosa=13，cosb=，cosg=23 10设f(x,y)=3x+4y-ax2-2ay2-2bxy，试问：参数a,b满足什么条件时f(x,y)有唯一极大值？有唯一极小值？ 1+¶u¶x(1,1,1)x+2y-z1+(x+2y-z)22=2+5，x+2y-z+1+(x+2y-z)5+25解:fx=3-2x-2y, fy=4-4y-2x,当2a一驻点ççæ3-4è222-b2¹0函数有唯(1,1,1)-42,3a-2bö÷，又在此点处有 22÷2a-bø2+2(x+2y-z)1+(x+2y-z)22¶u¶y(1,1,1)=4+255+25A=fxx=-2,B=fxy=-2,C=fyy=-4a, ，AC-B2x+2y-z+1+(x+2y-z)=8a22-4b 22(1,1,1)故当2a-b2>0且a>0时函数有唯一极大值，当2a-b2>0且a<0时函数有唯一极大值 18 第九章 多元函数微分学及其应用 11求曲面x+y+z=1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大 解: 曲面上任意点(x处的法向量nr=æç111ö0,y0,z0)ç÷è2x,02y02z0÷ ø切平面方程为12x(x-x0)+102y(y-y0)+10)=0，即 02z(z-z01,yxx+10yy+10zz=1，所以截距分别为x00,z0 0目标函数设为f(x0,y0,z0)=x0y0z0， 作拉格朗日函数L(x0,y0,z0)=x0y0z0+(x0+y0+z0-1) ìïLx0=y0z0+=0ï2x0ì1ïïx0=0ï9由ïLyí0=x0z0+2yï=10得唯一驻点íy0 ïïLz0=x0y0+=0ï9ï2zïz=10ïïî09îx0+y0+z0=1故所求切平面的方程是x+y+z=13 19