412圆的一般方程.docx
412圆的一般方程4.1.2圆的一般方程 三维目标： 知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程x2y2DxEyF=0表示圆的条件(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对方程xyDxEyF=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 22教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 王新敞教 具：多媒体、实物投影仪 王新敞教学过程： 课题引入： 问题：求过三点A，B，C的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。 探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (xa)2(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径r 把圆的标准方程展开，并整理： x2y22ax2bya2b2r2=0 取D=-2a,E=-2b,F=a+b-r得 222x2+y2+Dx+Ey+F=0 这个方程是圆的方程 反过来给出一个形如x2y2DxEyF=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2y2DxEyF=0配方得 D2E2D2+E2-4F(x+)+(y+)= (配方过程由学生去完成)这个方程是不224是表示圆？ (1)当D2E24F0时，方程表示当D2+E2-4F>0时，表示以为圆心,D2+E2-4F为半径的圆； 2222当D+E-4F=0时，方程只有实数解x=-D，2DE，y=-，即只表示一个22点; 2222当D+E-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆 王新敞只有当D+E-4F>0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如22x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程(x+1)+y2=4 2王新敞我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)x2和y2的系数相同，不等于0 没有xy这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究： 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0 22(2)4x+4y-4x+12y+11=0学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0来说，这里的 9D=-1,E=3,F=而不是D=-4,E=12,F=9. 4例2：求过三点A，B，C的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0 A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组， ìF=0ï即íD+E+F+2=0 ï4D+2E+F+20=0î解此方程组，可得：D=-8,E=6,F=0 王新敞所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0 王新敞r=1DFD2+E2-4F=5；-=4,-=-3 222王新敞得圆心坐标为. 或将x+y-8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(x-4)+(y+3)=25,从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 、根据提议，选择标准方程或一般方程； 、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。 2222王新敞2例3、已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上(x+1)+y=4运动，2求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是,点A的坐标是x0,y0).由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB的重点，所以x0+4y+3,y=0, 22于是有x0=2x-4,y0=2y-3x=因为点A在圆(x+1)+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)+y2=4,2即(x0+1)+y0=4222(x0+1)2+y02=4 把代入，得 p130 223öæ3öx-+y-(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理，得æç÷ç÷=1 2øè2øèæ33ö所以，点M的轨迹是以ç，÷为圆心，半径长为1的圆 è22ø22y64A2-5MB5O-2-4x课堂练习：课堂练习p130第1、2、3题 小结 ： 1对方程x+y+Dx+Ey+F=0的讨论(什么时候可以表示圆) 22王新敞2与标准方程的互化 3用待定系数法求圆的方程 4求与圆有关的点的轨迹。 王新敞王新敞课后作业：p130习题4.1第2、3、6题
