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2311成比例线段第23章 图形的相似 23.1 成比例线段 1.成比例线段 1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例. 2.会利用比例的性质，求出未知线段的长. 培养学生灵活解题及合作探究的能力. 感受数学逻辑推理的魅力. 成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用. 比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质. 一、情境导入，初步认识 挂上两张照片，问： 1.这两个图形有什么联系？ 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形. 2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例. 二、思考探究，获取新知 1.两条线段的比 回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比ABCD=mn，或写成ABCD=m，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项. nABm如果把表示成比值k，则=k或AB=k·CD. CDn注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 做一做 量出数学书的长和宽，并求出长和宽的比. 改用m作单位，则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.2110.148=211148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变. 求两条线段的比时要注意的问题 两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； 两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； 两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ . 2.成比例线段的定义四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如ac=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段. bdac=，那bd3.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a、b、c、d四个数满足 1 么ad=bc吗？反过来，如果说ad=bc，那么如果ac=吗？与同伴交流. bdac=，那么ad=bc. bdac=. bd若ad=bc(a、b、c、d都不等于0），那么例1 在某市城区地图新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ 新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：1440米，900米. 85,85. 例2如图，已知aca+bc+d=3，求和; bdbd解：a+bc+d=4, =4. bd三、运用新知，深化理解 分组讨论完成并展示. 2 四、师生互动，课堂小结 1.注意点：两线段的比值总是正数；讨论线段的比时，不指明长度单位；对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示. 2.比例尺：图上长度与实际长度的比. 3.熟记成比例线段的定义. 4.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的基本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识. 2.平行线分线段成比例 了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容.能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算. 通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁移的能力. 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 定理的应用. 定理的推导证明. 一、情境导入，初步认识 问题1 翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？ 相等即AB=BC .思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，你发现DE与EF的长度存在什么关系？ 由此，我们可以得到ABDF= BCEF问题2 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画m、n与它们相交，如果m、n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系.如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算一算，看看它们是否存在类似关系. 3 归纳：ADFE=. DBEC两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 二、思考探究，获取新知 思考：如图，当图中的点A与点F重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系？ 如图，当图中的直线m、n相交于第二条平行上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？ 归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 例1如图，l1l2l3. 已知AB=3,DE=2,EF=4,求BC； 已知AC=8，DE=2，EF=3，求AB. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 4 2.如图，已知l1l2l3，下列比例式中成立的是 1.D 2.D 可由学生独立完成抢答，教师最后点拨. 四、师生互动，课堂小结 1.平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义. 2.研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取. 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 本课时从学生所熟知的作业本入手，通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想. 23.2 相似图形 知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.识别两个多边形是否相似的方法. 在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力. 让学生感受数学知识源于生活、用于生活. 相似图形的定义和性质. 相似图形的性质. 5 一、情境导入，初步认识 复习： 1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？ 2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系？ 二、思考探究，获取新知 相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流. 同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关系？ 由此可以得到两个相似多边形的特征： 对应边成比例，对应角相等. 实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法.即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似. 识别两个多边形是否相似的标准有：，对应边要，对应角要. 填一填： 两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？ 所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？ 例1 矩形ABCD与矩形ABCD中，AB=1.5cm,BC=4.5cm，AB=0.8cm,BC=2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？ 例2如图所示，四边形ABCD与四边形ABCD相似，求A的度数与x的值: 三、运用新知，深化理解 1.矩形ABCD与矩形ABCD中，已知AB=16cm,AD=10cm,AD=6cm,矩形ABCD的面积为54cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边形ABCD是相似的，且CDBC，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角. 1.这两个矩形不相似，由矩形ABCD的面积为54知AB=54÷6=9, 6 2.x=14,y=18,=85° 教师引导学生独立完成，让学生演示并讲解，师生共同点评. 四、师生互动，课堂小结 1.相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等. 2.相似多边形的判定. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观. 23.3 相似三角形 1.相似三角形 1.知道相似三角形的概念； 2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角； 3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长； 4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似. 在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯. 培养学生严谨的数学思维习惯. 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似. 熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数. 一、情境导入，初步认识 复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？ 二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念： 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似. 三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在ABC与ABC中，A=A,B=B,C=C，ABBCAC=，那么ABC与ABC相似，A¢B¢B¢C¢A¢C¢记作ABCABC.“”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“ABC相似于ABC”. 由于A=A,B=B,C=C，所以A与A是对应顶点，B与B是对应顶点，C与C是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应 7 ABBCAC=k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相似¢¢¢¢¢¢ABBCACAB比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如ABCABC，它的相似比为k，即指=k，A¢B¢AB那么ABC与ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想. A¢B¢ABBCAC=如果ABCABC,相似比k=1，你会发现什么呢？=1，所以可得¢¢¢¢¢¢ABBCAC角、对应边.如果记AB=AB,BC=BC,AC=AC，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：全等的两个三角形一定相似吗？相似的两个三角形会全等吗？ 2.ABC中，D是AB上任意一点，过D作DEBC,交AC边于E，那么ADE与ABC是否相似？ 判断它们是否相似，由对应角是否相等，对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得AEDEDEAD=，通过度量发现，所以可以判断出ADE与ABC相似. ACBCBCAB思考 你能否通过演绎推理证明你的猜想？ 若是DEBC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么ADE与ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似. 例1 如图，在ABC中，点D是边AB的三等分点，DEBC，DE=5，求BC的长. 解：DEBC, ADEABC， DEBC=ADAB=13， BC=3DE=15. 三、运用新知，深化理解 1.如图所示，DEBC. 8 如果AD=2,DB=3，求DEBC的值； 如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长. 2.如图，梯形ABCD中，ADBC,点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G. 求证：GEAE=; GBBC若GE=2,BF=3，求线段EF的长. 1.DEBC=25 AE=6,BC=35. 22.证明：ADBC，GEDGBC，GEED=.又ED=AE, GBBCGEAE=. GBBCGEAE=, GBBC设EF的长为x,则由知又AEGEGEEF=,即 BCGBGBBF2x=,解得x1=-6,x2=1, 2+x+33EF=1. 第2题教师适当点拨，小组讨论后独立完成. 四、师生互动，课堂小结 你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？ 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解. 9 2.相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定 会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似. 培养学生动手操作能力. 在动手推演中感受几何的趣味性. 相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算. 相似三角形的判定定理1的运用. 一、情境导入，初步认识 1.两个矩形一定会相似吗？为什么？ 2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例. 3.如图ABC与ABC会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法. 二、思考探究，获取新知 同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索. 45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的. 30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？ 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”.是这样吗？请同学们动手试一试： 1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等. 画ABC与DEF，使A=D，B=E,C=F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？ 实际画图中，只画A=D,B=E,则第三个角C与F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的. 2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果. 3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？ 这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性. 于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似. 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？ 10 例1 如图，在两个直角三角形ABC和ABC中，C=C=90°，A=A，判断这两个三角形是否相似. 解：相似，因为C=C，A=A，根据相似三角形的判定定理1可知ABCABC. 例2 在ABC与ABC中，A=A=50°，B=70°，B=60°，这两个三角形相似吗? 解：由三角形的内角和定理知C=180°-A-B=180°-50°-60°=70°，C=B,又A=A，ABCACB. 教师注意引导学生分析B不一定与B对应. 例3 如图，ABC中，DEBC,EFAB,试说明ADEEFC. 证明：DEBC,AED=C.又EFAB,CEF=A.ADEEFC 三、运用新知，深化理解 1.ABC中，ACB=90°，CDAB于D，找出图中所有的相似三角形. 2.ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使ADE与ABC会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样. 1.ACDCBDABC 2.有两种不同的画法 过D点作DEBC,DE交AC于点E 以AD为一边在ABC内部作ADE=C,另一边DE交AC于点E. 第2题注意分类讨论. 四、师生互动，课堂小结 这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力. 第2课时 相似三角形的判定有两个角对应相等的两个三角形相似. 2.如图ABC中，D、E是AB、AC上三等分点，而一个条件是AD=AB,AE=AC,即是1313AD1AE1=,=，因此AB3AC3ADAE=.ADE的两条边AD、AE与ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符ABAC合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢？ 图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE=AC时，ADE与ABC相似，此时1313ADAE=. ABAC猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？ 引导学生证明上述猜想. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？B=B,ABAC=. A¢B¢A¢C¢例1判断图中AEB与FEC是否相似. 12 例2 如图ABC中，D、E是AB、AC上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断ADE与ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的: 解：因为AC=AE+CE，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于不相似. 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由. 解：小张同学的判断是错误的. 因为ADAE¹，所以ADE与ABCABACAD3AE3.91ADAE=,=,所以¹，而A是公共角，A=A,所以ADEACB. AC6AB7.82ACAB请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？ 看课本69页“做一做”. 通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似. 例3 ABC和ABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm，试判定它们是否相似，并说明理由. 三、运用新知，深化理解 1.如图，ADE与ABC相似吗？请说明理由. 2.如图，已知ABBCAC=,BAD=20°，求CAE的大小. ADDEAE引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评. 四、师生互动，课堂小结 13 1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2、3的认识，加深对判定定理的理解.教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力. 3.相似三角形的性质 会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 培养学生演绎推理的能力. 感受数学来源于生活，来源于实践. 1.相似三角形中的对应线段比值的推导； 2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导； 3.运用相似三角形的性质解决实际问题. 相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用. 一、情境导入，初步认识 复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？ 2.在ABC与ABC中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,AB=5cm,AC=3cm,BC=4cm，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少? 二、思考探究，获取新知 上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，ABCABC,相似比为AC=2. A¢C¢相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？ 一个三角形内有三条主要线段高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系. 同学画出上述的两个三角形，作对应边BC和BC边上的高，用刻度尺量一量AD与AD的长，AD等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否A¢D¢用说理的方法来说明这个结论呢？ 14 ABD和ABD都是直角三角形，且B=B. ABDABD,ADAB=k A¢D¢A¢B¢思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系? 引导学生通过演绎推理来证明. 归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比. 例1 如梯形ABCD的对角线交于点O，SAOD. DC2=,已知SDOC=4，求SAOB、 AB3DCAB,DOCBOA，由相似三角形的性质可求出SAOB、SAOD. 解：DCAB，DOCBOA， 三、运用新知，深化理解 1.如图，这是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面为1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 . 运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键. 2.如图,ABC中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EFEH=43，求EF、EH的长. 15 1.0.81m 2.HG=9.6cm;EH=7.2cm 充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决. 四、师生互动，课堂小结 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手，提出问题继续探究相似三角形的有关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思维. 4.相似三角形的应用 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用. 通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力. 让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用. 构建相似三角形解决实际问题. 把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决. 一、情境导入，初步认识 复习 1.相似三角形有哪些性质？ 2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，ABBF,DEBF,ACDF. 2DEF与ABC相似吗？为什么？ 若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？ DEFABC.AB=5） 16 二、思考探究，获取新知 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度. 例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒OB，比较木棒的影长AB与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果OB=1米,AB=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB. 因为太阳光是互相平行的，易得AOBAOB，从而求得OB的长度. 解：太阳光是平行光线即OAOA, OAB=OAB.又ABO=ABO=90°, OABOAB. 答：金字塔的高度OB为137米. 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一这一边上选定点B和C，使ABBC，然后选定点E，使ECBC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB. 解：ADB=EDC,ABC=ECD=90°,ABDECD，ABEC=BDCD,解得AB=BD´EC120´50=100. CD60答：两岸间的大致距离为100米. 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法. 例3 如图，已知D、E是ABC的边AB、AC上的点，且ADE=C.求证：AD·AB=AE·AC. 把等积式化为比例式ADAC=,猜想ADE与ABC相似，从而找条件加以证明. AEAB证明：ADE=C,A=A, ADEACB. ADAE=, ACABAD·AB=AE·AC. 三、运用新知，深化理解 1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？ 17 先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得ABEACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长. 2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m，颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ 1.24m 2.20.8m 过点A作MN的垂线段，构造相似三角形. 四、师生互动，课堂小结 这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？ 学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力. 23.4 中位线 1.经历三角形中位线的性质定理形成过程. 2.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题. 3.通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力. 通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯. 进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点、转化的思想. 三角形中位线的性质定理. 三角形中位线的性质定理的应用. 一、情境导入，初步认识 18 在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，ABC中，DEBC,则ADEABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点.现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DEBC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？ 二、思考探究，获取新知 1.猜想：从画出的图形看，可以猜想： DEBC,且DE=1BC. 2ADAE1=.A=A,ABAC22.证明：如图，ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，ADEABC,ADE=ABC,DEBC且DE=DE1=相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， BC21BC. 2思考：本题还有其他的解法吗？ 已知：如图所示，在ABC中，AD=DB，AE=EC.求证：DEBC,DE=1BC. 2要证DEBC,DE=1BC,可延长DE到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC，DE2BC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形. 还可以作如下的辅助线. 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 介绍中位线时，强调它与中线的区别. 例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，在ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE、DF互相平分. 19 要证AE、DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形. 证明：连结DE、EF.AD=DB,BE=EC, DEAC，同理可得EFBA. 四边形ADEF是平行四边形. AE、DF互相平分. 例2 如图，在ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线. GEGD1=. CEAD3思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G，如图，那么我们同理可得G¢D1=，AD3即两图中的G与G是重合的，由此我们可以得出什么结论? 归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在ABCD中，有E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MNAD,MN=12AD. 13 20 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD.求证：OM=ON. 1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN，MNAD,MN=1AD. 22.解：取BC的中点G，连接EG，FG， 1AC，EGAC 21ONM=GEF，同理GF=BD， 2BG=CG，BE=AE，GE=OMN=GFE，AC=BD， GE=GF,GEF=GFE， ONM=OMN， OM=ON. 引导学生取BC的中点，构造中位线. 四、师生互动，课堂小结 1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形中位线定理的应用. 3.三角形重心的性质. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.4”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分. 本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解.在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力. 23.5 位似图形 1.会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小. 2.理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似图形. 培养学生动手作图能力. 培养学生良好的数学习惯和严谨科学的学习态度. 位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小. 21 比较放大或缩小后的图形与原图形,归纳位似放大或缩小图形的规律. 一、情境导入，初步认识 相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换.要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变.就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始. 现在要把五边形ABCDE放大到1.5倍，即是要画一个五边形ABCDE，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5. 现在我们来动手做一做，同学们按以下步骤画出所需的多边形: 法是： 1.任取一点O. 2.以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE. 3.在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A、B、C、D、F使OAOA=OBOB=OCOC=ODOD=OEOE=1.5. 4.连结AB,BC,CD