51 常微分方程的基本概念.docx

51 常微分方程的基本概念5.1 常微分方程的基本概念 引例1 英国学者马尔萨斯认为人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻人口数为x(t），则人口增长速度成正比，从而建立了Malthus模型 与人口总量x这是一个含有一阶导数的模型。 引例2 货轮在平静的海面上以20m/s 的速度行驶，当制动时，货轮加速度为-0.4m/s2，求制动后货轮的运动规律。 解 设货轮开始制动后t秒内行使了s米，按题意，欲求出未知函数s=s。已知加速度 这是一个含有二阶导数的模型. 像这种含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。 例如 这里是自变量，是的未知函数，而二阶，n 阶导数。 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。 如果函数满足一个微分方程，依次是未知函数的一阶，则称它是该微分方程的解。微分方程确定的隐函数.如果微分方程的解中的解可以是显函数，也可以是由关系式含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解称为微分方程的通解。 当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件.满足给定的初始条件的解，称为微分方程满足该初始条件的特解。 微分方程的特解的几何图形，称为该方程的一条积分曲线，而通解的图形在几何上则表示积分曲线族。 的微分方程称为可分离变量的微分方程。 例如方程。 等等都是可分离变量的微分的微分方程称为齐次微分方程。 的方程称为一阶线性微分方程，“线性”是指在方程中含有未知函数和它的导数的项都是关于，的一次项. 而q称为自由项。当q=0时， 称为一阶线性齐次微分方程，当q0时，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 的微分方程，当p、q 是常数时，称为二阶线性常系数齐次微分方程。 的二阶微分方程，方程中未知函数及其各阶导数，是以一次方形式出现，称为二阶线性微分方程。其中=0时，方程 ， 都是自变量的已知函数，当称为二阶线性齐次微分方程。当例如 0时，称为二阶线性非齐次微分方程。 为二阶线性常系数非齐次微分方程