414分部积分法.docx

414分部积分法模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 积分学 分部积分法 1、凑微分法 2、第二换元积分 知识内容 1、分部积分法公式的推导 2、用分部积分法求函数的不定积分 能力目标 时间分配 1、培养学生的知识迁移能力 2、培养学生的计算能力 60分钟 编撰 尧克刚 校对 熊文婷 审核 危子青 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 理解分部积分公式 熟练掌握用分部积分法求函数的不定积分。 熟练掌握 计算模块 4-14 4-9 4-11 掌握程度 一、正文编写思路及特点： 思路：引入分部积分法求积分的方法和思路，使学生能够理解分部积分法求函数的积分的方法和思路。 特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。 一、 授课部分 (一)新课讲授 引例：òxcosxdx如何积分？ 我们发现此题用前面学过的积分方法解决不了，要解决此类积分需用到我们今天要学习的分部积分法.我们首先给出不定积分的分部积分公式. 1. 不定积分的分部积分公式 利用两个函数乘积的求导法则可以推导出求不定积分的一中积分方法-分部积分法. 设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则有 (uv)'=u'v+uv' 移项得 uv'=(uv)'-u'v 上式两边求积分得òuv¢dx=uv-òu¢vdx 或 òudv=uv-òvdu 称上式为分部积分公式。 说明：1）分部积分公式的作用在于把左端不易求出的不定积分òudv转化为右端容易求出的不定积分òvdu 2）在具体应用分部积分法时，恰当的选取u和v是解题的关键. 2、例题 下面通过一些例子说明如何利用分部积分公式计算不定积分. 解：若被积函数为幂函数x与余弦函数cosx的乘积，若选择 u=x，dv=cosxdx=dsinx，即v=ex则òxcosxdx=òxdsinx=xsinx-òsinxdx=xsinx-cosx+C 11但若如果u=cosx，dv=xdx=d(x2)，即v=x2 22111则 òxcosxdx=òcosxd(x2)=x2cosx-òx2sinxdx 222例1：求òxcosxdx 由于幂函数幂次升高导致等式右端的积分比等式左端的积分更困难。由此可见，在利用分部积分法时，适当选取u和dv是非常关键的. 总结：选取u和dv的一般选择òudv要比òvdu容易积分。 例2：求òxexdx分析：被积函数为幂函数x与指数函数ex的乘积，选择u=x，dv=exdx=dex，则v=ex解：òxexdx=òxdex=xex-òexdx=xex-ex+C. 例3：求òx2sinxdx分析：被积函数为幂函数x2与三角函数sinx的乘积，选择u=x2，dv=sinxdx=d(-cosx)，则v=-cosx解：òx2sinxdx=-òx2dcosx=-(x2cosx-òcosxdx2) =-x2cosx+2òxcosxdx =-x2cosx+2òxdsinx =-x2cosx+2(xsinx-òsinxdx) =-x2cosx+2xsinx+2cosx+C 注意：在连续使用分部积分公式时，前后u和dv的选择要一致，否则积分又回去了. 说明：从例1、例2、例3 知道，当被积函数是幂函数与正弦函数或幂函数与指数函数的乘积时，就可以考虑使用分部积分法计算，并且令幂函数看成u.这样，每用一次分部积分公式就可以使幂函数的幂降低一次，从而化简积分.这里假定幂指数都是正整数. 1111 解：òxlnxdx=òlnxdx2=x2lnx-òx2×dx 222x =1x2lnx-1òxdx=1x2lnx-1x2+C. 2224例4求òxlnxdx例5求òarccosxdx解：arccosxdx=xarccosx-xdarccosx=xarccosx+òx-=xarccosx-1ò(1-x2)2d(1-x2)=xarccosx-1-x2+C. 21òò1dx1-x2 例6 求òxarctanxdx解：òxarctanxdx=112 22arctanxdx=(xarctanx-xdarctanx)ò2ò212x2=(xarctanx-òdx)221+x11=x2arctanx-ò(1-dx)2 21+x1=(x2arctanx-x+arctanx)+C 2说明：从例4、例5、例6 知道，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或幂函数与反三角函数的乘积时，就可以考虑使用分部积分法计算，并且令对数函数或反三角函数为u. 例7求òexsinxdx. 解：òexsinxdx=òsinxdex=exsinx-òexdsinx =exsinx-òexcosxdx=exsinx-òcosxdex =exsinx-excosx+òexdcosx =exsinx-excosx+òexdcosx =exsinx-excosx-òexsinxdx, 所以òexsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C. 2说明：从例7知道，当被积函数是正弦函数与指数函数的乘积时，正弦函数或指数函数都可看成u.积分过程中要连续使用两次分部积分公式，从而得到一个关于所求的不定积分的循环的等式，最后合并解出所求的不定积分. 注意：本例中不定积分移项合并时必须加上任意常数C 例8 求edx2òx解：令x=t，则x=t，dx=2tdt。所以 xttttttedx=2tedt=2tde=2te-2edt=2te-2e+c òòòò注：在计算不定积分时，常常将分部积分法与换元积分法结合起来 例9设f(x)有一个原函数为e-x，求òxf'(x)dx 解：òxf'(x)dx=òxdf(x)=xf(x)-òf(x)dx 因为e-x22为f(x)的一个原函数，所以 òf(x)dx=e-x+C 222 且f(x)=(e-x)'=e-x(-2x)，因此 -x-x2-xxf'(x)dx=xe(-2x)-e+C=-(2x+1)e+C ò2223、小结 若被积函数是两种不同类型的函数的乘积，就可以考虑用分部积分法.并注意适当选取u和v.关于u和v的选取，一般地有： 1、当被积函数是幂函数与正弦函数或幂函数与指数函数的乘积时，幂函数看成u 2、当被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数看成u 3、当被积函数是正弦函数与指数函数的乘积时,正弦函数或指数函数都可看成u 三、能力反馈部分 1.用分部积分法求下列函数的不定积分 òxsinxdx òx2lnxdx òarcsinxdx òxarctanxdx 2xlnxdx ecosxdx òò2、计算不定积分sinòxdx 3、已知f(x)的一个原函数为sinx，求òxf'(x)dx x