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91高等数学同济大学第六本习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 Q=òòm(x,y)dsD. 2. 设I1=òò(x2+y2)3ds, 其中D1=(x, y)|-1£x£1, -2£y£2; D1 又I2=òò(x2+y2)3ds, 其中D2=(x, y)|0£x£1, 0£y£2. D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故 V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)òòds=s (其中s为D的面积); D 证明 由二重积分的定义可知, òòDf(x,y)ds=liml®0ånf(xi,hi)Dsi i=1其中Dsi表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, òòdsD=liml®0åDsi=1ni=lims=sl®0. (2)òòkf(x,y)ds=kòòf(x,y)ds (其中k为常数); DD 证明 òòkf(x,y)dsDni=1=liml®0åkf(x,h)Dsiii=1ni=limkåf(xi,hi)Dsi l®0i=1n =klimåf(xi,hi)Dsi=kòòf(x,y)ds. l®0D (3)òòf(x,y)ds=òòf(x,y)ds+òòf(x,y)ds, DD1D2其中D=D1ÈD2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域Dsi和Dsi, 12n1+n2=n, 作和 ånn1n2i=1f(xi,hi)Dsi=åf(xi1,hi1)Dsi1+åf(xi2,hi2)Dsi2i1=1i2=1. 令各Dsi和Dsi的直径中最大值分别为l1和l2, 又12l=max(l1l2), 则有 limåf(xi,hi)Dsi=llimåf(xi,hi)Dsi+llimåf(xi,hi)Dsi, ®0®0l®0i=11nn1n2i1=11112i2=1222即 òòDf(x,y)ds=òòf(x,y)ds+òòf(x,y)dsD1D2. 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)òò(x+y)2ds与òò(x+y)3ds, 其中积分区域D是由x轴, yDD轴与直线x+y=1所围成; 解 区域D为: D=(x, y)|0£x, 0£y, x+y£1, 因此当(x, y)ÎD时, 有(x+y)3£(x+y)2, 从而 32(x+y)ds(x+y)ds. £òòòòDD (2)òò(x+y)2ds与òò(x+y)3ds, 其中积分区域D是由圆周DD(x-2)2+(y-1)2=2所围成; 解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)ÎD时, x+y³1, 从而(x+y)3³(x+y)2, 因而 23(x+y)ds£(x+y)ds. òòòòDD (3)òòln(x+y)ds与òò(x+y)3ds, 其中D是三角形闭区域, 三DD角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D如图所示, 显然当(x, y)ÎD时, 1£x+y£2, 从而0£ln(x+y)£1, 故有 ln(x+y)2£ ln(x+y), 因而 2ln(x+y)ds³òòln(x+y)ds. òòDD (4)òòln(x+y)ds与òò(x+y)3ds, 其中D=(x, y)|3£x£5. 0£y£1. DD 解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)ÎD时, x+y³e, 从而 ln(x+y)³1, 因而 ln(x+y)2³ln(x+y), 故 2ln(x+y)ds£ln(x+y)ds. òòòòDD 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)I=òòxy(x+y)ds, 其中D=(x, y)| 0£x£1, 0£y£1; D 解 因为在区域D上0£x£1, 0£y£1, 所以 0£xy£1, 0£x+y£2, 进一步可得 0£xy(x+y)£2, 于是 òò0ds£òòxy(x+y)ds£òò2ds, DDD即 0£òòxy(x+y)ds£2. D (2)I=òòsin2xsin2yds, 其中D=(x, y)| 0£x£p, 0£y£p; D 解 因为0£sin2x£1, 0£sin2y£1, 所以0£sin2xsin2y£1. 于是 220ds£sinxsinyds£òò1ds, òòòòDDD即 0£òòsin2xsin2yds£p2. D (3)I=òò(x+y+1)ds, 其中D=(x, y)| 0£x£1, 0£y£2; D 解 因为在区域D上, 0£x£1, 0£y£2, 所以1£x+y+1£4, 于是 òòds£òò(x+y+1)ds£òò4dsDDDD, 即 2£òò(x+y+1)ds£8. (4)I=òò(x2+4y2+9)ds, 其中D=(x, y)| x2+y2 £4. D 解 在D上, 因为0£x2+y2£4, 所以 9£x2+4y2+9£4(x2+y2)+9£25. 于是 229ds£(x+4y+9)ds£òò25ds, òòòòDDD 9p22£òò(x2+4y2+9)ds£25×p×22, D即 36p£òò(x2+4y2+9)ds£100p. D
