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33 直线的交点坐与距离公式3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 目标要求 1了解两点间的距离公式的推导. 2理解二元一次方程组的解与两直线的位置关系，并能求两直线的交点坐标. 3理解并掌握两点间的距离公式，能运用两点间的距离公式解决实际问题. 基础知识 细解读 知识点一 两条直线的交点坐标 已知两直线l1:A，l2:A1x+B1y+C1=02x+2By+2C=0. 基本知识点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 点P 直线l 点P在直线l上 直线l1与l2的交点是P 两条直线的交点 方程组í代数表示 P(a,b) l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0 ìA1x+B1y+C1=0ìx=a的解是í y=bîîA2x+B2y+C2=0ìA1x+B1y+C1=0一般地，将两条直线的方程联立，得方程组í. Ax+By+C=0î222若方程有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标； 若方程组无解，则两条直线无交点，此时两条直线平行. 拓展 对两条直线的交点坐标的理解 求两条直线的交点坐标，实际上是求由直线l1和直线l2的方程组成的方程组的解. 若方程组有无穷多个解，则直线l1和l2重合；反之也成立. l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1¹0. 过两条直线交点的直线系方程 过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 上面的直线系方程可改写为(A1x+B1y+C1)+l(A2x+B2y+C2)=0，但此方程不包括直线l2，这个参数形式的方程在解题中较为常用. 例示：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0； l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. ì2x-y-7=0ìx=3解：方程组í的解为í，因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3,-1). 3x+2y-7=0y=-1îî方程组íì4x+2y+4=0无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1/l2. î2x+y-3=0拓展 对称问题 点的中心对称 若点M(x1,y1)关于P(a,b)的对称点为N(x,y)，则由中点坐标公式可得íìx=2a-x1. îy=2b-y1直线的中心对称 主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或先求出一个对称点，再利用对称直线与原直线平行求方程. 轴对称 点的轴对称 ìy-y0æAö×ç-÷=-1(AB¹0)ïïx-x0èBø点A(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点可由方程组íïA×x+x0+B×y+y0+C=0ïî22求得. 直线的轴对称 主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程. 常用对称的特例 A(a,b)关于x轴的对称点为A¢(a,-b)； B(a,b)关于y轴的对称点为B¢(-a,b)； C(a,b)关于直线y=x的对称点为C¢(b,a)； D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D¢(-b,-a)； P(a,b)关于直线x=m的对称点为P¢(2m-a,b)； Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q¢(a,2n-b). 知识点二 两点间的距离公式 平面上任意两点P12=1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式为PP特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=(x2-x1)2+(y2-y1)2. x2+y2. 拓展 此公式与两点的先后顺序无关，也就是说，公式也可写成PP(x1-x2)2+(y1-y2)2，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行12=探索. 当直线PP12平行于x轴时，y1=y2，PP12=x1-x2； 当直线PP12平行于y轴时，x1=x2，PP12=y1-y2. 当P12=1,P2在直线y=kx+b上时，PP(x2-x1)2+(y2-y1)2 =(x2-x1)2+(kx2+b-kx1-b)2=1+k2x1-x2. 例示：已知点M(m,-1),N(5,m)，且MN=25，则实数m= . 解析：因为MN=25，所以(m-5)2+(-1-m)2=25，所以(m-5)2+(-1-m)2=20，即m2-4m+3=0，解得m=1或m=3. 答案：1或3. 应用能力 巧提升 应用点一 两条直线的交点问题 例1：求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点，且平行于直线2x+y-3=0的直线方程. 解：方法1：由íìx+3y-3=0ìx=0，得í，所以直线与的交点坐标为(0,1).设平行于直线x-y+1=0y=1îî的直线方程为2x+y+c=0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c=-1，故所求的直线方程为2x+y-1=0. 方法2：设过直线交点的直线方程为x+3y-3+l(x-y+1)=0(lÎR)，即(l+1)x+(-3ly)+l-=3，由题意，知0为l+15=-2，解得l=，故所求直线方程l-33844x+y-=0，即2x+y-1=0. 333过程释疑 由过两条直线交点的直线系方程可得，过l1与l2交点的直线方程可设为x+3y-3+l(x-y+1)=0(lÎR). 过l1与l2交点的直线与直线2x+y-3=0平行，则两者的斜率相等. 两条直线相交的判定方法 方法1 方法2 方法3 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 两直线的斜率都存在，且斜率不相等 两直线的斜率一个存在，一个不存在 过两条直线交点的直线方程的求法 常规方法：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 特殊解法：先设出两直线交点的直线方程，再结合利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 例2：求证：不论m为何实数，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点. 证明：方法1：取m=1时，直线方程为y=-4；取m=1时，直线方程为x=9.两直线的2交点为P(9,-4)，将点P的坐标代入原方程左边，(m-1)´9+(2m-1)´(-4)=m-5，.故不论m取何实数，点P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5上，即直线恒过定点P(9,-4). 方法2：原方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.若对任意m都成立，则ìx+2y-1=0ìx=9，解得，所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9,-4). ííîx+y-5=0îy=-4过程释疑 取两个特殊值，联立方程可得交点坐标，即为定点坐标. 分离参数，转化为m是变量的方程，为恒成立问题提供条件. 对形如f(x,y)m+g(x,y)=0对任意mÎR恒成立的问题，令í数的直线恒过定点问题的方法 ìf(x,y)=0，解含有参îg(x,y)=0 先任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，再验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线过的定点，从而问题得解. 分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为0的形式，令含参数的项和不含参数的项分别为零，解得此方程组的解即为已知直线恒过的定点. 应用点三 两点间的距离公式的应用 例3：已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)，求证：DABC是等腰三角形. 解：因为AB=(3-1)2+(4-2)2=8，BC=(5-3)2+(0-4)2=20， AC=(5-1)2+(0-2)2=20，所以AC=BC，因为kAB=kAC=4-2=1, 3-10-21=-，所以kAB¹kAC，所以A,B,C三点不共线，所以DABC是等腰三角形. 5-12过程释疑 两点间的距离公式PP12=(x1-x2)2+(y1-y2)2与两点的顺序无关. 比较AB,AC,BC的大小得，为后面判断三角形的形状提供条件. 必须证明三点不共线，只有不共线的三点才能构成三角形. 利用两点间距离公式判断三角形的形状可依据两点间的距离公式计算出各边的长度，根据边的相等，可以判断是等腰或等边三角形；根据勾股定理及其推广可以判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形. 应用点四 对称问题 例4：如图3.3-1，一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3)，求反射光线所在的直线的方程. y8x+6y=258x+6y=25yP(-4,3)QP(-4,3)QA(a,b)OxlOxl图3.3-1 图l的对称点A的坐标为(a,b3.3-2 )，由直线OA与l垂直和线段AO的中点解：如图，过原点关于ìbæ4ö×-÷=-1ïìa=4ïaç3øèl在上.得í，解得í，所以点A的坐标为(4,3)，因为反射光线的îb=3ï8´a+6´b=25ïî22反向延长线过A(4,3)，又因为反射光线过P(-4,3)，所以两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y=3. 过程释疑 轴对称的性质：对称两点的连线与对称轴垂直，两对称点的中点在对称轴上. 光的反射定律：光的入射角与反射角相等. 由于两点的纵坐标相等，因此反射光线平行于轴，即. 在解析几何中，解决反射问题主要是利用对称的方法来解决，因此应注意以下问题： 反射角等于入射角. 求对称点的坐标的方法是设出对称点的坐标，由“垂直”和“平分”列方程组求解. 多向思维 新拓展 数形结合思想 例1：已知两点A(2,3),B(4,1)，直线l:x+2y-2=0，在直线l上求一点P. 使PA+PB最小； 使PA-PB最大. 分析：作出几何图形，借助三角形的几何性质可求PA+PB取最小值与PA-PB取最大值时的点P的坐标. 解：如图3.3-3，可判断在A,B直线l的同侧，设点A关于l的对称点A¢的坐标为(x1,y1)， yABOxA'l图3.3-3 y1+3ìx1+22ì+2×-2=0x=-ïï2ï1ï25则有í，解得í，由两点式求得直线A¢B的方程为y-31æöïy=-9ï1×ç-÷=-11ïïx-225îèøî1y=7(x-1)+1，由平面几何知识可知，当点P为直线A¢B与直线l的交点时，PA+PB11最小，此时PA+若PA不P=B¢+P=A¢P.BB在此点时，3öæ56PA+PB=PA¢+PB>A¢B.即直线A¢B与l的交点为Pç,-÷. è2525ø由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4)，即x+y-5=0.由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA-PB最大，此时PA-PB=AB，直线AB与l的交点为所求点P(8,-3). 解后反思：本题通过对称问题的转换，将求距离的最值问题转化为共线问题，这是一种常用的解题思路，另外通过图形探求问题也是一种常用方法. 解题技巧 例2：已知函数y=x2+1+x2-4x+8，求函数的最小值. 分析：被开方数可以写成两个数的平方和的形式，联想到距离公式的结构特征和几何意义，从而求解. 解：y=x2+1+x2-4x+8=(x-0)2+(0-1)2+(x-2)2+(0+2)2，上式表示：在x轴上的一点P(x,0)到两点A(0,1),B(2,-2)距离之和，如图3.3-4，PA+PB³AB，当且仅当点P与P最小值为AB=0重合时，PA+PB有最小值，得此时直线AB与x轴的交点为P0(,0)，所以当x=y22+(-3)2=13，解232时，函数的是最小值是13. 3APOP0Bx图3.3-4 解后反思：因为x2+1=(x-0)2+(0-1)2表示点P(x,0)到点A(0,1)的距离，x2-4x+8=(x-2)2+(0+2)2表示点P(x,0)到点B(2,-2)的距离，所以函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x轴上求一点P(x,0)，使其到A(0,1),B(2,-2)两点距离之和最小，这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到，注意掌握. 高效训练 速提能 1直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是 A.(1,1) B.(1,4) C.çæ41öæ14ö,÷ D.ç,÷ è33øè33ø2经过两点A(-2,5),B(1,-4)的直线l与x轴的交点坐标是 A.ç-,0÷ B.(-3,0) C.ç,0÷ D.(3,0) 3过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点，且与第一条直线垂直的直线方程是 A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 C.3x-y+7=0 D.3x-y-5=0 4若两条直线2x-my+4=0和3mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是 A.çæ1è3öøæ1è3öøæ3öæ2öæ3ö,2÷ B.ç-,0÷ C.ç-,2÷ D.(2,+¥) è2øè3øè2ø5设集合A=(x,y)4x+y=6,B=(x,y)3x+2y=7，则满足CÍ(AÇB)的集合C 的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 6直线y=2x与直线x+y=3的交点坐标是 . 7点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是 . 8若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k= . 9求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点，且过坐标原点的直线l的方程. 10已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截成的线段长为37，求直线l的方程. 11设xÎR，求x2-2x+2-x2+2x+2的取值范围. 12为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外DAEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大？ DCFAE图3.3-5 B答案专区 4ìx=ïìx+2y-2=0ïæ41ö31C 解析：由í，解得í，即交点坐标是ç,÷. è33øî2x+y-3=0ïy=1ï3î2A 解析：由两点式得过A,B两点的直线方程为y+4x-1=，即3x+y+1=0，令5+4-2-11æ1öy=0，得x=-，故直线l与x轴的交点坐标为ç-,0÷. 3è3ø3B 解析：由íì3x+y-1=0ìx=-1，得í，即交点坐标为(-1,4)，因为第一条直线的îx+2y-7=0îy=411130=. ，由点斜式，得y-4=(x+1)，即x-3y+33斜率为-3，所以所求直线的斜率为4C 解析：解出两直线的交点坐标为çæ3m-66+4mö，由交点在第二象限，得,22÷è3+m3+møì3m-6<0ïï3+m2æ3ö，解得mÎíç-,2÷. 6+4mè2øï>0ïî3+m25C 解析：AÇB=í(x,y)íìïïîì4x+y=6üïý=(1,2)，则集合C是(1,2)的子集，又因î3x+2y=7þï为集合(1,2)的子集有Æ,(1,2)共2个，所以集合C有2个. ìy=2xìx=36(1,2) 解析：由í得í，所以两直线的交点坐标为(1,2). x+y=3y=2îîìy0-5×(-1)=-1ïìx0=-4x-2ï7(-4,-1) 解析：设对称点的坐标为(x0,y0)，则í0，解得í，îy0=-1ïx0+2+y0+5=1ïî22所以所求对称点的坐标为(-4,-1). 8 解析：解方程组íì2x+3y+8=0ìx=-1，得í，又因为点(-1,-2)也在直线x+ky=0îy=-2îx-y-1=01. 2上，所以-1-2k=0，k=-ì3x+4y-2=0ìx=-29解：方法1：由方程组í，解得í，即l1与l2的交点坐标为(-2,2)，2x+y+2=0y=2îî因为直线过坐标原点，所以其斜率k=2=-1，所以直线方程为y=-x，即x+y=0. -2方法2：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x+4y-2+l(2x+y+2)=0(lÎR)，即(3+2l)x+(4+l)y+2l-2=0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得l=1，所以l的方程为5x+5y=0，即x+y=0. 10解：设直线的方程为y=6x+b，令x=0，得y=b；令y=0，得x=-b，所以直6线l与x轴，y轴的交点分别为ç-,0(0.,这)两点间距离为÷,bæbè6öø3723737æbö2-0+(0-b)=b=bb=37，所以b=±6，由题意，得ç÷63666èø所以所求直线的方程为y=6x+6或y=6x-6，即6x-y+6=0或6x-y-6=0. 211解：因为x-2x+2=2(x-1)2+12=(x-1)2+(0-1)2，所以它的几何意义是表示两点(x,0),(1,1)间的距离，同理x2+2x+2的几何意义是表示两点(x,0),(-1,1)间的距离.如图3.3-6，在平面直角坐标系内，设P(x,0),A(1,1),B(-1,1)，因为xÎR，在DPAB中.PA=(x-1)2+(0-1)2,PB=(x+1)2+(0-1)2，由两边之差小于第三边，得PA-PB<AB=2，故x2-2x+2-x2+2x+2的取值范围是(-2,2). yBAOPx12解：如图3.3-7建立平面直角坐标系， 图3.3-6 DFAyRPE图3.3-7 CQBx则E(30,0),F(0,20)，所以线段EF的方程是xy+=1(0£x£30)，在线段EF上3020取点P(m,n)，作PQBC于点Q，作PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S=PQ×PR=(100-m)(80-n)，又因为mn+=1(0£m£30)，所以30202218050möæ(0£m£30)， n=20ç1-÷，所以S=(100-m)(80-20+m)=-(m-5)2+333è30ø于是当m=5时，S有最大值，这时EPPF=30-55=. 51EPPF=5时，草坪的答：当矩形草坪的两边在BC,CD上，一个顶点在线段EF上，且面积最大. 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 目标要求 1了解点到直线的距离公式的推导. 2理解两条平行直线间的距离与点到直线的距离的关系，会求两平行线间的距离. 3掌握点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式，并能利用点到直线的距离公式解决实际问题. 基础知识 细解读 知识点一 点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=拓展 此公式适用于P0为平面上的任意一点，特别地，当点P0在直线上时，点P0到直在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则先把方程化为一般式，再利Ax0+By0+CA+B22. 线的距离为0. 用公式求距离. 几种特殊情况的点到直线的距离 点P0(x0,y0)到x轴的距离d=y0； 点P0(x0,y0)到y轴的距离d=x0； 点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a¹0)的距离d=y0-a； y轴平行的直线x=b(b¹0)的距离d=x0-b. 点P0(x0,y0)到与例示：求点P0(-1,2)到下列直线的距离： 2x+y-10=0；x=2；y-1=0. 解：由点到直线的距离公式，知d=2´(-1)+2-1022+12=10=25. 5方法1：直线方程化为一般式为x-2=0.由点到直线的距离公式，知d=-1+0´2-21+022=3. 方法2：因为直线x=2与y轴平行，所以由图3.3-8，知d=-1-2=3. yP01yP0d21dO2x-1Ox方法1：由点到直线的距离公式，知d= 图3.3-9 -1´0+2-10+122=1. 方法2：因为直线y-1=0与x轴平行，所以由图3.3-8，知d=2-1=1. 知识点二 两条平行直线间的距离 一般地，已知两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0，则l1与l2距离d=C1-C2A+B22，此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式. 拓展 求两平行线间的距离，通常转化为其中一条直线上任意一点另一条直线的距离. 在应用平行线间的距离公式时，应注意把直线方程化成一般形式，且使x,y的系数相等. 两直线都与x轴垂直时，l1:x=x1,l2:x=x2，则d=x2-x1. 两直线都与y轴垂直时，l1:y=y1,l2:y=y2，则d=y2-y1. 例示：求两条平行线l1:3x+4y-5=0和l2:6x+8y-9=0间的距离. 解：方法1：在直线l1:3x+4y-5=0上任取一点，不妨取点P(3,-1)，则点P(3,-1)到直线l2:6x+8y-9=0的距离即为两平行直线间的距离d=所以，. 方法2：把l2:6x+8y-9=0化为3x+4y-3´6-8´1-962+82=1. 109=0，由两平行直线间的距离公式，得2d=æ9ö-5-ç-÷è2ø62+82=1. 10应用能力 巧提升 应用点一 点到直线的距离公式的应用 例1：求过点M(-2,1)，且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程. 解：方法1：当直线的斜率不存在时，不存在符合题意的直线. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0.由-k-2+2k+1k2+1x+2y=0. =3k+2k+1k2+1，解得k=0或k=-1，故直线的方程为y=1或2方法2：当l/AB或l过AB中点时，满足点A,B到l的距离相等. 若l/AB，由于kAB=-1，则直线l的方程为x+2y=0；若l过AB的中点N(1,1)，则2直线l的方程为y=1，故直线l的方程为y=1或x+2y=0. 过程释疑 在解决直线方程的问题时，要注意斜率不存在的情况，以免漏解. 过点M的直线的斜率存在的情况下利用点斜式设出方程，整理成一般式，为后面利用点到直线的距离公式做准备. 根据平面几何知识，若l1/l2，则l1上任意两点到l2的距离相等.直线过线段AB的中点，则过两点向直线作垂线，由直角三角形全等可知，A,B两点到直线l的距离相等. 解这类题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出方程，再由题意列方程求参数.也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出l的方程. 应用点二 两条平行直线间的距离公式的应用 例2：已知直线l1与l2的方程分别为7x+8y+9=0,7x+8y-3=0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d11=，求直线l的方程. d22解：因为l/l1，所以可设l的方程为7x+8y+c=0，由两平行直线间的距离公式，得d1=c-972+82.又因为l1/l2，所以l/l2，d2=c+372+82.因为d11=，d22所以d2=2d1，c+3=2c-9，所以c+3=2(c-9)或c+3=-2(c-9)，即c=21或c=5，所以直线的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0. 过程释疑 与直线Ax+By+C1=0平行的直线可设为Ax+By+C2=0，其中C1¹C2. 利用两平行直线间的距离公式可得d=C1-C2A+B22. 利用绝对值的性质，去掉绝对值可得c+3=±2(c-9). 求两条平行直线间的距离有两种方法：方法1是在一条直线上取一特殊点，求该点到另一直线的距离；方法2是直接应用两条平行线间的距离公式.一般来说，方法2比方法1更方便快捷，但应用方法2要注意公式应用的条件，即的系数要相同. 应用点三 距离公式的综合应用 例3：已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是75. 10求a的值； 能否找到一点P，使同时满足下列三个条件：点P是第一象限的点；点P到l1的距离是点P到l2的距离的1；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2:5，若能，2求点P的坐标；若不能，请说明理由. 解：因为l2可化为2x-y-因为a>0，所以a=3. 1=0，所以l1与l2的距离为d=2æ1öa-ç-÷è2ø22+12=75. 10设存在点P(x0,y0)满足，则点P在与l1，l2平行直线l¢:2x-y+c=0上. 且c-35=1×2c+11311132=0或，即c=或c=.所以满足条件的点满足2x0-y0+26252x0-y0+11=0.若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有62x0-y0+35=2x0+y0-1，即2x0-y0+3=x0+y0-1，所以x0-2y0+4=0或×5513=02因为点P在第一象限，所以3x0+2=0不可能.联立方程2x0-y0+3x0+2=0，ìx0=-311ï2x-y+=0和和x0-2y0+4=0，解得í，联立方程1006y=0ïî21ìx=ïï09æ137ö，所以Pç,x0-2y0+4=0，解得í÷即为同时满足条件的点. 37è918øïy=0ï18î过程释疑 将l2化为2x-y-的条件. 因l1与l2平行，所以与l1和l2平行且到两直线的距离比为1：2的直线l¢上的所有点均可作为满足条件的点P，故点P在方程2x-y+c=0上. 因为点P在第一象限，所以x0>0，所以3x0+2>0. 因为点P在第一象限，所以x0>0,x0=-3不合题意，舍去. 1=0，由此可判断出l1/l3，且符合了使用两平行直线间距离公式2 解决探究性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件，若求出的结论符合要求，则问题有解，若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解.另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点. 多向思维 新拓展 数形结合思想 例1：两条相互平行的直线分别过A(6,2)和B(-3,-1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： d的取值范围； 当d取最大值时，两条直线的方程. 分析：由于平行线的倾斜角不同，两平行线间的距离不同，故可以利用几何图形探索d的取值变化情况. 解：如图3.3-9，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为 y-32-1dd'6AxB图3.3-9 d=AB=(6+3)2+(2+1)2=310，当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d£310.即所求的d的取值范围是(0,310. 当取d最大值时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k=-11=-=-3，2-(-1)kAB6-(-3)故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3)，即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 解后反思：通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围. 易错易混 例2：求经过点A(1,2)，且到原点的距离等于1的直线方程. 分析：当直线的斜率不存在时，直线方程为A(1,2)，验证此直线到原点的距离是否等于1；当斜率存在时，可设为y-2=k(x-1)，利用点到直线的距离公式求. 解：当过点A的直线垂直于x轴时，因为它到原点的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x=1；当过点A的直线不垂直于x轴时，设所求的直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0.因为原点到此直线的距离等于1，所以求直线的方程为y-2=-k+2k2+1=1，解得k=3，故所43(x-1)，即3x-4y+5=0. 4综上，所求直线的方程为x-1=0或3x-4y+5=0. 解后反思：本题易出现的错误是直接利用点斜式设出方程，由点到直线的距离得方程求，漏掉了直线，用直线的点斜式方程来解题，一定要考虑斜率不存在的情况，对于斜率不存在的特殊直线，很多情况也符合题意. 高效训练 速提能 1原点到直线x+2y-5=0的距离为 A.1 B.3 C.2 D.5 2两直线x+y-2=0和2x+2y-3=0的距离等于 A.122 B. C. D.2 2243已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a等于 A.2 B.2-2 C.2-1 D.2+1 4已知两直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离等于 A.4 B.213513713 C. D. 1326265若过点P(1,2)引直线，使点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等，则这条直线的方程是 A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0 6已知点A(0,2),B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得DABC的面积为2的点C的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 7若两平行直线3x-2y-1=0与6x+ay+c=0之间的距离为为 . 8已知在DABC中，A(3,2),B(-1,5)，点C在直线3x-y+3=0上.若DABC的面积为10，则点C的坐标为 . 9函数y=a2x-2(a>0,a¹1)的图像恒过点A，若直线l:mx+ny-1=0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为 . 10求经过直线l1:x+y-3=0和直线l2:2x-y+8=0的交点，且到点P(1,3)的距离为的直线的方程. 11已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之间的距离为5，求l1的方程. 12当m取何值时，直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3:4x-3y-12=0的距离最短？这个最短距离是多少？ c+2213，则的值a135 3答案专区 1D 解析：由点到直线的距离公式，得-51+222=5. 2B 解析：把2x+2y-3=0化为x+y-3=0，由两直线间的距离公式，得2d=æ3ö-2-ç-÷è2ø12+12=2. 4a-2+322-1. 63=-，所以m=4，m2即a+1=2，所以a=2-1=1，3C 解析：由点到直线的距离公式，得d=或a=-2-1，又因为a>0，所以a=4D 解析：因为3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，所以-y+=1所以6x+4y+0即3x+2，1=20，所以两平行直线间的距离-3-d=1232+22=7713. =262135D 解析：因为kAB=-4，线段AB的中点为C(3,-1)，所以过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1)，即4x+y-6=0，此直线符合题意，过点P(1,2)与线段3AB的中点的直线方程为y-2=-(x-1)，即3x+2y-7=0，此直线符合题意. 226A 解析：设点C(t,t)，直线AB的方程是x+y-2=0，AB=22，由于DABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程1´22h=2，即h=2.由点到直2线的距离公式，得2=t+t2-22222，即t+t-2=2，即t+t-2=2或t+t-2=-2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个. 7±1 解析：由3x-2y-1=0与6x+ay+c=0平行，得36=-，所以a=-4，所以2a6x-4y+c=0化为3x-2y+c=-6，所以c213=0，所以d=，解得c=2或=222133+(-2)c+12c+2=±1. a8(-1,0)或ç,8÷ 解析：由AB=5，DABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x+3)，利用点到直线的距离公式可求得x=-1或x=æ5è3öø5. 392 解析：因为直线l:mx+ny-1=0经过点A(1,1)，所以m+n=1，所以坐标原点O到直线l的距离为d=1m2+n2=1m2+(1-m)2=11，当m=时，d2112(m-)2+22取最大值2. 10解：方法1：由íìx+y-3=0æ514ö，得两直线l1与l2的交点坐标为ç-,÷，设所求直è33øî2x-y+8=0线的方程为y-145öæ=kçx+÷，即3kx-3y+5k+14=0.又因为点P(1,3)到直线l的33øè距离为3k´1-3´3+5k+1455=，即8k+5=5k2+1，即39k2+80k=0，则339k2+(-3)280，将k代入，得，所求直线方程为3y-14=0或39所以k=0或k=-240x+117y-146=0. 方法2：设所求直线(2x-y+8)+l(x+y-3)=0，即(l+2)x+(l-1)y+8-3l=0，因为点P