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21数列极限答案高等数学II练习题 第二章 极限与连续 _系_专业 班级 姓名_ _学号_ 习题2.1 数列极限 一选择题 1下列数列xn中收敛的是 xn=(-1)nnn+11n+11n xn=(-1) xn=2(-1) xn=(-1)+n nn102下列数列xn中收敛的是 ì1+1,n为奇数ïnïnnxn=(-1) (B) xn=í 1n+1ï-1,n为偶数ïînì1+2nì1,n为奇数,n为奇数ïïïnï2nxn=í (D) xn=í n1ïï1-2,n为偶数,n为偶数ïïîn+1î2n3数列0-1,21-,311,-的,45极,16限17,为 , 0 不存在 1 难以确定 4若数列xn有极限a，则在a的e(e>0)邻域之外，数列中的点 有无穷多个 可以有有限个，也可以有无穷多个 必不存在 至多有有限个 二填空题 1+(-1)n111n®¥468ì2n,n为奇数ïïn-12若数列an=í，则该数列的极限是 不存在 。 ïn-1,n为偶数ïî2naA | 。 3若liman=2，则lim2n+1= 1 ；若liman=A，则lim|an|= | n®¥n®¥n®¥n®¥22n1数列0,0,0,0,L的通项an=_及liman= 0 。 1233n+2n-4= 24lim 。 n®¥2n2-6n+12三将给定数列与其相应的特性用线连接起来 (1) xn:1,1-111111,1+,1-,1+,1-,1+,L 有界 223344æ3ö(2) xn=ç÷ 单调 è2ø(3) xn:0.99,0.999,0.9999,(4) xn=sin四证明题 1设an=nn 收敛 np 发散 211lima=，证明：。 ånn®¥2k=1(2k-1)(2k+1)+(1111-)=(1-)2n-12n+122n+1 1111解：a=(1-)+(-)+n 2335111lima=lim(1-)= n®¥nn®¥22n+122求极限lim(1+n®¥111+.+n)。 2421 1-n+11112 解：lim(1+.+n)=lim=2n®¥n®¥1 2421- 2 3求极限lim(1-n®¥11)(1-)2223(1-(1-1)。 2n(n-1n+1×)nn11 解：lim(1-2)(1-2)n®¥23 1132435)=lim(×)(×)(×)2n®¥n2233441n+11=lim×=n®¥2n24举例说明：如果数列|xn|有极限，但数列xn未必有极限。 例如：数列|(-1)n|是收敛于1的，但是(-1)n是个发散的数列。 另外，选择题中多个选项中的数列都具有这种性质。