57哈密顿原理作业.docx

57哈密顿原理作业哈哈密密顿顿原原理理作作业业 1.如图示，质量为m的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为I0，质心C到悬点O的距离为l，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振动周期。 1.解:取q为广义坐标，则拉格朗日函数为： L=T-V=12&+mglcosq I0q2其中取悬点O为零势能点。 &2+mglcosq÷dt=0 于是哈密顿原理dòLdt=0可得：dòçI0qtt1t2t21æ1öøè2即：òt2t1(I0&dq&-mglsinqdqdt=0qddt(dq)=ddt)&dq&=Iq&而I0q0&dq)-I&&dq(I0qq0则：òt2t1(&dq&-mglsinqdqdt=I0qt2t1)òt2t1æd&dq)-I&&dq-mglsinqdqö(I0qqç÷dt=0 0dtèø&dq即：I0q&dq而I0qt2t1-ò(It1t20&&+mglsinqdqdt=0q)=0，dq取任意值 &+mglsinq=0 q所以：I0&&+q即：&mglI0sinq=0q=0，此即为所求的运动方程。 &+q而sinq»q，则:&mglI0其中角频率w=mgl/I0所以振动周期T=2p/w=2pI0/(mgl)。 2.试用哈密顿原理求质量为m的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。 2.解:取x,y,z为广义坐标，则： 体系的动能T=12 势能V=mgz&2+y&2+z&2) m(x12&m(x2 拉氏函数L=T-V=&2+z&2)-mgz+y &2+y&2+z&2)-mgz÷dt=0 于是哈密顿原理dòLdt=0可得：dòçm(xtt1t2t21æ1öøè2&dx&+my&dy&+mz&dz&-mgdz)dt=0 即：ò(mxt1t2&dx&=x&而xddtd(dx)=ddtd&dx)-&&dx (xx&dy&=y& y&dz&=z& zdtddt(dy)=(dz)=dtddt&dy)-&&dy(yy&dz)-&(zz&dzt2t1t2t1&dx+my&dy+mz&dz)则：(mxt21-&dx+m&&dy+m&&dz+mgdz)dtxyzò(m&=0 &dx+my&dy+mz&dz)=0，dxdydz相互独立且取任意值 而(mxt所以所求的运动微分方程为： &=0xìm&ï&=0y ím& ïm&&+mg=0îz3.试用哈密顿原理求单摆的微振动方程和周期。 3.解:设单摆的摆长为l，摆锤质量为m，取q为广义坐标，则拉格朗日函数为：L=T-V=12t22&2mlq+mglcosq其中取悬点o为零势能点。 于是哈密顿原理dòLdt=0可得： t1&2+mglcosq÷dt=0 dòçml2qt1t2æ1öøè2即：òt2t1(ml2&dq&-mglsinqdqdt=0 q)&dq&=q&d(dq)=d(q&dq)-&&dq q而qdtdt&dq则：mlq2t2t1-ò(mlt1t22&&+mglsinqdqdt=0 q)&dq而qt2t1=0gl，dq取任意值 &+q则：&sinq=0 glq=0，此即为单摆的微振动方程 &+q而sinq»q，则&于是角频率w=g/l 所以周期T=2p/w=2pl/g。 4.试用哈密顿原理求一维谐振子的微振动方程和周期。 4.解:设一维谐振子的屈强系数为k，质量为m，取x为广义坐标，则拉格朗日函数为：L=T-V=12mx&2-12kx2其中以平衡位置为零势能点。 于是哈密顿原理dòt2Ldt=0t可得： 1 dòt2çæ1mx&2-1t12kx2öè2÷dt=0ø 即：òt2(mx&dx&-kxdx)dt=0t 1而x&dx&=x&dddt(dx)=dt(x&dx)-&x&dx 则：mx&dxt2t-òt2(mx&&+kx)dxdt=01t 1而mx&dxt2t=0，dx取任意值 1则：m&x&+kx=0 此即为一维谐振子的微振动方程。 于是角频率w=k/m 所以周期T=2p/w=2pm/k。