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2含绝对值不等式的解法第二讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：离开原点的距离OA=a） ìa,(a>0)ïa=í0,(a=0) ï-a,(a<0)î2、含有绝对值不等式的解法： 定义法； 零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； 平方法：通常适用于两端均为非负实数时； 图象法或数形结合法； 不等式同解变形原理：即 x<a(a>0)Û-a<x<a x>a(a>0)Ûx>a或x<-a ax+b<c(c>0)Û-c<ax+b<c ax+b>c(c>0)Ûax+b>c或ax+b<-c f(x)<g(x)Û-g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x)Ûf(x)>g(x)或f(x)<g(x) a<f(x)<b(b>a>0)Ûa<f(x)<b或-b<f(x)<-a 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： 将不等式化为标准形式ax2+bx+c>0(³0)或ax2+bx+c<0(£0) (2)解方程ax+bx+c=0 (3)据二次函数y=ax2+bx+c的图象写出二次不等式的解集。 2二、范例讲解： 例1、解下列不等式 22-3x>2-3x (2) x-9£x+3 |x-3|-|x+1|<1 (1)解：原不等式等价于2-3x<0，所以不等式解集为íxx>ìî2üý 3þìx2-9<0ìx2-9³0(2)解：法一：原不等式Ûí2或í 29-x£x+3x-9£x+3îî由解得x=-3或3£x£4，由解得2£x<3 原不等式的解集是x2£x£4或x=-3 ìx£-3或x³2法二：原等式等价于-(x+3)£x-9£x+3Ûí -3£x£4î2Ûx=-3或2£x£4 原不等式的解集是x2£x£4或x=-3 23x³-3)，由x2-9=x+3解得非曲直x1=4,x2=-3,x3=2，法三：设y1=x-9,y2=x+分析：关键是去掉绝对值 方法1：零点分段讨论法 当x<-1时，x-3<0,x+1<0 -(x-3)+(x+1)<1 4<1 ÞxÎf 当-1£x<3时 -(x-3)-(x+1)<1Þx>当x³3时 x 11，x|<x<3 22(x-3)-(x+1)<1Þ-4<1ÞxÎR x|x³3 综上，原不等式的解集为x|x> 12也可以这样写： 解：原不等式等价于 íìx<-1ì-1£x<3或í -(x-3)+(x+1)<1-(x-3)-(x+1)<1îîìx³3， î(x-3)-(x+1)<11<x<3，的解集为x|x³3, 2或 í解的解集为，的解集为x|原不等式的解集为x|x>方法2：数形结合 1 2从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点 -1O123x原不等式的解集为x|x>1 2变式：若x+2+x+1>a恒成立，求实数a的取值范围。 解：由几何意义可知，x+2+x+1的最小值为1，所以实数a的取值范围为(-¥,1)。 数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。 解：设M 则它到A、B、C三点的距离之和f(x)=x+1+x-2+x-5 ì3x-6,x³5ïx+4,2£x<5ï即f(x)=í -x+8,-1£x<2ïïî-3x+6,x<-1由图象可得：当x=2时f(x)min=6 例2、解关于x的不等式a2x+b2(1-x)³ax+b(1-x)2,(a¹b) 解：原不等式化为 22(a2-b2)x+b2³(a-b)x+2(a-b)bx+bÞ(a-b)2(x2-x)£0Qa¹b(a-b)>0x2-x£0则0£x£12故原不等式的解集为x0£x£1 变式：已知不等式ax+bx+1³0的解集为x-5£x£1 2求a、b的值 2解：由题意可知 a<0且5和1是方程ax+bx+1=0的两根 1ìbì-=(-5)+1=-4a=-ïïïaï5Þí í 14ï=-5ïb=-ïï5îaî故a,b的值分别为-14,- 55例3、解关于x的不等式ax222xax. 解：原不等式变形为ax2+x20. a=0时，x1； a0时，不等式即为0， 当a0时，x由于2或x1； a2a+2=，于是 aa2x1； a当a=2时，x=1； 当2a0时，当a2时，1x2. a22或x1；当2a0时，x1； aa2. a综上，当a=0时，x1；当a0时，x当a=2时，x=1；当a2时，1x变式：解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0。 走向高考P11考例4。 例4、已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(mÎR) 当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ 若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围。 如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且DABC的面积等于2，试确定m的值。 解：m¹1且D>0，得m¹0且m¹1 1x1432+1x22=(m-2)2+2(m-1)£2，得0<m<1或1<m£2 4。 5m=或m=变式：二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是_.xx<-2或x>3 例5、已知适合不等式|x24x+a|+|x3|5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式. 解：x3，|x3|=3x. 若x24x+a0，则原不等式化为x23x+a+20. 此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24x+a0不成立. 于是，x24x+a0，则原不等式化为x25x+a20.x3， 令x25x+a2=x2x+3m，比较系数，得m=2，a=8. 此时，原不等式的解集为x|2x3. 2ìïx-x-2>0，备：例6、关于x的不等式í的整数解的集合为2，求实数k的取值范围. 2ïx+5k<0î2x+解：由x2x20可得x1或x2. 2ìïx-x-2>0，í的整数解为x=2， 2ïx+5k<0î2x+又方程2x2+x+5k=0的两根为k和若k若5. 25，则不等式组的整数解集合就不可能为2； 25k，则应有2k3. 23k2. 综上，所求k的取值范围为3k2. 三、小结： 1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意义，掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，结合数轴解决。 3、解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小。 4、解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 四、作业走向高考P12
