22直接证明与间接证明.docx
22直接证明与间接证明2.2直接证明与间接证明 2. 2 .1 综合法和分析法-分析法 教学目标： 知识与技能目标： 理解分析法证明的概念；能熟练地运用分析法证明数学问题；综合法与分析法结合使用证明数学问题。 过程与方法目标: 通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；通过实例引导学生灵活选用证明的方法。 情感、态度与价值观： 通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力。 教学重点：了解分析法思考过程、特点 教学难点：对分析法的思考过程、特点概括 教学过程: 一、复习回顾： 1、综合法定义： 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为： (PÞQ1)®(Q1ÞQ2)®(Q2ÞQ3)®.®(QnÞQ) 2、综合法的特点是： 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 二、创设情境，新课引入 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3， 直到找到一个明显成立的条件为止。 三、师生互动，新课讲解： 例1：求证：证明： 要证 a+b2³ab， a+b2³ab 只需证 a+b³2ab， 只需证 a+b-2ab³0， 只需证 (a-由于(a-2b)³0 2b)³0显然成立，因此原不等式成立。 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。这种方法叫做分析法。 分析法可表示为： (QÜP1)¬(P1ÜP2).¬(Pn-1ÜPn)¬(PnÜP) 分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。 分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 1 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 例2：求证3+7<25。 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。 证明：因为3+只需明 (3+7)<(25)， 227和25都是正数，所以为了证明 3+7<25， 展开得 10+221<20， 只需证 21<5， 因为21<25成立，所以 (3+7)<(25) 成立。 22说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子 p例3：已知a,b¹kp+(kÎZ)，且 2sinq+cosq=2sina sinqcosq=sinb 2求证：1-tana1+tana22=1-tanb2(1+tanb)22。 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角q，因此第一步工作可以从已知条件中消去q。观察已知条2件的结构特点，发现其中蕴含数量关系(sin，于1是，由 2一2× 得q+coqs-)2qsinqc=os4sina-2sinb=1把4sina-2sinb=1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：2222统一函数名称，即把正切函数化为正弦函数把结论转化为cosa-sina=4sina-2sinb=1比较，发现只要把cosa-sina=22222212(cosb-sinb),再与2212(cosb-sinb)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目22的 2证明：因为(sinq+cosq)-2sinqcosq=1，所以将 代入，可得 4sina-2sinb=1. 22另一方面，要证 1-tana1+tana22=1-tanb2(1+tanb)22， 2 221-sina1-sinbcos2acos2即证 bsin2a= ， 1+cos2a2(1+sin2bcos2b)即证 cos2a-sin2a=1222(cosb-sinb)， 即证 1-2sin2a=122(1-2sinb)， 即证 4sin2a-2sin2b=1。 由于上式与相同，于是问题得证。 例4用分析法证明：若a>0，则a2+11a2-2a+a-2 解：要证原不等式，只需证a2+11a2+2a+a+2 a>0，两边均大于零 因此只需证a2+1a2+4+4a2+11öa2a2+1a2+2+2+22æça+èa÷， ø只需证2a2+1æa22èça+1öa÷， ø只需证21çæa2+öa÷a2+12，即证1èøa2+a22+a22，而a2+1a22显然成立， 原不等式成立 四、课堂小结、巩固反思： 1、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。 2、分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 五、布置作业： A组： 1分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的 充分条件 必要条件 充要条件 等价条件 2分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且abc0，求证：b2ac<3a索的因应是( Aab>0 Bac>0 C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0 答案 C 解析 要证b2ac<3a 只需证b2ac<3a2 只需证b2a(ba)<3a2 只需证2a2abb2>0. 只需证(2ab)(ab)>0， ) 3 只需证(ac)(ab)>0. 故索的因应为C. B组： 1、 2、 4
