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223 对数函数的图象和性质第1课时2.2.3 对数函数的图象和性质 第1课时 反函数及对数函数的概念 学习目标 重点难点 1知道什么是反函数； 2会求一些简单函数的反函数； 重点：对数函数的定义，会求一些简单函3能记住对数函数的定义，会判断一个数的反函数； 函数是否是对数函数； 难点：互为反函数的两个函数图象的特点. 4知道互为反函数的两个函数图象间的关系. 1对数函数的概念 一般说来，把由对数运算确定的函数ylogax(x0，a0，a1)叫作(以a为底的)对数函数 预习交流1 怎样判断一个函数是否是对数函数？ 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数 例如ylog5x(x0)是对数函数，而ylog3(2x)(x0)以及ylog2(x1)、y2log2x等都不是对数函数 2指数函数与对数函数的关系 函数yax(a0，a1)与ylogax(a0，a1)互为反函数，这时，指数函数yax的定义域R是对数函数ylogax的值域，而指数函数yax的值域(0，)，是对数函数ylogax的定义域 3反函数 (1)反函数的求法 要求函数yf(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成xf(y)，再把y解出来，表示成yg(x)的形式如果这种形式是唯一的确定的，就得到f(x)的反函数g(x) (2)互为反函数的两个函数的图象在同一坐标系内关于直线yx对称 预习交流2 函数yx2是否具有反函数？ 提示：在函数yx2中，将x与y换位得到xy2，解得y±x，这种形式不是唯一的，故原函数没有反函数 预习交流3 互为反函数的两个函数的单调性有何关系？ 提示：两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减 一、对数函数的概念 已知函数f(x)是对数函数，则对f(x)定义域内的任意自变量a，b，给出下列结论：f(ab)f(a)f(b)；f(ab)f(a)f(b)；f(ab)f(a)f(b)；f(a2)2f(a)；f(0)1；f(1)0.其中正确结论的序号是_ 思路分析：根据f(x)是对数函数，设出其解析式，然后结合对数的运算法则逐一进行判第1页 断 答案： 解析：f(x)是对数函数，可设f(x)logdx(d0且d1) 因此f(ab)logdablogdalogdbf(a)f(b)， f(a2)logda22logda2f(a) f(1)logd10. 故结论正确，其余均错 1下列函数中是对数函数的是_ ylogx2，ylog8x，yln x，ylg(x2)，ylog2x1. 答案： 1ö2若f(x)是对数函数，且f(3)1，则fæè9ø_. 答案：2 解析：设f(x)logax，由f(3)1得loga31， 1a. 31ö1于是fæ2. log1è9ø931对数函数的定义同指数函数的定义一样，是形式化的定义，必须严格符合对数函数定义形式的函数才是对数函数 2研究对数函数的解析式时，要注意结合对数的运算法则进行推理与判断 二、求函数的反函数 求下列函数的反函数： 2öx(1)ylog4x；(2)yæè3ø；(3)y25x； (4)ylog2(x2) 思路分析：按照求反函数的一般步骤：对换x与y，解出y，得到反函数 解：(1)将x与y换位得xlog4y，解得y4x，故反函数为g(x)4x； 2öy(2)将x与y换位得xæè3ø，解得y=log2x，故反函数为g(x)=log2x； 332121(3)将x与y换位得x25y，解得yx，故反函数为g(x)x； 5555x(4)将x与y换位得xlog2(y2)，解得y22，故反函数为g(x)2x2. 求下列函数的反函数： x1(1)y；(2)y32x6；(3)ylog3x2. x2y12x12x1解：(1)将x与y换位得x，解得y，故反函数是g(x)； y21x1x11(2)将x与y换位得x32y6，解得ylog3x3，故反函数是g(x)log3x3； 22x2x2(3)将x与y换位得xlog3y2，解得y3，故反函数是g(x)3. 1求一个函数的反函数时，一般可按照如下步骤进行： (1)将解析式中的x与y对换； (2)将对换后的式子中的y解出来； 第2页 (3)得到反函数yg(x) 2并不是每一个函数都有反函数，若在解y的时候，y的结果不唯一，那么它就不具有反函数 3原函数是一个与指数函数或对数函数有关的函数时，需要充分利用指数式与对数式之间的关系求y. 三、利用原函数与反函数图象的对称性解题 若点A(1,2)既在函数f(x)axb的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a，b的值 思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)点A(1,2)在函数f(x)axb的图象上；(2)点A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上 解答本题先由A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上得出A(2,1)在f(x)的图象上，然后建立关于a，b的方程组求解 解：依题意可得f(1)2，f(2)1， ììïab4，ïa3，í解得í ï2ab1.ïb7.îî 1若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数上一定存在点( ) A(0,1) B(1,0) C(0,0) D不能确定 答案：B 2已知函数yaxb(a0)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a_. 答案：3 解析：由函数yaxb的图象过点(1,4)， 得ab4. 反函数的图象过点(2,0)， 则原函数的图象必过点(0,2)，得a0b2. 联立，可得a3，b1. 利用原函数与其反函数图象间的对称性解题，可以避免求出原函数的反函数，化繁为简，达到事半功倍的效果 1若f(x)是对数函数，且f(16)4，则f(x)的解析式是( ) Af(x)log2x Bf(x)log4x Cf(x)log16x Df(x)log1x 4答案：A 解析：设f(x)logax，则loga164，故a2，选A 2函数yx2，xR的反函数为( ) Ax2y Bxy2 Cy2x(xR) Dyx2(xR) 答案：D 解析：将x与y换位，得xy2，解得yx2， 所以反函数为yx2(xR) 3若f(x)是对数函数，则f(x)对其定义域中的自变量m，n，一定满足( ) 1öAf(mn)f(m)f(n) Bf(m)fæèmø0 Cf(n2)f(n)2 Df(n)f(n)0 答案：B 第3页 1ö1解析：不妨设f(x)logax，则f(m)fælogmloglogamlogam0，选B aaèmøm4函数yaxm过定点(0,2)(a0，且a1)，那么其反函数必过定点( ) A(1,0) B(2,0) C(0，m) D(m,0) 答案：B 5若函数yf(x)的图象和函数ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，则f(x)_. 答案：3x(xR) 解析：由两函数的图象关于直线yx对称，知ylog3x(x0)与yf(x)互为反函数，所以f(x)3x，xR. 第4页