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22直接证明与间接证明2.2.2 反证法 授课教师： 王宏 郭懿 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？ 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么a>b 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，P不是圆心，连结OP， 则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直，不被P平分. 出示例2：求证3是无理数. 证：假设3是有理数，则不妨设3=m/n， 从而：(m/n)2=3，m2=3n2，可见m是3的倍数. 设m=3p，则 3n2=m2=9p2，可见n 也是3的倍数. 这样，m, n就不是互质的正整数. 3=m/n不可能，3是无AODPCB 1 理数. 练习：如果a+1为无理数，求证a是无理数. 提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q，即a=p/q. 由a+1=(p+q)/q，则a+1也是有理数，这与已知矛盾. a是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围 三、巩固练习： 1. 练习：教材 2. 作业：教材 A组3题. 2