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3变限积分函数的性质及其应用§3 变限积分函数的性质及其应用 由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分 定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念： 定义3.1 设f(x)在a,b上可积，则对"xÎa,b，f(x)在a,x上也可积，于是，由 F(x)=òxaf(t)dt， xÎa,b 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限函数。类似地，可定义变下限的函数： Y(x)=F(x)òbxf(t)dt，xÎa,b 和Y(x)统称为变限函数。也叫做面积函数。 注 由于 òbxf(t)dt=-òf(t)dt，因此，只要讨论变上限函数即可。 bx定理3.1 若函数f(x)在a,b上可积，则变上限函数F(x)=上连续。 证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 òxaf(t)dt在a,b对a，b上的任一点x，只要x+DxÎa,b，按照F的定义有 DF=F(x+Dx)-Fx(=)又函数f(x)òx+Dxafdt-òxafdt。 在a， b上可积，则f(x)在a， b上有界，即存在正数M，对一切xÎa,b有f(x)£M。又当Dx³0时有 DF=òx+Dxxfdt£òx+Dxxfdt£òx+DxxMd=t。MD x404 又不难验证，当Dx<0时，上述不等式DF£MDx仍然成立。从而有Dx®0limDF=0。这就证得F在a,b上的连续性。 3.2 微积分学基本定理 1 变限积分的可微性 微积分学基本定理 当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。 定理3.2 若函数f(x)在a,b上连续，则变上限函数F(x)=上可微，且 F¢(x)=ddxòxaf(t)dt在a,bòxaf(t)dt=f(x)， x Îa,b (3.1) 证 "xÎa,b，任取Dx¹0，且x+DxÎa,b，则 DF=F(x+Dx)-F(x)=òx+Dxaf(t)dt-òxaf(t)dt =òxaf(t)dt+òx+Dxxf(t)dt-òxaf(t)dt=òx+Dxxf(t)dt， 由积分中值定理知，存在x 介于x与x+Dx之间，使得 DF=f(x)Dx， 由于Dx®0Þx®x，再由导数定义及f(x)的连续性知 DFF¢(x)=lim=limf(x)=limf(x)=f(x)。 Dx®0DxDx®0x®x 注 (1) 当fÎCa,b时， F(x)=òxaf(t)dt可导且在点xÎ a , b 的导数恰为被积函数在上限的值。 亦即 F(x)是f(x)的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。 (2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。 j(x)若j(x)可导，则j(x)与变上限函数F(x)构成了复合函数òaf(t)dt，由复合函数求导法则知 405 dj(x) dxf(t)dt=fj(x)j¢(x)。 (3.2) òa例3.1 设f(x)=òsinx2dt1+t2，求f¢(p)。 6 解 f(x)=-ò2sinx2f¢(p)=-653dt1+t2，f¢(x)=-1cosx¢=-，2(sinx)1+t1+t2。 注 一般地有公式： òj(x)f(t)dt¢=-f(x)j¢(x)； j(x)a (3.3) 。 (3.4) tf(t)dtf(x)> 0，求证函数F(x)=ò0xò0f(t)dtxòf(x)f(t)dt¢=f(x)j¢(x)-f¢(x)例3.2 设f(x)在0，+内连续，且0，+内为单调增加函数。 在 x 证 "x>0，由f(x)>0，得ò0f(t)dt>0，所以F(x)在(0，+)内有定义，且 F¢(x)=xf(x)ò0f(t)dt-f(x)ò0tf(t)dtò0f(t)dtx2xx=f(x)ò0(x-t)f(t)dtò0f(t)dtf(t)(x-tx2x。 因f(x)>0， Þ 在(0,x)内 f(t)(x-t)>0，又连续， Þ òx0f(t)(x-t)dt>0，Þ在区间( 0 , +¥ )内F¢(x)>0 Þ F(x)在区间( 0 , +¥ )内 严格递增。 2 Newton Leibniz 公式 定理3.3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则 òbaf(x)dx=F(b)-F(a) 。 (3.5) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数F(x)=òaxf(t)dt也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 406 F(x)-F(x)=C 。 (3.6) 在(3.6)式中令x=a，得F(a)-F(a)=C。又由F(x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=0，因此，C式中的F(x)，可得 x以F(a)=F(a)。代入(3.6)式中的C，以òf(t)dt代入(3.6)ax òf(t)dt=F(x)-F(a)。 a在上式中令x=b，就得到所要证明的公式(3.5) 。 注 (1) 在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(x)：在在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F¢(x)=f(x),xÎ(a,b)。而f(x)只要在在a,b上可积即可。 (2) 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。它表明：一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增量。这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。 3 定积分计算的算术化 由积分性质知，(3.5)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)-F(a)记成F(x)ab。公式(3.5)叫做Newton-Leibniz公式，也称为微积分基本公式。有了微积分基本公式，便可以将定积分的计算转化为寻求原函数，即转化为不定积分的计算。然后利用不定积分的计算结果，经过简单的代数运算，即可得出定积分的值。它给定积分提供了一种有效而简便的基本计算方法，它是整个积分学中十分重要的公式。 1例3.3 计算定积分òx2dx。 01 解 ò0xdx=2x313=013。 407 3例3.4 计算òdx -11+x2。3 解 òdxarctanx37-1=p。 -11+x2=12-1例3.5 计算òdx -2x。-1 解 òdx-2x=lnx-1-2=ln1-ln2=-ln2。 1例3.6 计算积分f(x)=òt|x-t|dt。 0 解 x>1时， f(x)=ò1t(x-t)dt=x-1023 ; x<0时， f(x)=ò1t(t-x)dt=1-x032; 0£x£1时， f(x)=òxt(x-t)dt+1x3+10òxt(t-x)dt=x3-23。ì1-xï32, x < 0,ï3f(x)=ïí1-x+x , 0 £x£1 ï323, ïx-1ï , > 1 .î23 x p2p例3.7 利用积分 Jnn=òsinxdx的值， 计算积分In=òxsinnxdx。00 解 x=p-u0pInn=-ò(p-u)sinp-(udu)=ò(p-u)sinnudu=p0ppp =pòsinnudu-òusinnudu=pòsinnudu-In Þ 000pæp2pö ÷I=p2òsinnudu=pççsinnnxdx+çòòsinnudu÷， 02pè0÷2ø408 因此， pp而 sinudu=蝌p2nu=p-x02-p2sin(p-x)dx=n0sinxdxn ， Þ In=p2(Jn+Jn)=pJn。 因此， Inì(n-1)!p2× , n为偶数 ,ïïn!2=í ï(n-1)!p , n为奇数 .ïîn!3.3 若干应用 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式 例3.8 证明不等式 1n ò102xn-1x-x+1dx43n, n ¥。 证 注意在区间 0，1上有 34 £ x-x+1 £ 1， 12+L+1n2 Þ 例3.9 证明不等式 ln(n+1) < 1+1n < 1+lnn。 1 证 考虑函数f(x)= , n£x<n+1 , n=1 , 2 , L， g(x)= , xÎ1 , +¥ )。 x易见对任何n，在区间 1 , n+1 上g(x)和f(x)均单调，因此可积，且有 n+1n+1g(x)£f(x)，注意到g(x)º/ f(x)，就有 n+1ni+1ni+1ò1g(x)dx<ò1f(x)dx。而 ò1f(x)dx=åi=1òif(x)dx=åòii=1i1ndx=åi， i=11n+1n+1ò1g(x)dx=ò1dxx12=lnx|1n+1=ln(n+1)。 n因此有 ln(n+1) < å = 1+i=11i+L+1n 。 取f(x)=1n+1 , n£x<n+1 , n=1 , 2 , L， g(x)=nn1x , xÎ1 , +¥ )。 在区间 1 , n+1 仿以上讨论， 有òg(x)dx>1nnn-1i+1ò1f(x)dx。而 1i+112131nò1g(x)dx= lnn, ò1f(x)dx=åòi+1i=1i1n-1=åi=1 = +L+， 409 Þ1+12+L+1n <1+lnn。 12+L+1n < 1+lnn。 综上 ， 有不等式ln(n+1) < 1+2 某些不等式的积分推广 原理 设函数f(x)和g(x)在区间 a , b 上可积。 T为区间 a , b 的n等分分法， xiÎxi-1,xi。 若对任何n和1£i£n， 均有 nåi=1f(xi) £ åg(xi)nni=11n1， 即得åf(xi)i=1nb-an £ åg(xi)i=1nb-an。 令n®¥， 注意到函数f(x)和g(x)在区间 a , b 上可积， 即得积分不等式 òbaf(x)dx£òbag(x)dx。 1ö1öænænFçåf(xi)÷ £ Yçåg(xi)÷ Þnønøèi=1èi=1倘若函数F和Y连续 ， 还可由 11æöæFçòf(x)dx÷ £ Yçòg(x)dxö÷。 è0øè0ø例3.10 证明 Schwarz 不等式： 设函数f(x)和g(x)在区间 a , b 上连 续(其实只要可积就可)。 则有不等式 ébf(x)g(x)dxù £ bf2(x)dx×bg2(x)dxòaòaêúëòaû2。 证法一 设T为区间 a , b 的n等分分法。由Cauchy 不等式，有 nnænö22çåf( xi ) g( xi )÷ £ åf( xi ) × åg( xi )， i=1i=1èi=1ø2两端同乘以æè(b-a)nn22>0，有 2 çåi=1nnb-aöb-ab-a22f( xi ) g( xi ) × åg( xi )÷ £ åf( xi ) nønni=1i=1， 令n®¥，注意到函数f2(x)、g2(x)和f(x)g(x)在区间 a , b 上的可积性以及函数F(x)=x2的连续性，就有积分不等式 410 ébf(x)g(x)dxù £ bf2(x)dx×bg2(x)dxòaòaêúëòaû22。 证法二 对任何实数t，有 ( tf(x)+g(x)³0， èòa( tf(x)+øèbg(x)dx=2ò( tab2f(x)+g(x)+2tf(x)g(x)dx³0 ， 22)b2öt2+2æbf(x)g(x)dxöt+ 即 æf(x)dxçò÷çò÷aaøòba即上述g(x)dx³0对任何实数t成立。2关于t的二次不等式的解集为全体实数， 于是就有 éæb2çòf(x)g(x)dxêëèa2öù-4æbf2(x)dxö×æbg2(x)dxö£0÷çò÷çò÷aaøúèøèøû2， 即 ébf(x)g(x)dxù £ bf2(x)dx×bg2(x)dxòaòaêúëòaû。 例3.11 设函数f(x)ÎC a , b 且 f(x)>0。 证明不等式 bbòaf(x)dx × òadxf(x) ³ ( b-a )2。 证 取f(x)=f(x), y(x)=1f(x) 。对函数 f(x)和y(x)应用Schwarz 不等式， 即得所证。 例3.12 设函数f(x)在区间 0 ， 1 上可积 。 试证明有不等式 1 |òf(x)dx| £ 0ò10f(x)dx2。 证 先用Jensen不等式法证明不等式 ： 对 "x1,x2,L,xnÎR， 有不等式 x1+x2+L+xnn £ x1+x2+L+xnn222。 设T为区间 0 , 1 的n等分分法。 由上述不等式 ， 有 nåi=1æiö1fç÷ £ ènønnåi=12æiö1fç÷ènøn。 令n®¥， 注意到函数f(x)和f2(x)在区间 0，1上的可积性以及函411 数 |x|和x的连续性，就有积分不等式 1 |òf(x)dx| £ 0ò10f(x)dx2。 例3.13 仿该例， 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等 式的积分形式。 3 面积函数的导数 (òf(t)dt)¢=f(x)，或axddxòxaf(t)dt=f(x)； (3.1) (òj(x)0f(t)dt)¢=f(j(x)j¢(x)。 (3.2) 例3.14 设j(x)=òx1sintdt2，求导数j¢(x)。 解 j¢(x)=sinx2。 例3.15 设j(x)= 解 j(x)=ò1x3sintdt22，求导数j¢(x)，j¢。 2x13pò1x3sintdt=-òsintdt，故j¢(x)=-sinx232，j¢=-1。 2p例3.16 ìx=ï设íïy=î=-costòòt00tsinuducosududxdt，求dydx。 解 dydt，=sint3x+1，故dxdydxdy=dtdxdt=-cott。 例3.17 求函数y= 解 由y¢=2òx0x-x+12在0,1上的最大、最小值。 3x+1x-x+10010>0，xÎ0,1，表明函数单调增加，从而 3x+1dx=0。 dx ymin=y(0)=ymax=y(1)=òòx-x+13x+122x-x+1312x-1+533=ò2dx=20x-x+122ò32ò102x-1x-x+152ò102dx-5ò221021x-x+1dxdx =31021x-x+1d(x-x+1)-21(x-)+11234 =lnx-x+1+02152×23arctan2x-13=0533p。 412 例3.18 设50x3+40=òxcf(t)dt，求f(x)及c。 解 两边求导数：150x2=f(x)，则， 50x+40=3òxc150tdt=50t23xc=50x-50c33， 即：-50c3=40，c=-345。 例3.19 求函数f(x)= 解 f¢(x)=(ò例3.20 求ddxxx02òx02sintdt的导数。 2sintdt)¢=sinx×xx()¢=2xsin|x|。 2òx2x2costdt22。 解 因为，ò故 ddxcostdt=òd0xcostdt+22òx0costdt=-ò2x02costdt+2òx0costdt2， òxx2costdt=-2dx2òx02costdt+2ddx2òx0costdt212xcosx =-cos(x2)×(x2)+cos(x)×(x)=-2xcosx4+x-13¢¢。 例3.21 设函数f(x)连续且 ò0f(t)dt=x+c。求c和f(7)。 112 解 令x=1 , Þ c=-1 。 两端求导， Þ f(7)= x。 例3.22 设f(x)ÎCa,b。 F(x)=òf(t)(x-t)dt , xÎa,b。 试证明 ： a F¢¢(x)=f(x)。 证 F(x)=xòf(t)dt-òtf(t)dt， Þ aaxx F¢(x)=òxaf(t)dt+xf(x)-xf(x)=òxaf(t)dt , Þ F¢¢(x)=f(x)。 例3.23 已知，òetdt+0y2ò2x0costdt=0，求dydx。 2 解 注意到y是x的函数，两边对x求导，得eyy¢+cos2x×2=0，求得： dydx=y¢-2e-y2cos2x。 413 例3.24 设g(x)处处连续，f(x)= 解 f(x)= f¢(x)=ò(x-t)g(t)dt，求f¢(x)，f¢¢(x)。 0xò0(x-t)g(t)dtòg(t)dt0xx=xòg(t)dt-0xòx0tg(t)dtx，则 +xg(x)-xg(x)=ò0g(t)dt； f¢¢(x)=g(x)。 例3.25 设f(x)=íìx+1îx-1£x£00<x£1，F(x)=òxx-1f(t)dt，xÎ-1,1，求F(x)。 12 解 若-1£x£0：则 F(x)= 若0<x£1：则 F(x)=21ìï2(x+1)所以，F(x)=í12ïî2x+1òx-1f(t)dt=ò-1(t+1)dt=(x+1)2； 2òx-1f(t)dt=ò0-1(t+1)dt+òx0tdt=12(x+1)； -1£x£00<x£1()。 4 含有变限积分的未定型极限 例3.26 求极限limòcosx1e-t2dtx®02x2。 -cosx2 解 limòcosx1e2-tdtx®0xeæ0öç÷=limx®0è0ø(-sinx)2x=-12e。 例3.27 求极限 limxòcostdt0x2x®0òx。 0sintdtx 解 xòcostdtæ0ö0limç÷=limxx®0è0øx®0sintdtò0x2ò0costdt+xcosxsinx22 =limòx0x®022costdtæ0öcosxxcosx=lim+1=2。 ç÷+limx®0x®0cosxsinxsinxè0ø25 利用定积分求和式极限 因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。 414 n例3.28 求极限 limnn®¥åk=1knn3n-k22。 2解 åk=1kn3n-k22=åk=11n(knækö1-ç÷)。 (3.7) ènø(3.7)式是函数f(x)=x1-x2在0,1上的一个积分和。它是把0,1n éi-1iù,úxi取为ênnûë等分， 的右端点(即xi=in,f(xi)=inæiö1-ç÷ènø2)构成的积分和。因为函数f(x)=x1-x2在0,1上可积， 由定积分定义， 有 n limn®¥åk=1kn3n-k22=òx1-x2dx=0113。 1例3.29 éköùnæ求极限limêÕç1+÷ún®¥nøûëk=1è1n-1n-1n-1。 1 解 éköùnælnêÕç1+÷únøûëk=1èéköùnæ=lnêÕç1+÷únøûëk=0è=1köæln1+ç÷。 ånk=0ènøn-1由函数ln(1+x)在区间 0，1上可积 ， 有 1n-1éköùnkö1æælimlnêÕç1+÷ú=limålnç1+÷×n®¥n®¥nøûnønèk=0ëk=1èn-11=òln( 1+x )dx=2ln2-1=ln04e。 1 Þ limêÕç1+÷ú =。 n®¥enøûëk=1è例3.30 求极限lim1+2+L+n334443én-1æköùn4n®¥n (1+2+L+n)n4。 n4 解 1+2+L+n334443nåi=1n3n (1+2+L+n)=n×n1æiöç÷ènø4å3=i=1næiö1ç÷×ènønæiö1ç÷×ènøn3。 åi=14æiöç÷ènøåi=1n limn®¥åi=1æiö1ç÷×=ènøn4ò0xdx=15 ， 415 n lim4n®¥åi=1æiö1ç÷×=ènøn4331ò0xdx=314¹0。 因此， lim1+2+L+n334n®¥n (1+2+L+n)=45。 1n+1+1n+2+L+11+x例3.31 证明： 对任何n΢+， 有不等式 证 1n+1+1n+2+L+1n+nn1n+n < ln2。 =åk=111+kn×1n 是f(x)=在区间 0，1 上相应于n等分分法Tn的小和s(Tn)。由函数f(x)=1111+x在区间 0，1上可积， 有n®¥时， s(Tn)®ò0f(x)dx=ò1+x0dx=ln2。又易见s(Tn)严格递增 Þ 1+L+1n+n对任何n， 有s(Tn)< ln2， 即 1n+1+n+2 < ln2。 416 练习6.3 1 设f(x)在a,b上连续，F(x)=òxf(t)(x-t)dtx)0。证明F¢¢(x)=f(。 2 利用NewtonLeibniz公式计算下列定积分： (1) ò2æ1ö231çx+èx÷dxø； (2) ò4dx1； 2x(1-x) (3) ò4-3xdx； (4) ò2-1xdx； (5) bpò(x-a)ndxa； (6) ò20sin2xdx； (7) 11pò-dx (8) ò2-ex； -p1-cos2xdx； 2 (9) pbò30cosxdx； (10) òexadx； (11) òp (12) òpco20sinxdx； sxdx0； (13) òa (14) 0a-xdx； òp01-sin2xdx； (15) ò-3dx (16) ò2lnxdx-4； xx2-41x； (17) òe (18) òbn1lnxdx。 eaxdx； (19) òbdx (20) ò22ax2； 0x4-xdx ； (21) ò33； (22) ò91xdx4x(1+x)dx； 12sin (23) ò31+2x2 òpy1x2(1+x2)dx； (24) 12； pydyp (25) ò431dx0tanqdq； (26) ò-2-e-11+x； pp (27) ò2cos3x-cos5xdx； (28) -pò20sinx-cosxdx； 2 (29) òp01+cos2xdx； (30) ò30(2-x)2dx。 417 3 设f(x)=0£x<1íìxî3-x1£x£2，求 ò2f0(x)dx。 ìtan2x0£x£pp4 设f(x)=ïí42ïp，求 0f(x)dx。 îsinx×cos3x4<x£pò25 若f(x)连续，求： (1) ddx(òbf(t)dtdæx2x)； (2) dxçèòf(t)dtö0÷ø； (3) d ； (4) dx2dxòbsinx2dxadxòsintdta； ¢ (5) æ10çèòetarctant2dtöx÷ø ； (6) ddxòx2sintdt0； 3t (7) ddxdtòt2lnx , t>1 ； 6 求下列函数的导数： (1) F(x)=òx0tcostdt； (2) F(x)=ò32x1+tdt； ìx=tsinudu(3) F(x)=òx22t； (4) 设ïíò0dyxte-dtïy=t，求dx。îòcosudu07 试讨论函数F(x)=òx0te-t2dt的极值。 x28 设当x³0时，函数f(x)连续且 òf(t)dt=x3。求f(x)。 029 设x3-òye-t2dt+y3+4=00，求 y¢=dy。 dx 418 10 求下列极限： x2x22 (1) costdtlimò0x®0x ； (2) )dtlimòexp(t0x®0； òxexp(2t2)dt01 (3) t)dtòtlntdtlimòxln0(1+x®0x2； (4) limcosxx®04x3。 11 应用定积分求下列极限 n(1) limk (2) limænnnn®¥åk=1n2； n®¥çèn2+1+n2+22+L+ön2+n2÷ø；npp(3) lim1skip+L+npn®¥åk=1nnn； (4) lim1+2n®¥np+1(p>0)； (5) limæ1+1+L+1ön®¥ççèn2n(n+1)n(2-n÷÷； ø1)n(6) lim(1L+1n®¥n+1+1n+2+2n)； (7) limin®¥å2； i=1n2+i (8) lim1n+L1)n(+2)n®¥nnn(。1 12 设 fÎCa,b, f(x)³0但f