43 定积分的几何意义和性质.docx

43 定积分的几何意义和性质模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 定积分几何意义和性质 模块编号 4-3 先行知识 定积分的概念 模块编号 4-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、理解定积分的几1、定积分的几何意义 何意义 熟悉 2、理解定积分的性2、定积分的性质，用定积分的性质求解问质，运用定积分的性题 质求解问题 能力目标 培养学生分析问题的能力 时间分配 45分钟 编撰 王明 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：通过图形和定积分的几何意义让学生直观理解定积分的性质。 特点：培养学生的理解能力。 二、授课部分 知识回顾 定积分的概念 新课讲授 1、定积分的几何意义 (1)当f(x)³0时, 定积分òf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)、ab两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积； (2)当f(x)£0时, 由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定积分òaf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值； (3)当f(x)在区间a,b上的值有正有负时，òf(x)dx等于a,b上x轴abb上方各曲边梯形面积总和减去x轴下方曲边梯形面积总和。例如，若f(x)如图所示，则òf(x)dx=S1-S2+S3 ab 图1 特别的，如果在区间ab上f (x)º1 ，则òa1dx=òadx=b-a 下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分: 例1 用定积分的几何意义求ò(1-x)dx. 01bb解 函数y=1-x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高 111均为1, 所以ò(1-x)dx=´1´1=. 022 1 y=1-x 1 图2 例2 用定积分的几何意义求òR-RR2-x2dx. 解：由定积分的几何意义可知òR-RR2-x2dx表示由曲线y=R2-x2与y=0所围成的半圆的面积，因此 R122R-xdx=pR2 ò-R2(选择)例3 将下列图形的面积用定积分的形式表示出来。 y=exy=x20 1 4 0 3 图3 图4 解：图形4是由曲线y=x2，x=0及x=3所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为A=òx2dx；图形3是由曲线y=ex，x=1及03x=4所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为A=òexdx 142、定积分的性质 这里先补充两点约定: (1)当a=b时,òf(x)dx=0. ab(2)òaf(x)dx=-òbf(x)dx. 下列性质中，均假定所讨论的定积分是存在的. 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) ，即 baòaf(x)±g(x)dx=òaf(x)dx±òag(x)dx. 证明: òaf(x)±g(x)dx=limåf(xi)±g(xi)Dxi l®0i=1bbbbn=limåf(xi)Dxi±limåg(xi)Dxi l®0i=1l®0i=1nn=òaf(x)dx±òag(x)dx. bb例如：ò(x+e)dx=òxdx-òexdx 00012x121性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即 òakf(x)dx=kòaf(x)dx. bb证明：òakf(x)dx=limåkf(xi)Dxi=klimåf(xi)Dxi=kòaf(x)dx. l®0i=11bnnbl®0i=13 002性质3设a<c<b，则 例如：ò3(1-x)dx=3ò(1-x)dx=1òaf(x)dx=òaf(x)dx+òcf(x)dx. 例如：当被积函数f(x)³0时(如图5所示)，òf(x)dx表示由曲线abbcby=f (x)、两条直x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积A；òf(x)dxac表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面积A1;òf(x)dx表示由曲线y=f (x)、两条直线x=b、x=c与x轴所围成cb的曲边梯形的面积A2;显然A=A1+A2，故 òaf(x)dx=òaf(x)dx+òcbcbf(x)dx. 同理当被积函数为其它形式时亦是如此. y=f(x) A1 A2 a 图5 c b 说明：这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 注 ：不论a,b,c的相对位置如何，总有等式 òaf(x)dx=òaf(x)dx+òcf(x)dx 成立. 例如, 当a<b<c时, 由于 bcbòaf(x)dx=òaf(x)dx+òbf(x)dx 于是有òaf(x)dx=òaf(x)dx-òbf(x)dx=òaf(x)dx+òcf(x)dx. ì1ï1-x2,xÎ-1,0)例3：计算f(x)=í，试计算定积分òf(x)dx -1xÎ0,1ïî1-x,bcccbcbc解：根据积分区间的可加性 ò1-1f(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dx -1001=ò0-11-xdx+ò(1-x)dx 00-121由定积分的几何意义知，ò1-x2dx是由x轴，y轴以及单位圆周位于第二象限的部分围成的四分之一圆的面积，即 0p21-xdx= ò-14，即ò(1-x)dx=011 2因此 图6 ò1-1f(x)dx=p4+1 2y=1-x2 y=1-x -1 1 性质4如果在区间a, b上 f (x)³0, 则òaf(x)dx³0(a<b). 注：若在区间a, b上 f (x)³0, 积分òaf(x)dx表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积，而面积一定是非负的. 推论1 如果在区间a, b上 f (x)£g(x) ，则bbòaf(x)dx£òag(x)dx(a<b). 证明：这是因为g (x)-f (x)³0, 从而 bbòag(x)dx-òaf(x)dx=òag(x)-f(x)dx³0 所以 òaf(x)dx£òag(x)dx. 注：推论1表明在同一区间上，被积函数越大相应的积分值也越bbbbb大。故该性质可用来比较同一区间上两个积分值的大小 例4：不计算积分，比较òxdx与òx3dx的大小. 00121解：因为"xÎ0,1，有x3£x2，所以 ò10x3dx£òx2dx 01推论2 若f(x)在区间a, b上可积，则f(x)在a, b上也可积，且有|òaf(x)dx|£òa|f(x)|dx(a<b). bb 证明: 这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以 -òa|f(x)|dx£òaf(x)dx£òa|f(x)|dx, bbb即 |òaf(x)dx|£òa|f(x)|dx| . 注：推论2表明积分的绝对值小于等于绝对值的积分. 性质5 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则m(b-a)£òaf(x)dx£M(b-a)(a<b). bbb证明： 因为 m£ f (x)£ M , 所以 òamdx£òaf(x)dx£òaMdx 从而 m(b-a)£òaf(x)dx£M(b-a). 注：此性质可用来估计定积分值的范围. 若用此性质来估计定积分值的范围，只须求出被积函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值，然后代入公式即可. bbbb 例5：估计定积分òe-xdx值得范围. -122解：先求f(x)=e-x在-1,2上的最大值M和最小值m 由f¢(x)=-2xe-x=0，即x=0 得f(0)=1,f(-1)=e-1,f(2)=e-4 故M=1,m=e-4，又2-(-1)=3，因此 223e-4£òe-xdx£3 -122性质6 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x, 使下式成立: òaf(x)dx=f(x)(b-a). 这个公式叫做积分中值公式. b证明 由性质6m(b-a)£òaf(x)dx£M(b-a), b各项除以b-a得 m£1òaf(x)dx£M b-ab再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点 , 使 bf(x)=1òaf(x)dx b-a于是两端乘以b-a得中值公式 òaf(x)dx=f(x)(b-a). 注:不论a<b还是a>b, 积分中值公式都成立. 此性质的几何意义是：由y=f(x)、x=a、x=b及x轴围成的曲边梯形的面积等于由y=f(x)、x=a、x=b及x轴围成的矩形的面积(见图7)。 b f(x) y=f(x) ba x 图7 三、能力反馈部分 1、计算定积分òxdx. -112、不计算积分，比较òxdx与òx3dx的大小. 112223、估计定积分ò1x4dx的值。 24